劉英光 薛新強 張靜文 任國梁

(華北電力大學(xué)能源動力與機械工程學(xué)院,保定 071003)

構(gòu)造了界面具有原子混合的硅鍺(Si/Ge)單界面和超晶格結(jié)構(gòu).采用非平衡分子動力學(xué)模擬研究了界面原子混合對于單界面和超晶格結(jié)構(gòu)熱導(dǎo)率的影響,重點研究了界面原子混合層數(shù)、環(huán)境溫度、體系總長以及周期長度對不同晶格結(jié)構(gòu)熱導(dǎo)率的影響.結(jié)果表明:由于聲子的“橋接”機制,2 層和4 層界面原子混合能提高單一界面和少周期數(shù)的超晶格的熱導(dǎo)率,但是在多周期體系中,具有原子混合時的熱導(dǎo)率要低于完美界面時的熱導(dǎo)率;界面原子混合會破壞超晶格中聲子的相干性輸運,一定程度引起熱導(dǎo)率降低;完美界面超晶格具有明顯的溫度效應(yīng),而具有原子混合的超晶格熱導(dǎo)率對溫度的敏感性較低.

1 引言

隨著半導(dǎo)體工業(yè)技術(shù)進入納米尺度,高密度集成電路中的散熱問題成為影響其壽命和效率的主要因素[1].由于納米電子器件比表面積比較高,界面處的熱輸運往往對其整體的熱行為起主導(dǎo)作用,因此降低界面熱阻是提高納米器件散熱性能的重要途徑[2?4].

固-固界面是半導(dǎo)體和絕緣體中普遍存在的特性,這些材料中熱輸運的主要載流子是聲子,聲子在界面處的輸運散射機理直接決定了材料的導(dǎo)熱性能[5].由于晶體缺陷、聲阻抗失配等因素導(dǎo)致了界面處聲子散射較強[6].為改善固-固界面熱導(dǎo),人們基于降低聲學(xué)失配提出許多方法來降低界面熱阻,其中最常見的方法主要有兩種,第一種是在界面處插入薄膜.如Liang 和Tsai[7]采用非平衡分子動力學(xué)模擬研究了薄膜對于固-固界面熱輸運的影響,結(jié)果表明,引入聲子態(tài)密度介于兩邊固體態(tài)密度的薄膜,且在兩邊固體聲學(xué)失配相差較大的情況下可以顯著提高界面熱導(dǎo),這與實驗上O'Brien 等[8]在固-固界面中插入薄膜以提高導(dǎo)熱的結(jié)論保持一致.同樣地,其他研究表明,在界面引入適當厚度且原子質(zhì)量介于兩邊固體原子質(zhì)量并具有一定質(zhì)量梯度的薄膜,也能較大地提升固-固界面熱導(dǎo)[9?11].

第二種是界面處兩種固體材料的混合可以顯著降低界面熱阻.如Stevens 等[12]通過非平衡分子動力學(xué)模擬研究了晶格失配較大的固-固界面的熱輸運情況.結(jié)果表明,由于界面原子混合增加了聲子散射點和聲子“橋接”機制,使得界面熱輸運提高近2 倍.Tian 等[13]采用格林函數(shù)法對Si/Ge 界面熱輸運的研究中發(fā)現(xiàn),當界面處具有兩層原子混合時,對長波長聲子幾乎沒有影響,仍然保持相干性輸運.但增加了中波長聲子在界面處彈性散射的通道,使得更多模式的中波長聲子能夠穿過界面,這有效降低了界面聲阻抗并促進了聲子傳輸,從而提升了Si/Ge 界面熱導(dǎo).Jia 等[14]計算模擬了Si/Ge界面處熱輸運,結(jié)果顯示,具有界面原子混合的Si/Ge 三角形界面的導(dǎo)熱系數(shù)比完美界面提高了近22.3%.他們將這歸因于界面原子混合增加了聲子穿過的頻率模式,使得更多模式的聲子能夠穿過界面.Merabia 和Termentzidis[15]認為界面形狀對于固-固界面熱導(dǎo)的提升是因為界面重構(gòu)導(dǎo)致有效面積的增加,使得大部分聲子以擴散輸運的方式穿過界面.

