劉鳳和，程長(zhǎng)坤，譙世均，邢 星，吳玉杰，楊宏偉

1中國(guó)石油青海油田分公司 2中國(guó)石油青海油田分公司鉆采工藝研究院 3中國(guó)石油青海油田分公司工程技術(shù)處 4中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院

0 引言

水錘效應(yīng)是由于流體動(dòng)量的突然變化而引起的一系列壓力交替變化的現(xiàn)象，在油氣鉆采過(guò)程中很常見。但氣侵初期的水錘現(xiàn)象在早期氣侵的發(fā)現(xiàn)中仍然是一個(gè)被忽略的問(wèn)題。

氣侵時(shí)環(huán)空壓力的變化通常采用氣液兩相流模型來(lái)模擬，氣液兩相流模型包括均相流模型、雙流體模型和漂移流模型[1-3]。相對(duì)于均相流模型和雙流體模型，漂移流模型考慮了氣液兩相之間的滑脫效應(yīng)以及空隙率、流速沿過(guò)流斷面的分布規(guī)律，使兩相流動(dòng)計(jì)算誤差顯著地降低[4-6]，該模型由Zuber和Findlay提出并得到廣泛應(yīng)用[7]。隨后很多學(xué)者對(duì)漂移流模型進(jìn)行了擴(kuò)展，并應(yīng)用其模擬氣侵時(shí)井筒氣液兩相瞬態(tài)流動(dòng)問(wèn)題[8-10]，但是漂移流模型無(wú)法捕獲氣侵初期地層氣體迅速進(jìn)入井筒時(shí)引起液柱壓力的瞬態(tài)變化特征。氣侵初期，地層氣體快速進(jìn)入井筒使氣液交界面之上的鉆井液速度突然增加，產(chǎn)生水錘效應(yīng)。為了準(zhǔn)確模擬氣侵初期環(huán)空壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律，考慮了氣侵初期的水錘效應(yīng)，建立了一個(gè)水錘—漂移流綜合模型來(lái)描述氣侵過(guò)程中環(huán)空壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律，并采用基于一階精度的Lax-Friedrichs格式和二階精度的MacCormack格式的復(fù)合差分格式對(duì)該模型進(jìn)行了求解。模型和數(shù)值算法的可靠性和準(zhǔn)確性通過(guò)Wang[11]氣侵實(shí)驗(yàn)的測(cè)量壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。

利用此模型可以準(zhǔn)確地捕獲氣侵初期井底壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律，以期為早期氣侵檢測(cè)提供了理論依據(jù),對(duì)發(fā)現(xiàn)早期氣侵有積極作用,有利于保障井控安全。

1 物理模型

氣侵過(guò)程中，地層和井筒的整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)可以分為三個(gè)獨(dú)立的區(qū)域：①地層氣體向井筒滲流區(qū)域，如圖1中的區(qū)域1；②氣體在環(huán)空中向上運(yùn)移，形成一個(gè)氣液兩相流動(dòng)區(qū)域，如圖1中的區(qū)域2；③僅包括鉆井液的單相流動(dòng)區(qū)域，如圖1中的區(qū)域3。兩相流區(qū)域和單相流區(qū)域由氣液交界面分隔。

圖1 氣侵時(shí)不同區(qū)域內(nèi)流體的瞬態(tài)流動(dòng)圖

為建立數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確描述氣侵過(guò)程中各區(qū)域內(nèi)流體的瞬態(tài)流動(dòng)規(guī)律，做出如下的假設(shè)：①只考慮沿井筒軸向的一維問(wèn)題，忽略徑向和切向的變化；②直井鉆井過(guò)程中，氣侵發(fā)生在井筒底部；③不考慮氣體在鉆井液中的溶解；④不考慮系統(tǒng)的能量守恒關(guān)系，假設(shè)井筒中存在一個(gè)已知的溫度梯度。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 水錘模型

氣侵發(fā)生后，氣體迅速由地層進(jìn)入井筒，導(dǎo)致區(qū)域3中的泥漿柱速度突然增加，引起水錘效應(yīng)。區(qū)域3中的流體僅由鉆井液組成，采用單相流水錘模型來(lái)描述氣侵初期泥漿柱的水錘效應(yīng)。

