何金文,孫鈞鍵,程 軍

(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

1 研究背景

三峽大壩是迄今為止世界上規(guī)模最大的水力發(fā)電工程，主要功能是防洪、發(fā)電與航運(yùn)。水庫汛末將庫水位蓄至175 m，主汛期控制在145 m以騰出庫容調(diào)蓄上游來水以護(hù)航下游行洪安全，洪峰消減可達(dá)40%[1]。庫區(qū)每年30 m的水位消落與回升必然對岸坡的變形和穩(wěn)定帶來巨大影響。

三峽庫區(qū)有數(shù)千處崩滑災(zāi)害，水位周期性變化，將導(dǎo)致老滑坡復(fù)活并誘發(fā)新滑坡[2]。Luo等[3]研究了三峽庫區(qū)水位變化對藕塘古滑坡的變形特性及復(fù)活機(jī)制；尚敏等[4]認(rèn)為三峽庫水快速消落是影響白家包滑坡變形的主要因素；張富靈等[5]、盧書強(qiáng)等[6]分別研究了庫區(qū)譚家灣滑坡、樹坪滑坡變形隨水位變化的關(guān)系；胡亞波等[7]認(rèn)為庫水消落將形成指向坡外的滲透壓力；熊珅等[8]認(rèn)為三峽庫水消落速率的增大會(huì)導(dǎo)致八字門滑坡穩(wěn)定性的減小?？梢?，庫區(qū)岸坡的變形與穩(wěn)定主要與庫水變化與消落速率有關(guān)。目前三峽庫區(qū)岸坡變形監(jiān)測與穩(wěn)定性計(jì)算絕大多數(shù)是根據(jù)運(yùn)行調(diào)度圖或壩前水位過程線進(jìn)行的，而庫區(qū)涉水岸坡的穩(wěn)定性分析從確定性向非確定性發(fā)展是研究的必然趨勢，需要用到水位變化時(shí)間與速率、汛期洪峰等參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分布類型及相關(guān)系數(shù)。

庫水位是影響岸坡穩(wěn)定的重要隨機(jī)變量。吳世偉等[9]認(rèn)為一般水庫壩前年水位峰值的分布規(guī)律為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布；丁晶等[10]、葛慧等[11]認(rèn)為壩前年最高水位可由對數(shù)正態(tài)表征。然而，三峽水庫調(diào)度使得壩前年最高水位在175 m附近，其隨機(jī)特性無法用單一的年最高水位的統(tǒng)計(jì)特性來描述，而是受水庫調(diào)度方式及上游來水影響的水位過程線的隨機(jī)特性。

獲取三峽水庫多年水位過程線變化過程的統(tǒng)計(jì)特性是庫區(qū)邊坡變形預(yù)測及非確定性分析準(zhǔn)確性的前提。首先根據(jù)三峽水庫調(diào)度特點(diǎn)選取特征參數(shù)標(biāo)定壩前水位過程線，然后運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法獲取特征參數(shù)的分布參數(shù)和相關(guān)系數(shù)、AIC準(zhǔn)則識別特征參數(shù)的最優(yōu)邊緣分布類型、Bootstrap方法模擬小樣本基礎(chǔ)上特征參數(shù)分布類型及相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性。

2 壩前水位過程線特征參數(shù)的標(biāo)定

2.1 水庫調(diào)度方式

三峽水庫按消落期、汛期、回升期、高水位期，綜合考慮下游防洪、上游排沙、航道水深、汛末能否蓄滿等情況進(jìn)行庫水蓄泄控制。圖1給出了2008—2020年共13 a壩前年水位過程線及水庫調(diào)度初步設(shè)計(jì)和優(yōu)化調(diào)度方案。圖1中，2008年、2009年、2010年水位過程線有其特殊性。2008年開始高水位試驗(yàn)性蓄水，2008和2009年汛后起蓄時(shí)間逐步前移，2010年是采用優(yōu)化調(diào)度方案的第一年，之后調(diào)度方案不變。

