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設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂巧證兩類不等式

2022-05-25 08:03方志平
福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年4期
關(guān)鍵詞:判別式結(jié)構(gòu)特征一元二次方程

方志平

在證明一些不等式的問題時,我們根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,通過設(shè)值,可轉(zhuǎn)化或構(gòu)造成一元二次方程,再利用判別式△>0,往往能出奇制勝,屢建奇功!而且解法新穎,賦有創(chuàng)意,獨辟蹊徑,本文列舉幾例闡述設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂在不等式證明中的奇思與妙用,旨在拋磚引玉,以饗讀者.

1 巧證代數(shù)不等式

評注本題關(guān)鍵是將條件變?yōu)椋▁- a)(y -b)= ab形式后,將x-a與v-b視為一元二次方程的兩根,其積為ab,于是我們再試圖尋找兩根和,構(gòu)造出一個一元二次方程,由判別式△>0,問題則迎刃而解,評注本題也可利用基本不等式或三角換元等多種方法證明,但借用設(shè)值(a+2)2+(b+2)2=y,條件代換構(gòu)造出一元二次方程,再巧用判別式法證明,思維獨特,賦有創(chuàng)意,別有風(fēng)味,評注由本題證明的結(jié)論tanAtanBtanC≥8,不難聯(lián)想到在非直角三角形中一個常用恒等式:tanA+tanB+tanC=tan AtanB tanC,條件sinA= 2sinB.sinC中的三角式,盡可能化為正切形式,通過設(shè)值t=tanA tanBtanC,巧妙構(gòu)造出一個一元二次方程,給本題的解決帶來了轉(zhuǎn)機,此題的解法充分彰顯了設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂的神奇魅力!

綜上,設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂巧證代數(shù)不等式、三角不等式問題,關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,通過設(shè)值,構(gòu)造出一元二次方程,再巧用根的判別式進行求證,

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