丁一，劉盛終，王旭東，霍現(xiàn)旭，胡志剛，姜帆

（1.國網(wǎng)天津市電力公司電力科學研究院，天津 300384；2.國網(wǎng)天津市電力公司，天津300010；3.國網(wǎng)天津市電力公司城東供電分公司，天津 300250；4.國網(wǎng)天津市電力公司薊州供電分公司，天津 301900）

鉛酸蓄電池被廣泛應用在電動汽車、光伏電站、分布式電源和航空航天等領域中，其維護簡單，使用壽命長，功率高，穩(wěn)定性和可靠性較強。健康狀態(tài)（SOH）是鉛酸蓄電池的一個重要指標，它反映了電池的老化程度，也是電池管理系統(tǒng)（battery management system，BMS）建設中需要重點考察的因素。通常認為電池出廠時SOH為100%，隨著循環(huán)充放電次數(shù)的增多，其可用容量逐漸遞減，這一過程是不可逆的，SOH的定義式為電池的當前可用容量與電池出廠容量的比值。當SOH下降到特定數(shù)值以下時，一般為0.8左右，電池報廢。

當前對于鉛酸蓄電池SOH估計的研究文章較多，一般SOH估計分為三大類：基于模型的方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動方法和融合方法?；谀Ｐ偷姆椒ㄖ饕獜碾姵氐奈锢頇C理出發(fā)進行建模和探究，電池的SOH受溫度、充放電電流、工況條件、放電深度等眾多因素的綜合影響，各因素相互耦合，其機理較復雜，文獻[1]建立了鉛酸電池的二階等效電路模型，并利用迭代遞推最小二乘法對模型中的參數(shù)進行辨識，但該模型較簡化，沒有考慮更為復雜和實際的工況，無法刻畫電池復雜的電化學反應。文獻[2]在此基礎上，結(jié)合電氣和電化學知識，將電池分為放電初期、穩(wěn)定放電階段以及充電階段，提高了模型的準確率。但總的來說，基于物理模型的方法存在機理不明晰、建模困難的問題，現(xiàn)階段無法準確刻畫電池內(nèi)部各要素的具體作用和耦合關系，因此造成模型的局限性較大，實際應用價值不高。

與此同時，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法發(fā)揮了較大的作用，該方法無需考慮電池的復雜電化學機理，屬于機器學習的范疇，通過對已知樣本進行學習，來辨識和掌握所考察對象的數(shù)據(jù)特征，當有新的樣本輸入時，就可以據(jù)此進行預測，該方法的適應性較強，隨著研究目標的改變，能夠靈活地調(diào)整訓練對象，建立新的預測模型。文獻[3]采用支持向量機（support vector machine，SVM），建立了反映蓄電池端電壓、內(nèi)阻和SOC的預測回歸模型。文獻[4]采用相關向量機（relevance vector machine，RVM）的方法，只保留迭代過程中的非零向量，因而相比支持向量機，減少了計算量。文獻[5]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡，以電池端電壓和充放電電流采集值為輸入，SOC為輸出，建立神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并采用梯度下降法訓練模型的權(quán)重和偏值。文獻[6]采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡（fuzzy neural network，F(xiàn)NN），用粒子群算法對模型中的權(quán)重、偏值和隸屬度函數(shù)進行優(yōu)化?？偟膩碚f，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的預測方法需要大量的訓練數(shù)據(jù)，回歸模型的準備時間較長。

混合方法將基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法和基于模型的方法相融合，試圖克服數(shù)據(jù)驅(qū)動方法對于數(shù)據(jù)量的依賴性和基于模型的方法中由于模型本身的誤差而導致對于客觀物理對象描述的不準確性，比如用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法來獲取機理模型中測量方程的輸出值，以減少在復雜工況下，模型參數(shù)辨識不準確導致的估計誤差。文獻[7]用DS（dempster-shafer）理論來初始化訓練數(shù)據(jù)集，并用蒙特卡洛方法來更新電池容量退化雙指數(shù)模型中的參數(shù)。文獻[8]用卡爾曼濾波算法（KF）來增強電池容量的相關向量機模型，提高了預測的長期性和預測精度。文獻[9]用離線的電池模型參數(shù)作為容量退化的特征量，來訓練灰色神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并用于在線容量估計。這類方法的魯棒性較好，具有較強的參數(shù)修正能力，但總的來說，混合方法提高了預測模型和估計算法的復雜度，在提高可靠性的同時不可避免地導致預測精度的降低。