一維經(jīng)典的水錘模型控制著瞬態(tài)管流的場(chǎng)變量隨空間和時(shí)間的變化，可以由質(zhì)量守恒方程和動(dòng)量守恒方程推到得出，氣侵時(shí)水錘模型的控制方程如下[12-13]：

(1)

(2)

式中：vl—液體流速，m/s；ρl—液體密度，kg/m3；p—環(huán)空壓力，Pa；f—摩阻系數(shù)；d0—井眼直徑，m；dp0—鉆柱外徑，m；θ—井斜角，(°)；g—重力加速度，m2/s；a—壓力波傳播速度，m/s。

2.2 漂移流模型

氣侵發(fā)生后，氣體由地層進(jìn)入井筒，并在環(huán)空內(nèi)向上運(yùn)移，形成一個(gè)氣液兩相流區(qū)域。氣液兩相流動(dòng)過(guò)程中主要會(huì)發(fā)生三種物理現(xiàn)象：相間的質(zhì)量交換、流體的質(zhì)量傳遞和壓力波的傳播。氣液兩相流可以采用漂移流模型模擬井筒壓力的瞬態(tài)變化，其包含了各相的質(zhì)量守恒關(guān)系和混合動(dòng)量守恒關(guān)系。守恒方程的閉合系統(tǒng)是由各相速度間的滑移關(guān)系組成。

氣相質(zhì)量守恒方程:

(3)

液相質(zhì)量守恒方程:

(4)

混合動(dòng)量守恒方程:

=-ρmgcosθ-Ff

(5)

式中：ρm=αgρg+αlρl；αg—?dú)怏w的體積分?jǐn)?shù)；αl—液體的體積分?jǐn)?shù)；ρg—?dú)怏w密度，kg/m3；vg—?dú)怏w速度，m/s；Гg→l—?dú)庀嗪鸵合嘀g的質(zhì)量交換速率，kg/(m3·s)；qsg—?dú)怏w質(zhì)量流量，kg/(m3·s)；Ff—環(huán)空摩阻項(xiàng)，Pa/m。

漂移模型能夠準(zhǔn)確地描述氣相和液相之間的相互作用機(jī)理[14]，并采用速度分布系數(shù)來(lái)描述各相流動(dòng)與整體流動(dòng)之間的關(guān)系。氣侵發(fā)生時(shí)，氣體在環(huán)空中運(yùn)移的真實(shí)速度表示為：

vg=c0vm+v0

(6)

式中：vm=αgvg+αlvl；c0—分布系數(shù)，它描述了氣液兩相流中速度和體積分?jǐn)?shù)剖面的分布特性；v0—由浮力作用引起的氣相滑脫速度，m/s。c0和v0由流型決定，這里采用由Perez提出的模型進(jìn)行計(jì)算。

2.3 地層滲流模型

鉆至儲(chǔ)層時(shí)，如果井底壓力低于地層壓力，地層中的氣體便會(huì)侵入井筒。氣體由地層侵入井筒符合非達(dá)西滲流，可以使用二項(xiàng)式定理計(jì)算產(chǎn)氣速率[15]。

(7)

(8)

(9)

式中：pe—地層壓力，MPa；pwf—井底壓力，MPa；qg—?dú)馇炙俾?，m3/d；β—紊流系數(shù)；γg—?dú)怏w比重；rw—裸眼半徑，m；re—供給半徑，m；h—儲(chǔ)層厚度，m；μg—?dú)怏w黏度，mPa·s；k—地層滲透率，μm2；S—表皮系數(shù)。

3 數(shù)值解法

3.1 數(shù)值格式

水錘模型和漂移流模型的控制方程均表現(xiàn)出一階線性雙曲型方程組的特點(diǎn)[16-17]，描述了密度波沿流體流動(dòng)的下游方向傳播和壓力波沿流體流動(dòng)的下游和上游方向傳播的物理現(xiàn)象。因此水錘模型和漂移流模型的控制方程可以寫成如下緊湊形式:

(10)

式中：w=(αgρg,αlρl,αgρgvg+αlρlvl)T—守恒型參數(shù)，是獨(dú)立物理變量u=(αg,p,vg,vl)T的函數(shù)。在水錘模型中，αg=0，vg=0。