圖1 三峽水庫調(diào)度方案及13條年水位過程線Fig.1 Scheduling of Three Gorges Reservoir and 13 WPLs

初步調(diào)度方案如下：11月份至次年1月份水庫處于正常蓄水位175 m，1月1日庫水開始消落，4月份調(diào)度曲線有一高程約160 m的平臺，4月末之前水位≥155 m,以保證發(fā)電水頭和庫尾航道水深，5月份庫水繼續(xù)消落，6月上旬之前壩前水位降至145 m。汛期6—9月份，水庫維持145 m運(yùn)行以利于泥沙排出庫外，遇大洪水時(shí)根據(jù)下游防洪需要攔蓄洪水，洪峰過后庫水仍降至145 m運(yùn)行，在泥沙較少的10月份開始蓄水到175 m，達(dá)到“蓄清排渾”的效果[12]。2008年水庫開始高水位試驗(yàn)性蓄水， 2009年，針對長江上游水庫群建設(shè)、三峽水庫蓄水運(yùn)用以來入庫泥沙量減少、汛末來水量減少等新情況，三峽水庫開始實(shí)施優(yōu)化調(diào)度方案，將汛后蓄水時(shí)間由10月1日提前至9月15日，2010年進(jìn)一步提前至9月10日[13]。2008年和2009年的汛后起蓄時(shí)間與2010年及之后的優(yōu)化調(diào)度方式存在差異，為更好地反映最新調(diào)度方式導(dǎo)致的水位過程線的隨機(jī)特性，采用2010年1月至2021年12月共11 a的水位過程線作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

三峽水庫調(diào)度方式?jīng)Q定了壩前年水位過程線的總體變化趨勢，每年的水位過程線具有周期性變化特點(diǎn)。上游來水在時(shí)間和空間上的分布不均直接導(dǎo)致庫水位年變化過程與運(yùn)行調(diào)度方案之間存在差異。庫水位變化在消落期與調(diào)度曲線較貼近，調(diào)度曲線在主汛期保持汛限水位運(yùn)行，而實(shí)際水位過程線在汛期有洪峰出現(xiàn)。水庫在汛期、汛末蓄水期的調(diào)度較頻繁，水位波動(dòng)變化較大[14-15]。因此，有必要擬定一些特征參數(shù)來標(biāo)定考慮汛期洪峰和總體調(diào)度趨勢的年水位過程線。

2.2 標(biāo)定原理與步驟

2010—2020年的年水位過程線可以在優(yōu)化調(diào)度過程線的基礎(chǔ)上加汛期洪峰進(jìn)行描述。每年1—10月份調(diào)度曲線包含6條直線段，汛期洪峰可用2條直線段描述，汛期洪峰把調(diào)度方案中的汛限段分為兩截。因此，9條直線段便可描述每年1—10月份的水位過程線。

圖2給出了庫區(qū)2013年12月至2014年12月的水位過程線。9條直線段分別為水位消落期ab緩降段、bc消落平臺段和cd陡降段，汛限期de峰前平臺段、ef洪峰爬升段、fg洪峰下降段、gh峰后平臺段，水位回升期hi陡升段和ij緩升段。相應(yīng)的特征參數(shù)共14個(gè)，分別為ab緩降時(shí)長Tab和速率Kab、bc平臺持時(shí)Tbc、cd陡降時(shí)長Tcd和速率Kcd、峰前和峰后平臺的持時(shí)Tde和Tgh、洪峰水位Hf、ef洪升時(shí)長Tef、fg洪降時(shí)長Tfg、hi陡升時(shí)長Thi和水位變化速率Khi、ij緩升時(shí)長Tij與速率Kij。特征參數(shù)的標(biāo)定便是用9條直線段擬合每年1—10月底的水位過程線，獲取圖2中點(diǎn)a—j的坐標(biāo)并計(jì)算上述14個(gè)特征參數(shù)。