高斯過程回歸（Gaussian process regression，GPR）[10]是最近發(fā)展起來的一種基于貝葉斯框架的回歸方法，在處理高維度、小樣本、強非線性的問題中具有較強優(yōu)勢，適合電池這一強非線性系統(tǒng)。本文首先提取鉛酸蓄電池的充電特征曲線，分析對比了恒流充電階段的相關特征。然后建立起GPR模型，采用混沌粒子群算法（CPSO）對模型中的超參數(shù)進行優(yōu)化，找到高質(zhì)量的超參數(shù)。兩種算法相互協(xié)同，形成了CPSO-GPR算法，實驗結(jié)果表明，用該算法來預測新樣本點的SOH值，估計精度在3%以內(nèi)。

1 恒流充電特征分析對比

鉛酸蓄電池屬于二次電池，其具有可逆的化學反應，即“雙硫酸鹽化反應”，在正負級都會有PbSO4生成。充電過程是正、負極板上的PbSO4得電子，和水反應，分別在正、負極生成PbO2和Pb。放電反應是正、負極的活性物質(zhì)分別與電解液H2SO4反應，失電子生成 PbSO4，隨著PbSO4擴散到正、負極的活性物質(zhì)里面，使得H2SO4難以入內(nèi)參與化學反應，使得放電電壓急劇下降。鉛酸蓄電池可以反復充、放電多次，每次體系恢復到原始狀態(tài)，但由于極板老化、硫酸鹽化和板柵腐蝕等原因，電池的可用容量逐漸衰減。

下面用循環(huán)充、放電實驗來獲取鉛酸電池的容量衰減曲線。充電實驗采用先恒流充電再恒壓充電[4]的形式，這種方法較溫和，對電池的沖擊較小，且保證較高的充電效率。放電實驗則采用恒流放電。

電池參數(shù)為：額定容量200 A·h，循環(huán)充電電壓（14.70±0.18）V，最大充電電流50 A。

實驗步驟為：1）20 A恒流充電；2）當端電壓達到14.4 V時，轉(zhuǎn)為恒壓充電，當充電電流下降到2.4 A時，充電階段結(jié)束；3）40 A恒流放電，同時用傳感器記錄放電電流和時間，用A·h計量法計算實際容量；4）端電壓達到截止電壓1.6 V時，一個充、放電循環(huán)結(jié)束；5）重復1）～4）步驟52次。得到容量隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖1所示。

圖1 電池容量退化趨勢Fig.1 The degeneration trend of battery capacity

記錄每次循環(huán)充放電過程中的恒流充電時間和恒壓充電時間隨當前容量的對應關系，得到如圖2所示的關系曲線。由圖2易知，恒壓、恒流充電階段時間和充電總時間隨容量衰減而變化顯著。設充電總時間、恒壓和恒流充電時間分別為T，T1，T2，分別計算灰色關聯(lián)度和皮爾遜相關系數(shù)來選取相關性最高的量，得到表1。

圖2 電池容量和充電時間的關系曲線Fig.2 Relevance curves between battery capacity and charging time