然而,實際的電子器件或者封裝體往往是多層界面的堆疊結(jié)構(gòu),與上述單一界面有所不同的是,聲子在多層界面中的輸運機理更加復(fù)雜.此時,界面晶格結(jié)構(gòu)的熱導(dǎo)率不僅與界面原子形狀或者結(jié)合方式有關(guān),更受單層厚度、總長度和溫度的影響.我們此前已經(jīng)對不同結(jié)構(gòu)超晶格進行了研究,結(jié)果表明,不同的周期結(jié)構(gòu)排列方式以及界面接觸角度對多層堆疊的超晶格的熱輸運性能有很大影響.Ravichandran 等[16]用分子束外延技術(shù)制備了鈣鈦礦氧化物超晶格并研究了其熱輸運性質(zhì).結(jié)果表明,在保證總長度不變的條件下,隨著周期長度的增加,由于聲子波粒性質(zhì)轉(zhuǎn)變,超晶格的熱導(dǎo)率先減少后增加出現(xiàn)了極小值.Luckyanova 等[17]同時利用模擬和實驗研究了模型總長度對于超晶格熱導(dǎo)率的影響.研究發(fā)現(xiàn),在室溫下,由于聲子相干輸運與擴散輸運機制的轉(zhuǎn)變,GaAs/AlAs 超晶格的熱導(dǎo)率隨著總長度先增加后保持不變.Chakraborty 等[18]利用非平衡分子動力學(xué)模擬研究了溫度對相干聲子與非相干聲子在超晶格熱輸運貢獻的影響.結(jié)果表明,當溫度升高時,由于聲子的非彈性界面透射率的增加,非相干聲子對熱輸運貢獻逐漸增大.而由于非諧性散射的增加,相干聲子對于熱輸運的貢獻逐漸減小.這兩種競爭機制導(dǎo)致了超晶格熱導(dǎo)率隨溫度變化的不同關(guān)系.

分析以上研究可知,單純以單一界面為研究對象,通過改變界面原子結(jié)構(gòu)來提高界面熱導(dǎo)得出的結(jié)論,對于指導(dǎo)具有多層界面堆疊的納米電子器件的散熱設(shè)計可能不完全適用,需要進一步深入研究.因此,本文以硅鍺(Si/Ge)超晶格為研究對象,采用非平衡分子動力學(xué)方法模擬研究了界面原子混合對于超晶格導(dǎo)熱性能的影響.重點考慮界面原子混合方式、超晶格周期長度、總長度以及溫度對聲子輸運的影響.

2 計算方法

非平衡態(tài)分子動力學(xué)方法類似于熱傳導(dǎo)的實驗測量,該方法的基礎(chǔ)是施加熱流,利用經(jīng)典的傅里葉導(dǎo)熱定律測量熱導(dǎo)率,對計算非均勻材料系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)更具優(yōu)勢.本文構(gòu)造了不同界面形式的Si/Ge 原子模型,如圖1(a)—圖1(d)所示:(a)完美界面晶格結(jié)構(gòu);(b)界面具有原子混合晶格結(jié)構(gòu);(c)完美界面超晶格;(d)具有n層原子混合的超晶格,混合區(qū)原子比例為1∶1.采用非平衡分子動力學(xué)模擬計算Si/Ge 超晶格熱性質(zhì)原理模型如圖2所示,沿著x方向Si 和Ge 的樣品長度分別為20 個單位晶胞.為減少粒子蒸發(fā),避免與外界發(fā)生熱量交換,模型的最外側(cè)分別設(shè)置了絕熱壁.為避免橫截面積過小而帶來的熱導(dǎo)率計算誤差,將垂直于熱流方向體系的橫截面積設(shè)為 6×6 個單位晶胞.在各個方向均采用周期性邊界條件,熱流方向沿x方向.

圖1 不同界面形式的Si/Ge 原子模型結(jié)構(gòu)示意圖 (a)完美界面晶格結(jié)構(gòu);(b)界面具有原子混合晶格結(jié)構(gòu);(c)完美界面超晶格;(d)具有n 層原子混合的超晶格Fig.1.Schematic diagram of Si/Ge atomic structure with different interface:(a) Single perfect interface;(b) single atomic mixing interface;(c) perfect superlattice;(d) superlattice with n-layer atomic mixing.