圖2 水位過程線標(biāo)定示意圖Fig.2 Sketch diagram of calibration for WPL

從圖1可以看出多年水位過程線庫水緩降向陡降、陡升向緩升的過渡帶在160.0～167.5 m，多年的消落期陡降段很貼近，汛限最低水位接近145.0 m且均<145.5 m。點(diǎn)d對應(yīng)的時(shí)間可根據(jù)庫水首次消落至[145.0,145.5] m的時(shí)間近似確定。庫水每年10月27日左右蓄至175 m，汛期最大洪峰點(diǎn)f可直接從水位過程線上獲取。特征參數(shù)的標(biāo)定還需確定點(diǎn)b,c,e,f,g,h,i對應(yīng)的時(shí)間，是典型的多參數(shù)尋優(yōu)問題。可將年水位過程線S(t)分ad區(qū)間確定點(diǎn)b、c，df區(qū)間確定點(diǎn)e，fj區(qū)間確定點(diǎn)g、h、i，3個(gè)區(qū)間的目標(biāo)函數(shù)分別為：

(1)

(2)

(3)

式中：Fad、Fdf、Ff j分別為3個(gè)區(qū)間的擬合誤差；Kef和Kfg分別為直線段ef和fg的斜率;Ta—Tj分別為標(biāo)定點(diǎn)a—j對應(yīng)的時(shí)間；Hbc、Hde、Hgh為直線段bc、de、gh直線段的平均高程。根據(jù)以上標(biāo)定原理，庫區(qū)水位過程線特征參數(shù)的標(biāo)定步驟如下。

步驟1：在水位過程線6—9月份內(nèi)獲取最大洪峰對應(yīng)時(shí)間Tf和水位Hf， 5—7月份尋找?guī)焖状蜗渲?45.5 m對應(yīng)的時(shí)刻Td。設(shè)定Te∈(Td,Tf)，計(jì)算直線de高程Hde、直線ef的斜率Kef和截距，按式(2)計(jì)算df區(qū)間的誤差，根據(jù)誤差最小原則確定Te和Hde。

步驟2：Ta取1月1日，在[Ta,Td]內(nèi)尋找水位首次達(dá)到167.5 m和160.0 m對應(yīng)的時(shí)刻T167.5和T160.0，設(shè)定Tb∈[T167.5-30,T167.5+30]，Tc∈[T160.0-30,T160.0+30],消落平臺高程Hbc∈[160.0,167.5]。在Tb,Tc和Hbc所屬區(qū)間均勻布點(diǎn)，對每個(gè)搜索點(diǎn)分別計(jì)算ab、cd直線段的斜率Kab、Kcd和截距。直線ab的截距根據(jù)點(diǎn)a計(jì)算，直線cd的截距根據(jù)點(diǎn)d計(jì)算。設(shè)置尋優(yōu)約束條件Tb≤Tc，按式(1)計(jì)算消落期3條直線段的總誤差，根據(jù)誤差最小原則確定Tb、Tc和Hbc。

步驟3：Tj取10月27日，在水位過程線中找出點(diǎn)h對應(yīng)的大致時(shí)間T′，設(shè)定Th∈[T′-5,T′+5],Tg∈[Tf,Th]，Ti∈[Th,Tj]，Hi∈[160.0,167.5]。在Th、Tg、Ti,Hi所屬區(qū)間均勻布點(diǎn)，對每個(gè)搜索組合分別計(jì)算直線段fg、hi、ij的斜率Kfg、Khi、Kij和相應(yīng)直線段的截距，計(jì)算 [Tg,Th]區(qū)間的水位均值Hgh，按式(3)計(jì)算fj區(qū)間的總誤差，根據(jù)最小誤差確定Th、Tg、Ti、Hi和Hgh。