利用基于一階精度的Lax-Friedrichs格式和二階精度的MacCormack格式的復(fù)合差分格式對(duì)方程(10)進(jìn)行求解，該方法是以MacCormack格式為基礎(chǔ)，每隔5 000個(gè)時(shí)間步采用具有數(shù)值耗散作用的Lax-Friedrichs格式進(jìn)行一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算。將長(zhǎng)為L(zhǎng)的井筒沿軸線方向劃分為N個(gè)網(wǎng)格，其中zi=z0+iΔz，i=1,2,…,N，Δz=L/N，如圖2所示。根據(jù)數(shù)值求解穩(wěn)定性的要求，空間步長(zhǎng)與時(shí)間步長(zhǎng)的選取要滿足CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)條件。

一階精度的Lax-Friedrichs格式具有如下的守恒形式:

(11)

其中數(shù)值通量表示為:

(12)

MacCormack方法是一個(gè)三點(diǎn)預(yù)測(cè)校正的中心差分格式，它的預(yù)測(cè)步采用向前差分，校正步采用向后差分。預(yù)測(cè)步的差分格式可表示為:

(13)

校正步的差分格式可表示為：

(14)

其中數(shù)值通量可表示為：

(15)

3.2 邊界條件處理

氣侵發(fā)生時(shí)，在井底控制體入口處將氣侵速率視為已知條件，在井口控制體出口處，將出口壓力視為已知條件。由于式(11)～式(15)為三點(diǎn)中心差分格式，無(wú)法處理邊界條件，因此邊界條件需要進(jìn)行特殊處理。Pauchon和Dhulesia提出可以利用相容性方程對(duì)邊界條件進(jìn)行處理[18]。

3.3 求解過(guò)程

基于上述數(shù)學(xué)模型、數(shù)值算法以及邊界條件，便可以模擬氣侵過(guò)程中井筒壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律，主要的計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 主要計(jì)算流程圖

4 模型驗(yàn)證

利用Wang[11]在全尺寸氣侵實(shí)驗(yàn)中獲得的瞬態(tài)壓力數(shù)據(jù)對(duì)水錘—漂移流綜合模型和數(shù)值算法的可靠性和準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。該實(shí)驗(yàn)包括兩口井，其中一口井為實(shí)驗(yàn)井，另一口井為儲(chǔ)氣井。儲(chǔ)氣井通過(guò)一根直徑為60.3 mm的管柱向?qū)嶒?yàn)井中注氣，注氣位置為井深600 m處。實(shí)驗(yàn)井井眼尺寸為?244.5 mm，鉆柱外徑為127 mm，鉆頭和PWD工具的井深分別為600 m和580 m,鉆井液排量為24 L/s,實(shí)驗(yàn)中用水和空氣分別代表鉆井液和地層氣體。

圖4為測(cè)量壓力和模擬壓力的分布規(guī)律。在實(shí)驗(yàn)開始的第75 s開始注氣,第200 s停氣，注氣速度為27 L/s，由圖4可知，模擬壓力與測(cè)量壓力的吻合度較好，模擬壓力很好的描述了氣侵實(shí)驗(yàn)中井筒壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律。如圖5所示，模擬壓力相對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量壓力的誤差均在±10%以內(nèi)。所以，基于水錘—漂移流綜合模型可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)井筒壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律。

圖4 測(cè)量壓力和模擬壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律

圖5 模擬壓力相對(duì)于測(cè)量壓力的誤差

5 實(shí)例分析

利用水錘—漂移流綜合模型驗(yàn)證一口柴達(dá)木盆地尖北地區(qū)實(shí)鉆井氣侵初期的環(huán)空壓力變化和環(huán)空壓力對(duì)各個(gè)影響因素的敏感性?；A(chǔ)參數(shù)如下：直井井深4 200 m，水基鉆井液的密度為1 200 kg/m3，塑性黏度為15 mPa·s，動(dòng)切力為9 Pa，水錘模型計(jì)算中采用修正冪律模式，氣體比重為0.7，鉆井液排量為30 L/s，地層壓力為54 MPa，滲透率為0.175 μm2，地層供給半徑為150 m。

井身結(jié)構(gòu)為：?339.7 mm表層套管×1 200 m+?244.5 mm技術(shù)套管×4 200 m;鉆具組合為:?215.9 mm PDC鉆頭+?157.5 mm螺桿鉆具×9.2 m+?157.5 mm鉆鋌×63 m+?127 mm加重鉆桿×27 m +?127 mm鉆桿。

