陳家飛

導(dǎo)數(shù)是高中階段研究函數(shù)的重要工具，有著廣泛的應(yīng)用，但是同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中存在一些誤區(qū)，經(jīng)常出現(xiàn)一些錯誤，本文對有關(guān)易錯點進(jìn)行歸納剖析，供大家參考。

易錯點1：對函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清致錯

例1函數(shù)f（x）=ax3-x2+x-5在區(qū)間（一0，+0）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

錯解：

剖析：錯解將“導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上大于零”當(dāng)作“函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)”的充要條件。比如，函數(shù)f（x）=x3在R上是增函數(shù)，則在R上f'（x）=3x2≥0恒成立，而不是f'（x）=3x2>0。由函數(shù)在區(qū)間D上為增函數(shù)（減函數(shù)），求參數(shù)的范圍時，首先由f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在D上恒成立求出參數(shù)的范圍，再驗證f'（x）=0時的參數(shù)值是否滿足f'（x）在D的任一子區(qū)間上不恒為零。若不恒為零，則保留;否則舍去。

正解：

易錯點2：將“過某點的切線”與“在某點的切線”混淆致錯

例2 已知曲線S：y=3x—x3，求過點P（2，—2）的切線方程。

錯解：由題意可知，點P（2，—2）在曲線S上，且y'=3—3x2，則過點P的切線的斜率k=y'lx=2=—9，所以過點P的切線方程為y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0。

剖析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f'（x。）表示曲線y=f（x）在點（xo，f（xo））處的切線的斜率，其中（xo，f（x。））為切點，但題中所給的點P（2，—2）不一定是切點。曲線在某點處的切線的斜率是該曲線對應(yīng)的函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。在此題中，點P湊巧在曲線S上，求過點P的切線方程，卻并非說切點一定是點P，錯解是對求過點P的切線方程和求曲線在點P處的切線方程，認(rèn)識不到位，發(fā)生了混淆。

正解：設(shè)切點為Q（xo，yo），則過點P的曲線S的切線的斜率k=y'|x=x。=3—3x，所以切線方程為y—y。=（3—3x2）（x—xo）。因為切線過點P（2，—2），所以—2—y。=（3—3x2）（2-x。）。又因為yo=3x。-x8，所以-2- （3x0-x/3）=（3-3x2）（2-xo），整理得x8-3x +4=0，即（x。+1）（x?！?）2=0，解得x。=—1或x。=2。若x。=—1，則切點為（—1，—2），切線方程為y=—2;若x。=2，切點為（2，—2），切線方程為9x+y—16=0。故所求切線方程為y=—2或9x+y—16=0。

易錯點3：忽視了函數(shù)的變化趨勢致錯

例3 已知方程1n=a有兩個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍。

錯解：

剖析：錯解忽視了函數(shù)的具體走勢，雖然函數(shù)f（x）先增后減，但是當(dāng)x→+o時，函數(shù)的值始終是大于0的，即函數(shù)在右側(cè)不會與x軸相交。

正解：

易錯點4：對含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論時有遺漏或重復(fù)致錯

例4 已知函數(shù)f（x）=x-1-Inx- a（x—1）2（aER），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

錯解：

剖析：

正解：

（責(zé)任編輯王福華）1D7B60BB-4862-4EAF-A9D6-3BBFBA3C6F0E