步驟4：根據(jù)點(diǎn)a—j的坐標(biāo)計(jì)算14個(gè)特征參數(shù)，例如：陡升持時(shí)Thi=Ti-Th，速度Khi=(Hi-Hh)/(Ti-Th)。

2.3 標(biāo)定結(jié)果

表1給出了2010—2020年壩前水位過程線特征參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果，圖3給出了實(shí)測水位和標(biāo)定水位過程線分年度對比情況，同時(shí)在每年汛期谷底兩側(cè)標(biāo)出了根據(jù)標(biāo)定步驟1和步驟3獲取的峰前平臺和峰后平臺水位值。11個(gè)年份的標(biāo)定結(jié)果與水位實(shí)測過程線變化趨勢一致。標(biāo)定方法默認(rèn)運(yùn)行高水位為175 m，陡降與緩降的分界點(diǎn)在160.0～167.5 m之間，有效避開了2010年1—5月份的“異常”現(xiàn)象。2010年和2019年消落期沒有平臺出現(xiàn)，2017年消落期平臺很窄，僅13 d，2014年和 2020年的bc平臺持時(shí)在30 d以上。2010年、2012年和2020年汛期洪峰水位較高，分別為160.98、162.87、167.41 m，2015年汛期幾乎沒有洪峰出現(xiàn)。2018年和2020年汛后期水位未回落至汛限水位附近便進(jìn)入蓄水階段。從11條水位過程線的標(biāo)定結(jié)果可知：峰前平臺較明顯，峰后平臺最寬持時(shí)達(dá)44 d，最窄持時(shí)僅4 d，峰后平臺最高水位為155.04 m，最低水位為146.10 m，均值為148.19 m。一定程度上反映了汛期來水的時(shí)間和強(qiáng)度上的不均勻性。

表1 水位變化特征參數(shù)標(biāo)定結(jié)果及分布參數(shù)Table 1 Results of characteristic parameters of WPLs

圖3 實(shí)測水位與標(biāo)定水位過程線對比Fig.3 Comparison of WPLs between calibration and measurement

3 特征參數(shù)的分布參數(shù)

特征參數(shù)的隨機(jī)性常用統(tǒng)計(jì)特性來表征，包括分布參數(shù)(均值、變異系數(shù))、分布類型和相關(guān)性。

3.1 特征參數(shù)的均值與變異性

表1最后3行給出了14個(gè)特征參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。水位消落期，緩降時(shí)長和陡降時(shí)長均值分別為87.00 d和47.45 d，變異系數(shù)分別為0.24和0.23。消落平臺持時(shí)均值為27.82 d，變異系數(shù)為0.64，這與有的年份沒有平臺、有的年份平臺較寬的離散性大相吻合。緩降和陡降消落速率均值分別為14.53 cm/d和36.75 cm/d，變異系數(shù)分別為0.22和0.19，說明多年水位過程線在陡降段相對集中，在緩降段相對分散，與圖1中水位過程線消落期松散程度一致。

汛限期，峰前和峰后平臺的持時(shí)均值分別是29.09 d和19.00 d，汛期洪升和消落時(shí)長均值分別是18.45 d和13.73 d，變異系數(shù)分別為0.80和0.55。洪升時(shí)間越短，汛期洪峰水位也不會(huì)太高，符合一般規(guī)律。汛期4條直線段的持續(xù)時(shí)間的變異性較大，一定程度上說明汛期上游暴雨出現(xiàn)時(shí)間、持續(xù)時(shí)間和暴雨強(qiáng)度的分布不均及下游防洪需求時(shí)間的不均勻性。雖然汛期洪峰的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到5.60 m，但是洪峰水位均值為156.95 m，兩者相除后，變異系數(shù)值僅為0.04。

水位回升期，陡升段和緩升段的時(shí)長均值分別是22.18 d和32.27 d，庫水回升速率分別是74.33 cm/d和37.88 cm/d，兩個(gè)速率的變異系數(shù)基本一致。陡升時(shí)長的變異系數(shù)比緩升時(shí)長的變異系數(shù)大0.14，這與汛后期降雨時(shí)間的不確定性導(dǎo)致有些年份汛期洪峰還未完全消落便開始蓄水，從而壓縮了陡升段寬度一致。

