摘要：文章通過講解高三模擬試卷中有關OC=xOA+yOB的向量題時，發(fā)現(xiàn)必須強調緊抓基底，讓學生用基底表示點，進而進行解題，從而避免學生對題目的誤解.

關鍵詞：基底;距離;向量夾角;最值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0007-03

在講解高三數(shù)學試卷時，用最簡單、最迅速的辦法解出小題是高三師生追求的共同目標，教師在講解小題時慣性思維占去了部分思考空間，也為師生解題提供了簡便快捷的通道.教師帶領學生思考一個問題的多種解法，有利于學生思維的發(fā)散與知識的融合.但如果學生對問題的理解深度尚淺，學生自行鉆研可能因為忽略條件走入誤區(qū)，那么，此時對于小題進行大做不僅能夠發(fā)現(xiàn)學生錯因，而且能發(fā)現(xiàn)本題精髓及解題奧秘，更能進行拓展，開闊學生思維深度與廣度，做以適當總結，即可明了知識點對應的解題類型與解題方法.以下探討一道高三模擬的向量題：

原題給定兩個長度為1，且互相垂直的平面向量OA和OB，點C在以O為圓心、|OA|為半徑的劣弧AB上運動，若

OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x2+（y-1）2的最大值為.

教師講解建立如圖2所示的平面直角坐標系，設OA=i，OB=j，則

點C在劣弧AB上運動，

點C坐標為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點（0，1）到點（x，y）距離的平方.

所以，當點C在點A處時，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

學生解答建立如圖3所示的平面直角坐標系，設OA=-i，OB=-j，則

點C在劣弧AB上運動，點C坐標為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點（0，1）到點（x，y）距離的平方.

所以，當點C在點B處時，x2+（y-1）2的值最大，為02+（-1-1）2=4 .

質疑1兩種解法思路相同，為何答案不同？

學生解答出現(xiàn)的問題是：

未注意到“

OC=xOA+yOB”的含義.

“OC=xOA+yOB”指以OA和OB為基底來表示OC及點（0，1）.

學生出現(xiàn)這種錯誤的原因與教師給的解法有很大關系，教師給的解法中，OA=i，OB=j，此時，點（0，1）與點（x，y）都是以OA和OB為基底來表示的，雖然結果正確，但是未強調OC=xOA+yOB的含義，更是用了特殊代替一般.

而學生給的解法中，OA=-i，OB=-j，此時，點（0，1）與點（x，y）都不是以OA和OB為基底來表示的，只是確定了點C所在區(qū)域，忽略了條件OC=xOA+yOB.

本題一般解法如下：

方法1如圖2所示，顯然有

|OA|=|OB|=1，OA⊥OB.

因為OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以點A坐標為（1，0），

點B坐標為（0，1），

點C坐標為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點B（0，1）到點C（x，y）距離的平方.

所以，當點C在點A處時，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

方法2因為點C在以點O為圓心，1為半徑的劣弧AB上運動，記∠AOC=θ.

則圓的方程為x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈[0°，90°].

所以（x-1）2+y2=（cosθ-1）2+sin2θ

=2-2cosθ.

因為θ∈[0°，90°]，

所以cosθ∈＼[0，1＼].

所以當θ=90°時，cosθ=0，（x-1）2+y2取得最大值2.

質疑2式子x2+（y-1）2是表示點（0，1）到點（x，y）距離的平方嗎？

將上題中“互相垂直的平面向量OA和OB”改成“所成角為60°的平面向量OA和OB”，其他條件不變，則x2+（y-1）2的最大值為.

解法1如圖4所示，|OA|=|OB|=1，

OA與OB所成角為60°，

因為OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以點A坐標為（1，0），

點B坐標為（0，1），

點C坐標為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點B（0，1）到點C（x，y）距離的平方.

所以，當點C在點A處時，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

解法2建立如圖5所示的平面直角坐標系，設OA=（1，0），OB=（12，32），OC=（m，n），

則m2+n2=1，12≤m≤1，0≤n≤32.

因為OC=xOA+yOB，

所以x+y2=m，32y=n.

解得x=m-33n，y=233n.

所以x2+（y-1）2=（m-33n）2+（233n-1）2=2-233n（m+2）.

因為12≤m≤1，0≤n≤32，

所以x2+（y-1）2≥2.

即x2+（y-1）2的最大值為2 .

結論只有當單位向量OA和OB所成角為90°時，式子x2+（y-1）2才表示點（0，1）到點（x，y）的距離平方.而當單位向量OA和OB所成角為60°時，式子x2+（y-1）2表示點（0，1）到點（x，y）的“距離”平方，這時不是真正意義上的距離，解題時需要緊抓基底，用基底表示各點的坐標.用上述方法還可得出當平面向量OA和OB所成角為θ（0°<θ<180°）時，x2+（y-1）2的最大值均為2.

參考文獻：

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[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：劉穩(wěn)殿（1985.8-），男，陜西省旬陽人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

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