王飛 殷長征

1 問題提出

波利亞說：“中學數(shù)學教學的首要任務就是加強解題訓練，”因為通過解題教學可以強化學生“四基”，提高學生“四能”，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，

習題課是高中教學常見的課型之一，也是數(shù)學教學的重要組成部分，特別是高三年級，幾乎天天都是習題課，可當前，習題課教學的現(xiàn)狀如何呢？

現(xiàn)象1教師講解練習（或試卷）講評課，不是每題講解，而是有選擇性地歸類講解，講解伊始，教師情緒激昂，偶爾也會生成一些問題讓學生回答，或讓學生板演，半節(jié)課過去，發(fā)現(xiàn)有近1/4學生精力不集中，個別同學競趴在桌子上睡著了，

現(xiàn)象2投影儀展示習題，教師開始講解，一段時間后，教師又給出一道習題讓學生思考，學生一臉茫然困惑，看著題目不知從哪入手，教師提示，讓學生再思考，看學生仍然沒有什么反應，忙說：“同學們看黑板，注意聽，”教師頗有耐心地講完一遍：“聽懂了嗎？”教室內發(fā)出幾個微弱的聲音，“懂了，”顯然教師有點著急了：“聽懂的請舉手”，有八、九個學生舉起了手，教師更加著急了，“好，我再講一遍，注意聽！”講完后，氣呼呼地瞪著眼睛，“聽懂的請舉手”，學生紛紛舉起了手……

2 教學實踐

習題課，該如何讓教師上出精彩，讓學生學有所獲并真正愛上習題課呢？根據(jù)曾經(jīng)連續(xù)八年擔任高三數(shù)學教學的經(jīng)驗，筆者認為，要上好習題課，需過好“五關”.

2.1 學情調研關

把握學情是精準教學的要義，習題教學的出發(fā)點就是要找準學生的學習起點，所以教師要從學生解題時己具備的知識基礎、基本技能、思維基礎、經(jīng)驗基礎以及數(shù)學學習心向（指學生對數(shù)學內容的認識、態(tài)度）這四個維度入手，分析學生解題時的知識基礎本質上是了解、判斷學生原有認知結構的狀態(tài)，及時喚醒與解題相關聯(lián)的舊知識，把解題需用的知識內容與學生的認知結構中原有的知識系統(tǒng)建立實質性的聯(lián)系，找出學生對當前數(shù)學解題內容的“最近發(fā)展區(qū)”，分析學生解題時的基本技能就是要了解學生建立模型的能力，分析思維基礎和經(jīng)驗基礎就是了解學生處理問題的思維及方法取向，

學情調研的內容可包括：①學生已有的知識技能基礎，如對本單元或本節(jié)內容己掌握和運用的情況;②學生的學習困難，如學生在知識運用和技能學習方面存在的困難，學情調研的方式可以是作業(yè)批改、問卷調查、前測以及個別訪談等，做好了學情調研，教師就掌握了大量鮮活的關于本班學生解題所掌握知識技能等信息，為后面的目標設計、過程設計及評價設計提供依據(jù).

2.2 學生情感關

數(shù)學學習是枯燥無味的，特別是做習題，計算繁瑣、量大，整天跟數(shù)字和字母打交道，學生煩得很，俗話說得好：“親其師方能信其道”.感情的力量是巨大的，教師上好習題課的前提是和學生感情融洽、課堂和諧，尤其是對于那些學困生而言更加重要，他們有的會因為基礎差，缺少教師的關心和幫助，而放棄數(shù)學學科學習，因此，如果教師平時多關注這部分學生，通過鼓勵、面批、談心等方式讓他們感受到教師對他們的愛心與關懷，他們的精力就有可能轉移到學習上來，他們就有可能“為了教師”而努力學習，克服重重困難，用一顆“感恩的心”來回報教師，

長期以來，由于應試教育的強化，圍繞“雙基”的過度訓練仍然在一些課堂盛行，這就使得數(shù)學課程中數(shù)學素養(yǎng)、情感目標等被弱化，久而久之學生開始對數(shù)學產(chǎn)生厭學情緒，習題教學不應僅僅滿足于教給學生一些結論、方法，而應該能給學生以更多的精神浸潤.