3.2 特征參數(shù)標(biāo)定均值線與水位均值線

水位過程線的標(biāo)定過程中并沒有把峰前和峰后兩平臺水位作為特征參數(shù)，而是根據(jù)圖3中峰前平臺和峰后平臺11 a水位數(shù)據(jù)計(jì)算其統(tǒng)計(jì)特性。采用14個(gè)特征參數(shù)均值和兩平臺高程的統(tǒng)計(jì)均值無法構(gòu)造出一條閉環(huán)的水位過程線。按照表1中14個(gè)特征參數(shù)的均值及根據(jù)消落期緩降和陡降段、回升期陡升和緩升段的時(shí)長和速率乘積與175 m的差值計(jì)算得到的汛限期兩平臺高程繪制的水位過程線稱“標(biāo)定均值線”；根據(jù)汛期兩平臺高程的統(tǒng)計(jì)均值修正標(biāo)定均值線獲取的水位過程線稱“平臺統(tǒng)計(jì)均值線”。將水位過程線按公歷日期累加求平均可獲取“水位均值線”。圖4給出了上述3條均值線及11條年水位過程線。3條均值線都能較好地反映壩前水位的變化過程，在回升期的緩升段和消落期十分接近，但是在峰后平臺和陡升期差別較大。水位均值線的峰后平臺高于標(biāo)定均值線相應(yīng)兩平臺高程，這是因?yàn)樗痪稻€在求平均時(shí)存在“削峰填谷”現(xiàn)象，在8月至9月上旬尤其嚴(yán)重。例如2020年8月下旬出現(xiàn)汛期最大洪峰167.41 m，而其它年份該時(shí)間段內(nèi)水位絕大多數(shù)在150 m以下，甚至已回落至汛限水位附近，但是11 a數(shù)據(jù)在該時(shí)段平均后水位均值提高了至少1 m。同樣的現(xiàn)象在2010年也出現(xiàn)過。平臺統(tǒng)計(jì)均值線采用的是平臺高程的統(tǒng)計(jì)均值，與水位均值線的平臺高程基本一致，一定程度上也受“削峰填谷”的影響，而標(biāo)定均值線不僅保留了水位調(diào)度曲線的主要特點(diǎn)，而且較好地避開了水位均值線直接平均產(chǎn)生的“削峰填谷”現(xiàn)象。

圖4 11 a水位過程線、水位均值線、標(biāo)定均值線對比Fig.4 Comparison among eleven WPLs, mean water level, and calibration mean results

此外，庫區(qū)岸坡的變形與庫水消落時(shí)長和速率相關(guān)[16]。汛期洪峰的消落對庫岸變形同樣重要，“削峰填谷”將直接壓縮汛期洪峰的消落時(shí)間，如果采用水位均值線或平臺統(tǒng)計(jì)均值線，將低估汛期庫岸變形，高估汛期岸坡穩(wěn)定性。因此，在庫區(qū)涉水岸坡的庫水周期性震蕩影響下的變形預(yù)測或確定性分析中運(yùn)用標(biāo)定均值線更為合適。涉水岸坡的非確定性分析中除了需要分布參數(shù)外，還需要隨機(jī)變量的分布類型。

4 特征參數(shù)的分布類型

4.1 AIC準(zhǔn)則

采用AIC準(zhǔn)則[17]識別隨機(jī)變量的最優(yōu)邊緣分布類型，先假定特征參數(shù)可能的備選邊緣分布，具有最小AIC值的邊緣分布通常被認(rèn)為是擬合實(shí)測數(shù)據(jù)概率分布的最優(yōu)分布。AIC值計(jì)算公式為

(4)