5.1 氣侵初期環(huán)空壓力變化分析

圖6為井底發(fā)生氣侵時(shí)，氣侵速率隨時(shí)間的瞬態(tài)變化規(guī)律。由圖6可知，氣侵發(fā)生后，地層氣體開始會(huì)以較大的加速度迅速進(jìn)入井筒，在ts時(shí)刻氣侵速度達(dá)到擬穩(wěn)定狀態(tài)，之后氣侵速度隨著井底壓力的降低逐漸升高。將開始發(fā)生氣侵到ts時(shí)刻的時(shí)間間隔定義為瞬態(tài)氣侵時(shí)間，將ts時(shí)刻的氣侵速率定義為瞬態(tài)氣侵速率。

圖6 氣侵速率隨時(shí)間的瞬態(tài)變化曲線

圖7為氣侵初期井深4 170 m處環(huán)空壓力隨時(shí)間的瞬態(tài)變化規(guī)律。由圖7可知，氣侵發(fā)生后，地層氣體迅速進(jìn)入井筒導(dǎo)致泥漿柱速度突然增加，引起水錘現(xiàn)象，水錘壓力迅速增加并隨時(shí)間呈周期性波動(dòng)；水錘壓力的振幅隨時(shí)間逐漸減小，且第一個(gè)(即最大的)波峰發(fā)生在瞬態(tài)氣侵時(shí)間ts之后；一段時(shí)間后，環(huán)空壓力開始隨時(shí)間近似線性降低，這是因?yàn)闅庖航唤缑嫔仙? 170 m處，該處的部分鉆井液被氣體代替形成氣液兩相流區(qū)域，從而導(dǎo)致該處環(huán)空壓力降低。

圖7 井深4 170 m處環(huán)空壓力隨時(shí)間的瞬態(tài)變化曲線

圖8為不同井深處氣侵初期的環(huán)空壓力與正常鉆進(jìn)時(shí)相應(yīng)位置處環(huán)空壓力的比值，將此比值定義為相對(duì)環(huán)空壓力比。氣侵初期氣液交界面以上不同井深處相對(duì)環(huán)空壓力比近似相等；隨著井深的減小，氣液交界面上升至相應(yīng)位置的時(shí)間增加，因此環(huán)空壓力開始降低的時(shí)間也增加，這可以作為氣液交界面位置追蹤的依據(jù)，且不同時(shí)間段內(nèi)不同井深處相對(duì)環(huán)空壓力比之間的一致性和差異性為多測(cè)點(diǎn)早期氣侵識(shí)別提供了理論依據(jù)。

圖8 不同井深處氣侵初期與正常鉆進(jìn)時(shí)相應(yīng)位置處的環(huán)空壓力比

5.2 氣侵初期井底壓力敏感性分析

圖9為當(dāng)瞬態(tài)氣侵時(shí)間為7 s時(shí)，井深4 170 m處不同瞬態(tài)氣侵速率條件下的環(huán)空壓力瞬態(tài)變化曲線。由圖9可知，氣液交界面上升至4 170 m之前，瞬態(tài)氣侵速率越大，水錘效應(yīng)越明顯，水錘壓力波動(dòng)振幅越大，水錘壓力增量越大，氣液交界面上升至該位置的時(shí)間越短，但瞬態(tài)氣侵速率對(duì)水錘壓力的波動(dòng)頻率幾乎沒有影響。當(dāng)氣液交界面上升超過(guò)4 170 m后，該處環(huán)空壓力受漂移流模型控制，隨著瞬態(tài)氣侵速率的增加，環(huán)空壓力的下降速度增大。

圖9 不同瞬態(tài)氣侵速率條件下的環(huán)空壓力瞬態(tài)變化曲線

圖10為當(dāng)瞬態(tài)氣侵速率為15 L/s時(shí)，井深4 170 m處不同瞬態(tài)氣侵時(shí)間條件下的環(huán)空壓力瞬態(tài)變化曲線。由圖10可知，氣液交界面上升至4 170 m之前，隨著瞬態(tài)氣侵時(shí)間的減小，水錘效應(yīng)更加明顯，水錘壓力波動(dòng)振幅和波動(dòng)頻率均增大，但氣液交界面上升至該位置的時(shí)間幾乎相同；當(dāng)氣液交界面上升超過(guò)4 170 m后，不同瞬態(tài)氣侵時(shí)間條件下的環(huán)空壓力均相等，且下降速率也相同。所以瞬態(tài)氣侵時(shí)間僅對(duì)氣侵初期的水錘效應(yīng)有較大的影響，但對(duì)于兩相流區(qū)域內(nèi)的環(huán)空壓力變化幾乎沒有影響。