圖2 非平衡分子動力學(xué)模擬計算熱性質(zhì)示意圖Fig.2.Schematic diagram of thermal properties calculated by non-equilibrium molecular dynamics simulation.

所有非平衡分子動力學(xué)模擬均基于LAMMPS進行[19],并采用Tersoff 勢函數(shù)來模擬Si-Si,Ge-Ge 和Si-Ge 原子間的相互作用.時間步長設(shè)置為0.001 ps.首先在零溫下對體系能量最小化,優(yōu)化原子位置;然后將體系放置在正則(NVT)系綜中,使得體系在期望溫度下能量分布均勻;最后使用朗之萬恒溫器在體系中產(chǎn)生一個溫度梯度,放在微正則(NVE)系綜下獲取熱流值并計算模型熱導(dǎo)率.

圖3 展示了非平衡分子動力學(xué)模擬得到的溫度階躍曲線,由外推界面的線性溫度曲線的差值可估算出界面處的溫度階躍 ΔT.界面熱阻R的計算方法為通過界面的溫度階躍 ΔT與熱流Jx的比值[20]:

圖3 在環(huán)境溫度為300 K 時,Si/Ge 晶格沿x 軸向的溫度分布Fig.3.Temperature profile in the x-direction of the Si/Ge lattice with ambient temperature is 300 K.

據(jù)此計算出整體界面熱導(dǎo)G:

熱流Jx的計算方法為[21]

其中E為能量,t為模擬時間,A為橫截面積.利用傅里葉熱傳導(dǎo)定律,求得導(dǎo)熱系數(shù)κ

其中,?T/?x為擬合溫度分布的線性部分的溫度梯度.

為了解聲子傳輸?shù)臐撛跈C制,通過對所有原子的速度自相關(guān)函數(shù)進行快速傅里葉變換計算了聲子態(tài)密度D(ω) 其表達式為[22]

其中,速度自關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為

其中,N為原子總數(shù),vi(t) 為t時刻i原子的速度矢量,vi(0)為i原子的初速度,〈·〉 為系綜平均.

聲子參與率P(ω) 是深入了解聲子活動的有效方法,同時在定量描述聲子局域化效應(yīng)中有著很好的應(yīng)用[23?26].其表達式為[22]

式中N為原子總數(shù).

界面聲子頻譜熱流可以對不同結(jié)構(gòu)熱導(dǎo)率的變化有更進一步的解釋,通過Si/Ge 界面的單向光譜熱流定義為[27,28]

其中A為截面面積,Vi為Si 界面上的原子速度,Fij為原子通過Si/Ge 界面上的力.光譜界面熱導(dǎo)可以計算為G(ω)=|q(ω)|/ΔT,其中 ΔT為通過界面上的溫度降.最后界面的總熱導(dǎo)為[29]

其中 Δf為離散區(qū)間.

3 結(jié)果與討論

圖3 給出了模擬結(jié)束后,在環(huán)境溫度為300 K時,將樣本劃分為50 個區(qū)域塊,Si/Ge 晶格沿x方向的典型溫度分布.可以看出遠離界面處的Si 和Ge 的溫度分布幾乎是線性的,由于Si 和Ge 材料的聲阻抗失配、晶體界面缺陷等導(dǎo)致的界面散射作用,在界面處有一個顯著的溫度降 ΔT,該溫度降值由界面兩邊溫度分布線性擬合的差值來確定.界面熱阻由(1)式計算,通過Si/Ge 界面的熱通量Jx由(3)式確定,結(jié)合 ΔT和Jx,可以得到Si/Ge 界面熱導(dǎo).