式中：f(xi;p,q)為備選分布的概率密度;xi為樣本觀測值；k為備選分布參數(shù)個(gè)數(shù)。采用正態(tài)、對數(shù)正態(tài)、極值Ⅰ型和威布爾分布作為備選分布，其概率密度函數(shù)和分布參數(shù)p和q的換算參照文獻(xiàn)[18]。

4.2 最優(yōu)邊緣分布的識別

表2左側(cè)給出了14個(gè)特征參數(shù)的4種備選概率分布AIC值和據(jù)AIC準(zhǔn)則識別出的最優(yōu)邊緣分布類型。運(yùn)用對數(shù)正態(tài)擬合時(shí)，洪峰爬升時(shí)長、洪峰水位、洪峰消落時(shí)長和陡升時(shí)長的擬合效果最好。消落期緩降時(shí)長、平臺持時(shí)和陡降速率、峰后平臺持時(shí)、緩升時(shí)長，當(dāng)備選分布類型為威布爾時(shí)AIC值最小。極值Ⅰ型是緩降速率、陡降時(shí)長、峰前平臺持時(shí)、陡升速率和緩升速率，擬合頻率直方圖最優(yōu)的分布類型。

表2 特征參數(shù)的分布類型識別結(jié)果Table 2 Results of distribution function of characteristic parameters

圖5給出了基于11個(gè)樣本計(jì)算的回升期和消落期特征參數(shù)的頻率直方圖和4種備選概率分布擬合曲線。一般地，對數(shù)正態(tài)和極值Ⅰ型能較好地?cái)M合左偏型頻率直方圖，而對稱型、右偏型頻率直方圖分別運(yùn)用正態(tài)和威布爾分布擬合效果更好。

圖5 消落期和回升期持續(xù)時(shí)間和庫水變化速率直方圖Fig.5 Histograms of duration and change rate in falling period and rising period

庫水消落期，圖5(a)和圖5(d)中緩降時(shí)長和陡降速率的頻率直方圖為右偏型，威布爾擬合最佳，與表2左側(cè)采用AIC值最小識別的結(jié)果一致；圖5(b)和圖5(c)中緩降速率和陡降時(shí)長的頻率直方圖為左偏型，陡降時(shí)長在41 d頻率遠(yuǎn)大于其它區(qū)間，極值 Ⅰ 型在41 d的密度值大于對數(shù)正態(tài)分布，極值 Ⅰ 型是陡降時(shí)長的最優(yōu)邊緣分布；極值 Ⅰ 型在緩降速率直方圖左右兩側(cè)較對數(shù)正態(tài)分布更為貼近，是緩降速率的最優(yōu)分布。

庫水回升期，圖5(e)至圖5(h)中緩升時(shí)長為右偏型，運(yùn)用威布爾分布擬合較好；陡升時(shí)長、陡升速率和緩升速率的頻率直方圖為左偏型，對數(shù)正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布擬合這3個(gè)特征參數(shù)的直方圖時(shí)兩類分布的概率密度曲線很接近，很難從圖中辨認(rèn)出最優(yōu)的邊緣分布類型。而通過表2中對數(shù)正態(tài)和極值Ⅰ型AIC值的大小可以較方便地確定相應(yīng)特征參數(shù)的最優(yōu)分布類型。

4.3 邊緣分布類型的Bootstrap模擬

表2左側(cè)識別的分布類型是基于11個(gè)樣本，具有統(tǒng)計(jì)不確定性。Bootstrap 方法是模擬小樣本統(tǒng)計(jì)不確定性較成熟的方法之一[19-20]。