表1 灰色關聯(lián)度分析結(jié)果Tab.1 Results of grey relevance analysis

故選取恒流充電時間T2序列和電池循環(huán)容量序列，建立GPR模型。

2 鉛酸蓄電池高斯過程回歸模型的建立

高斯過程又名正態(tài)隨機過程，面對小樣本、高維度和強非線性的樣本時具有較好的學習能力[8]。

式中：K（X，X）為訓練樣本X的協(xié)方差矩陣；ρ（X）為訓練樣本X的均值矩陣。

可建立如下的高斯過程模型：

式中：y為輸出向量為高斯白噪聲；I為單位矩陣為方差。

由于白噪聲相互獨立，則y也屬于高斯過程，由貝葉斯原理可知，y的先驗分布為

對于一組新的樣本(x*,y*)，可知目標輸出向量y和測試樣本的輸出y*符合聯(lián)合高斯分布，即

K矩陣的第i行第j列元素Kij=k(xi,xj)為核函數(shù)。由貝葉斯后驗分布公式可知：

易知y*的置信度為0.997 3的置信區(qū)間為核函數(shù)取平方指數(shù)核函數(shù)[9]，用輸入變量之間的距離來反映相關性，即

式中：σp為核函數(shù)標準差，描述輸入變量的局部相關性；l為帶寬，控制核函數(shù)的光滑程度。

σp，l，σn為超參數(shù)；當i=j時，控制系數(shù)δij=1，否則為0。

GPR的缺點在于回歸模型中的超參數(shù)過多，選取不當會直接影響模型的回歸性能。超參數(shù)尋優(yōu)的本質(zhì)是最小化訓練樣本的預測值和真實值之間的均方誤差，是一類無約束優(yōu)化問題，即

式中：m為驗證集的個數(shù)。

式（7）的解析復雜，求導困難，超參數(shù)的初值難以估計，常用啟發(fā)式算法進行優(yōu)化，即初始化一個群，通過逐代進化，優(yōu)勝劣汰，進而尋找到一個高質(zhì)量的解。

3 混沌粒子群算法

粒子群算法[11]是一種優(yōu)秀的啟發(fā)式算法，其參數(shù)較少，收斂速度快，全局性能好，而且不需要提供目標函數(shù)的導數(shù)信息，適合用于參數(shù)辨識、超參數(shù)優(yōu)化等領域。傳統(tǒng)的粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)解[10-11]而導致解的質(zhì)量不高。本文將混沌過程引入PSO中，形成了混沌粒子群算法，以提高其尋優(yōu)的廣度和深度，獲取更高質(zhì)量的超參數(shù)解，提升GPR模型的回歸預測效果。

3.1 混沌初始化

混沌具有遍歷性，有助于產(chǎn)生盡可能覆蓋可行區(qū)域的初始粒子。這里采用logistic序列[12]Ui+1=μUi（1-Ui）來初始化種群。當μ=4時達到完全混沌狀態(tài)。先產(chǎn)生n維混沌變量U0（n為超參數(shù)個數(shù)），代入logistic序列中迭代M次（M＞m，m為粒子總數(shù)），生成M個混沌向量，逐一反映射到自變量的取值區(qū)間，生成M個粒子。第i個粒子Ui=（δip，li，δin），包含了 GPR可能的超參數(shù)信息。將每個粒子帶入到式（7）中，比較目標函數(shù)值，選取最優(yōu)的m個粒子作為初始種群。較優(yōu)的初始種群能夠避免低效率搜索，加速尋優(yōu)進程。

3.2 混沌搜索

常規(guī)PSO中粒子速度和位置的迭代公式如下：

式中：ω為慣性因子；c1，c2為學習因子；r1，r2為(0,1)之間的隨機數(shù)為粒子i在第k次迭代時的位置為粒子i在第k次迭代時的速度為粒子i的歷史最優(yōu)位置是當前全局最優(yōu)位置。

為了提高尋優(yōu)的廣度，在粒子運動過程中加入混沌搜索。粒子的速度位置在第k次更新時，采用如下方法：隨機產(chǎn)生n維向量uo，uoi∈(0,1)。代入logistic方程迭代T次，生成T個混沌向量ut,t=1,2,…,T。令控制混沌搜索的幅度，取為攝動步長，代入式（8）中，迭代更新公式化為

此時粒子i有T個混沌速度位置1,2,…,T和1個不加混沌攝動的速度位置對這T+1種選擇，取最優(yōu)結(jié)果作為第k+1迭代時的速度和位置，即

將式（10）代入式（9）中重復進行。

3.3 交叉變異操作

遺傳算法[13]（genetic algorithm，GA）的交叉變異操作有助于算法跳出局部最優(yōu)解，借鑒這一思想，當種群的平均適應度變化較小時，對種群進行交叉和變異操作，有助于獲取新個體，將種群引入新的搜索區(qū)域。