2.3 習題選擇關

2.3.1 針對性強，忌漫天撒網(wǎng)

“題海無邊，精選是岸”，特別是高三的復習資料特別多，隨便翻開一本，成千上萬個習題便展現(xiàn)在面前，實踐證明，題海戰(zhàn)術是高耗低效的.學生要跳出“題?！?，這就要求教師在平時的教學中，注意發(fā)現(xiàn)學生普遍存在知識缺陷，常犯錯誤的習題，將其歸類.在習題課上，針對此類問題，多設計一些變式練習，增加習題的趣味性，多題歸一，課后進行補償性訓練，反復強化，使困難迎刃而解，

如在復習圓這一專題習題課時，筆者選擇了這樣一道題：已知圓O：x2+ y2 =1，定點A（3，0），過點A的直線，與圓（）相交于B，C兩點，且B，C兩點均在x軸的上方，若OC平分∠AOB，則直線，的斜率為____.

這道題是在直線和圓位置關系等知識的交匯處命制，既考查了弦長公式、角平分線定理、向量共線定理、余弦定理、面積公式、三角函數(shù)的定義、兩點斜率公式等基礎知識的應用，又考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng)，突出了能力立意，彰顯了數(shù)學思想方法，解題思路較多，從不同的角度去審視它可以得出一系列優(yōu)美解法，為學生提供了多樣化的選擇，是一道匠心獨運的好題，在尋求解法的同時，領略考題的本質，挖掘其深刻的內涵，作出一些必要的延伸，充分發(fā)揮試題的功能和作用，

變式1直線，過點A（2，1），且與圓（x一3）2+（y一2）2 =16相交于M，N兩點，且AM/AN=2，則直線，的斜率為________ ，

變式2在平面直角坐標系xOv中，A為直線l：y= 2x上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線，交于另一點D.若AB.CD=0，則點A的橫坐標為____.

2.3.2典型性強，忌多而不精

習題的選擇要注意典型性，使之“以一當十”，既增加對知識的理解，又使學生可以掌握其中的解題技巧和方法規(guī)律，如為了促使學生掌握二元變量最值的求解方法，筆者設計了這樣一道習題：設

此題有七種解法之多：可以用根的判別式;可以代數(shù)換元結合基本不等式;可以三角換元再結合基本不等式;可以減元湊配再利用基本不等式;可以直接湊配（又有兩種）再運用“1”的代換;也可以減元之后利用導數(shù)求最值，而這些解法恰好都是求多元最值常用的方法，稍微注意觀察，還可以發(fā)現(xiàn)：這七種解法間有幾種有一個共同點，即“1”的代換結合基本不等式無非是如何湊配罷了，此題的七種解法，體現(xiàn)了“以一當十”的原則，所以是一道典型題，促使學生既練習了基本公式，又練習了變形公式，達到融會貫通的目的.

2.3.3熱點性強，忌脫離實際

脫離生活實際的知識，學生是不感興趣，學生只是迫于升學的壓力才去學習，學的被動、學的痛苦，如果習題能夠注重與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，同時注重數(shù)學文化的滲透，讓學生學以致用，則可以激發(fā)學生學習的積極性，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力，并能取得良好的教學效果，

比如在學完數(shù)列知識后，讓學生利用所學的等差、等比數(shù)列解決存款和房貸問題;在學完解三角形知識后，問學生如何測量河兩岸距離問題;在學完線性規(guī)劃知識后，問學生如何合理地利用有限資源（如資金、勞力、材料、時間等），以使消耗最小，利潤最大等.

2.3.4可行性強，忌脫離學情

只有切準學生“最近發(fā)展區(qū)”的教學，才是最有效教學，習題教學中，教師給出過難、過易的問題均不能激發(fā)學生學習興趣、激活學生思維.在教學中，教師要會給學生“搭臺支架”，讓學生順著教學預設的臺階和支架，一步步攀升，逐步找到解決問題的思路和方法，

上述解法非常簡潔，但是技巧性太強，第一步“配方”的過程猶如“神來之筆”，如同波利亞所謂的“從帽子里跑出一只兔子”，學生除了贊嘆方法的巧妙，只能望題興嘆：我怎么想不到？

如果我們能將4x2+ y2+ xy=1利用完全平方公式化成（2x+y）2 =1+3xy，再結合基本不等式，有這些中間過程鋪墊學生就容易理解和掌握了.