表2右側(cè)給出了Bootstrap 模擬20 000次的4種備選分布被識別為最優(yōu)邊緣函數(shù)的總次數(shù)，14個(gè)特征參數(shù)中沒有一個(gè)備選分布能被100%選為最優(yōu)邊緣分布。除峰前平臺時(shí)長和洪峰高程外，其它12個(gè)特征參數(shù)Bootstrap 模擬的最優(yōu)邊緣分布結(jié)果與原始樣本AIC值識別結(jié)果一致?；谛颖続IC值確定的汛期洪峰的最優(yōu)分布類型為對數(shù)正態(tài)，而Bootstrap 模擬中極值Ⅰ型和對數(shù)正態(tài)分布被選為最優(yōu)分布的次數(shù)分別是6 757次和5 513次，極值Ⅰ型分布是考慮統(tǒng)計(jì)不確定性后的汛期洪峰的最優(yōu)邊緣分布。11個(gè)樣本基礎(chǔ)上峰前平臺持時(shí)，極值Ⅰ型AIC值為82.62，略小于對數(shù)正態(tài)的82.66，因而認(rèn)為極值Ⅰ型是最優(yōu)邊緣分布函數(shù)，而Bootstrap 模擬中對數(shù)正態(tài)被選為最優(yōu)的次數(shù)比極值Ⅰ型多1 342次，對數(shù)正態(tài)是峰前平臺持時(shí)Bootstrap 模擬的最優(yōu)邊緣分布。

5 特征參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)

每年庫區(qū)水位從175 m消落至145 m耗時(shí)約160 d，從145 m回升到175 m耗時(shí)50 d左右。不同的庫水消落回升時(shí)長與速率組合之間必然存在相關(guān)性。

5.1 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法

可靠度計(jì)算中常用的相關(guān)系數(shù)主要有Pearson線性相關(guān)系數(shù)ρ和Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ。Pearson線性相關(guān)系數(shù)在相關(guān)非正態(tài)隨機(jī)變量非線性變換前后值會(huì)發(fā)生變化，而Kendall秩相關(guān)系數(shù)非線性和線性單調(diào)變換后值保持不變。兩者均可以根據(jù)標(biāo)定出的特征參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，公式如下：

(5)

(6)

5.2 庫區(qū)水位過程線特征參數(shù)的相關(guān)性

運(yùn)用式(5)和式(6)分別計(jì)算表1中相鄰2個(gè)特征參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，其中相關(guān)性較大的6組列于表3。緩降和陡降段的持時(shí)和速率、陡升和緩升持時(shí)和速率均為負(fù)相關(guān)，即要消落或回升相同的水位差，持續(xù)時(shí)長越短，需要的庫水上升和下降速率越大。汛期洪峰與洪峰下降天數(shù)成正比，即洪峰越高，洪水消去時(shí)間越長。消落期平臺持時(shí)與緩降速率正相關(guān)，即緩降速率越大，從175 m消落到160 m左右的時(shí)間越短，160～165 m高程附近水位“逗留”的機(jī)動(dòng)時(shí)間可長一些，上述現(xiàn)象符合庫水調(diào)度的一般規(guī)律。

表3 特征參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)Table 3 Coefficients of correlation among characteristic parameters

在給出的6組相關(guān)系數(shù)中庫水位陡升時(shí)長和速率的負(fù)相關(guān)性最大，Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.85，陡降時(shí)長和速率的Pearson相關(guān)系數(shù)次之，為-0.78；庫水位緩降時(shí)長和速率、緩升時(shí)長與速率的負(fù)相關(guān)性最小，均為-0.67，但Kendall秩相關(guān)系數(shù)分別為-0.31和-0.70。消落期緩降速率和平臺天數(shù)，汛期洪峰與洪峰下降天數(shù)的Pearson相關(guān)系數(shù)均為0.70，Kendall秩相關(guān)系數(shù)分別為0.46和0.60。