采用多項式交叉。對粒子i和j交叉操作后產(chǎn)生的兩個個體為

其中

式中：δij為交叉因子；u為（0，1）之間的隨機數(shù)。

對于粒子i，定義變異因子：

變異后新粒子為

4 CPSO-GPR算法的基本步驟

將樣本集合D隨機劃分為k個互斥子集[9]，即D=D1∪D2∪…∪Dk,Di∩Dj=?，依次選取Di，i=1，2，…，k為驗證集，其余子集為訓練集。代入式（8）中，并用混沌粒子群算法優(yōu)化問題，以獲取高質(zhì)量的超參數(shù)解，經(jīng)過k輪驗證后，選取最優(yōu)的結(jié)果（驗證集中y的真實值和預測值的均方誤差最?。┳鳛槟Ｐ偷某瑓?shù)解，建立GPR回歸模型，用于新的數(shù)據(jù)點的預測，并可給出置信區(qū)間。CPSO-GPR算法的基本流程圖如圖3所示，其中，fav為粒子的平均適應度，s為迭代計數(shù)變量。

圖3 CPSO-GPR算法流程圖Fig.3 The flow chart of CPSO-GPR

5 實驗驗證與結(jié)論

將鉛酸蓄電池52個充、放電循環(huán)的恒流充電時間數(shù)據(jù)集的前26個數(shù)據(jù)點作為訓練數(shù)據(jù)，后26個數(shù)據(jù)點作為測試數(shù)據(jù)，來預測SOH值。訓練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)都為2×1維的矩陣，第1行為恒流充電時間，第2行為相應的當前可用容量。實驗過程和實驗數(shù)據(jù)的具體細節(jié)參見文獻[4]。訓練數(shù)據(jù)隨機劃分為兩個互斥子集，其中一個為訓練集，另一個為驗證集，用于建立GPR模型。

兩個驗證集的數(shù)據(jù)點預測結(jié)果和相對誤差百分比如圖4所示。可知，各交叉檢驗集的估計誤差大多在1%以下，體現(xiàn)了較好的回歸預測效果。

圖4 估計結(jié)果及誤差Fig.4 The estimation results and errors

為展示混沌粒子群[14]的優(yōu)化效果，用常規(guī)粒子群算法優(yōu)化問題（式（8）），并與CPSO做對比，得到圖5，適應度函數(shù)選取式（7）。由圖5可知，將混沌過程加入到粒子群算法中，增大了尋優(yōu)的廣度和深度，更加不容易陷入局部最優(yōu)解，從而求得更小的擬合誤差和更高質(zhì)量的超參數(shù)值，提高了GPR模型的回歸性能。

圖5 CPSO和PSO優(yōu)化效果對比Fig.5 The optimization effect of CPSO and PSO

將新數(shù)據(jù)點，即后26個循環(huán)周期的恒流充電數(shù)據(jù)代入建立好的GPR模型中，給出預測值和置信區(qū)間，如圖6所示。由圖6可知，99.5%的置信區(qū)間窄，表現(xiàn)出較好的預測性能。

圖6 新數(shù)據(jù)點的預測值及其置信區(qū)間Fig.6 Prediction value and confidence interval of new data points

每個數(shù)據(jù)點的估計值與真實值的相對誤差百分比如圖7所示，可知最大誤差百分比低于3%，精確度較高。

圖7 新數(shù)據(jù)點的估計誤差Fig.7 Estimation error of new data points

本文提出了CPSO-GPR算法用于鉛酸蓄電池的SOH估計中。首先提取鉛酸電池充電階段的健康特征，用恒流充電時間作為表征電池當前SOH值的重要指標。將混沌過程引入到粒子群算法中，以增強其尋優(yōu)的廣度和深度，用CPSO算法優(yōu)化高斯過程回歸模型中的超參數(shù)，即最小化驗證集預測值與真實值之間的均方誤差。獲取最優(yōu)的超參數(shù)解以后，用新的數(shù)據(jù)點進行預測，估計誤差在3%以內(nèi)。結(jié)果表明，CPSO算法有助于提升GPR的回歸性能，進而實現(xiàn)對鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精準估計，此外，由圖5可知，CPSO算法收斂速度較快，在進行到30代左右就可以獲取較高質(zhì)量的超參數(shù)解，CPSO-GPR的運算時間在5 s以內(nèi)，具有實時性，適合于電池SOH的在線檢測。