潘敬貞

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問(wèn)題一直是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，主要包括兩種類型：已知不等式求參數(shù)的范圍和證明不等式。該類問(wèn)題的求解對(duì)同學(xué)們的分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)變形、構(gòu)造新函數(shù)、分類討論、推理論證、運(yùn)算求解等能力要求比較高。本文結(jié)合實(shí)例對(duì)常見(jiàn)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的不等式問(wèn)題進(jìn)行歸納、梳理，主要目的是加強(qiáng)同學(xué)們對(duì)該類題備考的針對(duì)性，提高解決該類問(wèn)題的能力，從而提高高考競(jìng)爭(zhēng)力。

一、已知不等式求參數(shù)的范圍

例1 已知函數(shù)f（x）=（x—1）e—a（x2+1），xE[1，+o）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;（2）若f（x）≥-2a+lnx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）略。

（2）

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是由g'（1）=0得a=e—1，后面只需討論a>e—1和a≤—1時(shí)函數(shù)g（x）的符號(hào)即可。

例2 已知函數(shù)f（x）=ae-2ax- 2（a≠0）。

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）

解析：

評(píng)注：本題是以探究存在性問(wèn)題進(jìn)行設(shè)問(wèn)，具有濃厚的探究味道，但本質(zhì)上和已知不等式求參數(shù)范圍是一致的，本題的方法1是正面突破，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)一系列推導(dǎo)和求解得出矛盾，最后下結(jié)論，這是這類問(wèn)題的一般解法，但過(guò)程有點(diǎn)煩瑣;方法2是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）mm>g（x）max，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后得出結(jié)論，該思路也非常清晰、自然，解答過(guò)程簡(jiǎn)潔，是一種好的解法;方法3是通過(guò)分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，該解法容易理解，也常用，但對(duì)運(yùn)算能力要求比較高，解答過(guò)程比較繁雜，沒(méi)有一定的數(shù)學(xué)功底很難完整地解答出來(lái)。＼

二、證明函數(shù)不等式

有關(guān)證明不等式問(wèn)題，一般有轉(zhuǎn)化后求函數(shù)的最值問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，對(duì)數(shù)均值不等式問(wèn)題，有時(shí)還需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)等。例3 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+21nx （a為常數(shù)）。

（1）當(dāng)a≤4時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）

解析：（1）

評(píng)注：本題第（2）問(wèn)根據(jù)題意利用韋達(dá)定理將參數(shù)消掉，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，解題過(guò)程中的換元、變形是關(guān)鍵，試題難度較大，需要豐富的解題經(jīng)驗(yàn)和較高的數(shù)學(xué)綜合能力。

函數(shù)不等式問(wèn)題一直是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，一般都是考卷中的壓軸題，該類題的解決對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力要求較高，不僅需要豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，還需要很強(qiáng)的推理論證和運(yùn)算求解能力。只有勤于思考，經(jīng)常歸納解題思路，提煉思想方法，不斷反思小結(jié)，從而提高自己的數(shù)學(xué)綜合能力，才能在高考考場(chǎng)中擊敗函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題。

（責(zé)任編輯王福華）08CE8C89-F2FC-4130-9EB6-5ED8C07E1D51