基于11個(gè)樣本數(shù)據(jù)的特征參數(shù)相關(guān)系數(shù)之間同樣存在統(tǒng)計(jì)不確定性。

5.3 相關(guān)性的Bootstrap模擬

在Bootstrap模擬中，計(jì)算20 000個(gè)子樣本6組特征參數(shù)的相關(guān)系數(shù)，然后統(tǒng)計(jì)子樣本相關(guān)系數(shù)的均值和變異系數(shù)，計(jì)算結(jié)果列于表3右側(cè)。Bootstrap模擬相關(guān)系數(shù)均值結(jié)果與基于11個(gè)小樣本計(jì)算得到的Pearson相關(guān)系數(shù)和Kendall秩相關(guān)系數(shù)基本一致，說明Bootstrap模擬繼承了原始樣本特征參數(shù)之間的相關(guān)特性。Bootstrap模擬的Pearson相關(guān)系數(shù)均值誤差比Kendall秩相關(guān)系數(shù)均值誤差小，子樣本Pearson相關(guān)系數(shù)的變異系數(shù)小于Kendall秩相關(guān)系數(shù)的變異系數(shù)，變異系數(shù)絕大多數(shù)小于0.20。緩降時(shí)長與緩降速率之間相關(guān)性的誤差是6組相關(guān)性中最大的，Pearson相關(guān)系數(shù)均值誤差為2.90%，Kendall秩相關(guān)系數(shù)均值的誤差達(dá)18.42%，Bootstrap模擬的變異系數(shù)也最大，分別為0.25和0.56。

6 結(jié) 論

本文對2010—2020年三峽壩前水位過程線進(jìn)行特征參數(shù)的標(biāo)定與統(tǒng)計(jì)，得到以下結(jié)論：

(1)根據(jù)三峽水庫調(diào)度特點(diǎn)及考慮汛期洪峰，將每年1月1日至10月27日水位過程線分9條直線段進(jìn)行擬合，消落期、汛限期、回升期分別用持續(xù)時(shí)長、高程、水位上升或下降速率等14個(gè)特征參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定均值過程線能有效避開多年水位平均線在汛限期和陡升期的削峰填谷現(xiàn)象，比水位均值線更適合作為庫水周期性震蕩影響下庫岸邊坡變形預(yù)測及穩(wěn)定分析的典型水位過程線。

(2)基于11 a小樣本特征參數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，庫水消落期，緩降時(shí)長和水位消落速率分別服從威布爾和極值Ⅰ型分布，均值和變異系數(shù)分別為87.00 d、0.24和14.53 cm/d、0.22，Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.67。陡降時(shí)長和水位下降速率分別服從極值Ⅰ型和威布爾分布，均值和變異系數(shù)分別為47.45 d、0.23和36.75 cm/d、0.19，Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.78。庫水回升期，陡升時(shí)長和水位上升速率分別服從對數(shù)正態(tài)和極值Ⅰ型分布，均值和變異系數(shù)分別為22.18 d、0.38和74.33 cm/d、0.29，Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.85；緩升段時(shí)長和水位回升速率分別服從威布爾和極值Ⅰ型分布，均值和變異系數(shù)分別為32.27 d、0.24和37.88 cm/d、0.28，Pearson相關(guān)系數(shù)為-0.67。

(3)水位過程線特征參數(shù)分布類型和相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)不確定性模擬表明汛限期峰前平臺持時(shí)和洪峰高程的分布類型應(yīng)修正為對數(shù)正態(tài)和極值Ⅰ型分布；緩降時(shí)長與速度、緩降速度與消落期平臺之間的Pearson相關(guān)系數(shù)均值和Kendall秩相關(guān)系數(shù)均值的變異系數(shù)較大。在庫區(qū)岸坡穩(wěn)定分析的風(fēng)險(xiǎn)分析中應(yīng)引起重視。

(4)三峽庫區(qū)范圍很大，本文研究的是壩前水位過程線的統(tǒng)計(jì)特性，如何建立庫區(qū)涉水滑坡所在地與壩前水位過程線特征參數(shù)之間的聯(lián)系是值得研究的一個(gè)問題；如何考慮水位過程線特征參數(shù)分布類型及相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)不確定性帶來的庫岸風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間估計(jì)是今后需要研究的另一個(gè)問題。