圖10 不同瞬態(tài)氣侵時(shí)間條件下的環(huán)空壓力瞬態(tài)變化曲線

圖11～圖13分別為氣侵初期井深4 170 m處不同地層滲透率、井底負(fù)壓差(地層壓力減井底壓力)和井眼尺寸條件下的環(huán)空壓力瞬態(tài)變化曲線。氣侵初期環(huán)空壓力受地層滲透率、井底負(fù)壓差和井眼尺寸的影響較大，且隨著地層滲透率和井底負(fù)壓差的增加，以及井眼尺寸的減小，水錘現(xiàn)象更加顯著，水錘壓力波動(dòng)振幅增加，水錘壓力增量也增大，氣液交界面上升至該位置的時(shí)間減少，但水錘壓力波動(dòng)頻率基本一致。隨著地層滲透率和井底負(fù)壓差的增加，及井眼尺寸的減小，瞬態(tài)氣侵速率增加而瞬態(tài)氣侵時(shí)間變化較小綜合作用所導(dǎo)致的結(jié)果，見表1。當(dāng)氣液交界面向上運(yùn)移超過(guò)4 170 m后，隨著地層滲透率和井底負(fù)壓差的增加，以及井眼尺寸的減小，該處的環(huán)空壓力下降速度增大。

圖11 不同地層滲透率條件下環(huán)空壓力隨時(shí)間的變化曲線

圖12 不同井底負(fù)壓差條件下環(huán)空壓力隨時(shí)間的變化曲線

圖13 不同井眼尺寸條件下環(huán)空壓力隨時(shí)間的變化曲線

表1 不同敏感性參數(shù)條件下的瞬態(tài)氣侵速率和瞬態(tài)氣侵時(shí)間

6 結(jié)論

(1)考慮了氣侵初期的水錘效應(yīng)，建立了水錘—漂移流綜合模型來(lái)描述氣侵過(guò)程中環(huán)空壓力的瞬態(tài)變化規(guī)律，并提出采用基于Lax-Friedrichs格式和MacCormack格式的復(fù)合差分格式對(duì)該模型進(jìn)行了求解。

(2)氣侵發(fā)生初期，由于地層氣體迅速進(jìn)入井筒導(dǎo)致鉆井液柱產(chǎn)生水錘效應(yīng)，氣液交界面以上鉆井液柱的環(huán)空壓力增加并隨時(shí)間周期性波動(dòng)，波動(dòng)振幅隨時(shí)間逐漸減?。粴庖航唤缑嬉韵碌膬上嗔鲄^(qū)域內(nèi)的環(huán)空壓力隨時(shí)間近似線性降低。

(3)水錘壓力波動(dòng)振幅隨瞬態(tài)氣侵速率的增加和瞬態(tài)氣侵時(shí)間的減少而增大，而波動(dòng)頻率僅隨瞬態(tài)氣侵時(shí)間的減少而增大。地層滲透率、井底負(fù)壓差越大，井眼尺寸越小，則瞬態(tài)氣侵速率越大，氣侵初期的水錘效應(yīng)越顯著，且兩相流區(qū)域內(nèi)的井底壓力下降速度越快。

(4)從尖北地區(qū)一口實(shí)鉆井來(lái)看，氣侵初期氣液交界面以上不同井深處的相對(duì)環(huán)空壓力比近似相等，且隨著井深的減小，氣液交界面上升至相應(yīng)位置的時(shí)間增加，因此環(huán)空壓力開始降低的時(shí)間也增加。這可以作為氣液交界面位置追蹤的依據(jù)，且不同時(shí)間段內(nèi)不同井深處的相對(duì)環(huán)空壓力比之間的一致性和差異性為多測(cè)點(diǎn)早期氣侵檢測(cè)提供了理論依據(jù)。