2.3.5參與性強，忌教師獨攬

習題是枯燥無味且沒有生命，所以很多學生對它沒有感情，為了培養(yǎng)學生對習題的感情，每學完一單元（一章節(jié)）或一個新的題型后，筆者都要求學生向老師投稿，即每人出3～5道習題（重點是自己易錯的、不太理解的或自己認為重要的知識）.在每個單元的檢測中，80%的題目都來自于學生的投稿，學生看到自己命的題目，自然感到親切，長此以往，學生對習題的感情也逐漸培養(yǎng)起來，

下面是筆者復習完利用基本不等式求多元最值后，讓學生投稿的部分改編或自編題：

2.4 學生討論關

在習題講評中，如果有一些問題需重點鞏固，而班級中大多數(shù)的學生已經(jīng)會了，教師可以“偷懶”一些，就可采用“生教生”的辦法，讓不會的學生主動請教會的學生，“一對一”進行講解，教師則可以巡視，對個別還不會的學生進行單獨講解，體現(xiàn)“精準施策”“精準施教”的教學策略，實踐證明：“生教生”的辦法比教師自己苦口婆心講解的效果要好得多，同時，因為教師的單獨講解，拉近了師生之間的心理距離，尤其是學困生，他們學習變得更自信、更主動，成績進步更明顯，

如在一次周練中有這樣一道填空題：己知函數(shù) 的x取值范圍是________ ，在筆者任教的班級54人中就有16名學生出現(xiàn)同樣是“0≤x<√2一1”的錯誤答案，不免引起筆者的警覺，如何揭示與剖析隱藏在錯誤背后的真正原因呢？解鈴還須系鈴人，在筆者的指導下，學生在積極和諧的氛圍中分組討論，他們各執(zhí)一詞，你爭我辯，不甘示弱，爭論得很激烈，最后，小組代表發(fā)言得到錯誤的原因，生生互動不僅使試卷講評課興趣盎然，充滿生機活力，而且培養(yǎng)了學生敢于質疑問難、敢于批判否定及膽大思考的批判性思維.

2.5 教師講解關

2.5.1少而精煉

心理學研究表明，普通高中生課堂有效注意時間是15分鐘左右，且是波動起伏式的，這意味著什么？在習題課上，教師講解的時間不可過多，一定要少而精，否則學生注意力分散、做小動作、打瞌睡……教師就請不必再責怪學生了，而應該從自身上去尋找原因，檢討自己.

2.5.2時間分散

一節(jié)課教師不宜長時間的集中講解，而要把講解與學生討論交叉進行，要讓學生全方位“參與”習題的解決，通過學生多動口、多動手、多動腦，有效減輕他們的“疲勞”，否則在學生大腦處于“疲勞”期時，教師若不注意調節(jié)，仍口若懸河講個不停，則教師的勞動也只能算作是無效勞動，學生早己左耳進右耳出了.

2.5.3 提煉方法

習題課，盡量不要就題講題，答案出來便完成任務，而應當盡量從題目中提取出解決此類問題的方法或者是思維的策略，這樣，將來學生才會舉一反三，達到解一題會一片的目的，

例如在復習基本不等式求最值時，筆者還是利用上面給出的例子：設x，y∈R+，且1+2/x+2y

求x+y的最小值，

詢問學生，利用基本不等式求最值必須滿足哪些條件（一正、二定、三相等）？然后指出在這些條件中正數(shù)是前提條件，等號是否成立容易驗證，而定值條件常常需要根據(jù)代數(shù)式進行湊配，如何湊配是關鍵，通過此例引導學生得出湊配的幾種常用方法，于是學生掌握了解決此類問題的一般方法，無論形式如何變換，學生總能順利求解.

2.5.4 拓展延伸

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，克服遺忘的最佳辦法就是馬上進行強化，習題課上教師都要完成重難點突破，訓練學生思維、總結解題規(guī)律，在此基礎上可設計一些拓展練習，適時鞏固所學的知識，以期效果的長效性，如：己知圓O：x2+y2 =1，若P是直線l：x+3y-8=0上任意一點，過P作圓（）的切線PA，PB，切點為A，B，則四邊形OAPB面積的最小值是____.

在學生答完此題后，教師適當拓展延伸幾問：

（1）題目條件不變，結論改為求PA·PB的最小值.

（2）己知圓O：x2+y2 =1，若P是直線，：l：mx+3y-8=0（m>0）上任意一點，過P作圓O的切線PA，PB，切點為A，B，四邊形OAPB面積的最小值是2，則m的值為____.

這樣，通過一系列的拓展、延伸，學生對于有關圓的知識有了更為清晰的認識，特別是對于原題和拓展中學生最容易混淆的地方，通過拓展、辨析，對消除學生的困惑將有很大幫助.

3 結束語

以上筆者就上好數(shù)學習題課需過的“五關”，談了自己的一點粗淺認識和做法，但我們做任何事，均不能“邯鄲學步”，希望教師讀者可以結合自己本校、本班學生的實際情況，制定出最適合自己學生的“教學策略”，讓“習題課”這一課型成為學生最喜歡的課型之一，更讓學生愛上數(shù)學習題課，

參考文獻

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