3.1 界面原子混合對Si/Ge 單一界面導(dǎo)熱的影響

首先研究界面原子混合對單一界面Si/Ge 體系導(dǎo)熱的影響,為后面超晶格的研究提供對比和參考.固定單界面模型長度為40 個晶格長度(約為21.7 nm).圖4 顯示了不同原子混合層數(shù)對于Si/Ge 界面熱輸運的影響.結(jié)果表明,在環(huán)境溫度為100—600 K 之間,2 層和4 層界面原子混合的熱導(dǎo)始終大于完美界面.這表明,界面原子混合可以顯著改善Si/Ge 界面熱輸運.隨著原子混合厚度的增加,熱導(dǎo)先增大后減小,在2 層原子混合時達到最大值.與完美界面相比,2 層原子混合的界面熱導(dǎo)增加約20%,而4 層原子混合的熱導(dǎo)增加了8%.為了解界面熱導(dǎo)的強化機制,利用原子速度自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換計算了界面兩邊區(qū)域的Si 和Ge 以及原子混合層的聲子態(tài)密度,選取中間混合部分區(qū)域以及距中間部分約5 nm 處同中間混合區(qū)域相同長度的Si 區(qū)域和Ge 區(qū)域分別進行計算.結(jié)果如圖5 所示,實際上,界面熱阻主要受兩個固體聲子態(tài)密度重疊的影響.由于Si 和Ge 德拜溫度的差別,其聲子態(tài)密度相差很大,固體Si 聲子的主要頻率在5—17 THz,固體Ge 聲子的主要頻率在2—12 THz.因此,有限的聲子態(tài)密度重疊使得界面彈性聲子散射的熱輸運很小,進而導(dǎo)致較大的Si/Ge 界面熱阻[3].

圖4 界面熱導(dǎo)與原子混合層數(shù)的關(guān)系Fig.4.Thermal conductance as a function of the number of atomic mixing layers.

圖5 顯示了引入界面原子混合后的聲子態(tài)密度,其為聲阻抗匹配度相差較大的Si 和Ge 提供了橋梁作用,為聲子模式高低頻轉(zhuǎn)換提供了通道,使得更多模式的聲子能夠穿過界面.可以看出,與固體Si 相比,2 層和4 層原子混合的聲子態(tài)密度峰值向低頻偏移,說明低頻聲子模式增加,高頻模式聲子減少.相比于高頻聲子,低頻聲子具有更大的概率穿過界面,因此導(dǎo)致了熱導(dǎo)的提高.然而隨著界面原子混合層數(shù)的增加,熱導(dǎo)并未線性增加(圖4).這是由于兩個相互競爭的因素,一是重疊的聲子態(tài)密度增強了聲子在界面上的傳輸,二是原子混合層增加了界面的擴散散射.該競爭機制使得在2 層原子混合時,熱導(dǎo)出現(xiàn)峰值(圖4).比較2 層和4 層原子混合層的聲子態(tài)密度,如圖5 所示,兩者的聲子態(tài)密度頻域基本一致,但是2 層原子混合的顯著峰很明顯高于4 層.說明在該頻率下,穿過2 層原子混合的聲子數(shù)量更多.

圖5 不同界面形式Si/Ge 晶格的聲子態(tài)密度Fig.5.Phonon density of states as a function of frequency for different Si/Ge interface forms.

由圖4 也可以看出溫度對于熱導(dǎo)的影響.對于完美界面和原子混合界面,熱導(dǎo)隨溫度的升高先增大后減小.這是由于隨溫度的升高,原子振動劇烈,激發(fā)了更多的高頻聲子模式,高頻聲子可分解成更多的低頻聲子,從而導(dǎo)致更多低頻模態(tài)的聲子穿過界面.這與之前對單一界面處原子混合結(jié)構(gòu)的研究結(jié)果保持一致[22,30],同時驗證了模擬結(jié)果的準確性.隨著溫度的持續(xù)升高,聲子-聲子散射(umklapp過程)逐漸增強,散射作用的增強降低了熱傳輸效率.

3.2 界面原子混合對于超晶格導(dǎo)熱的影響

界面處的原子混合不僅對單一界面有著影響,也對超晶格多界面結(jié)構(gòu)有著不可忽略的作用.本節(jié)研究了熱導(dǎo)率和周期數(shù)(體系總長)的變化關(guān)系.之前的研究表明Si/Ge 超晶格中聲子輸運的相干長度約為4.34 nm[31],因此我們將樣本周期長度固定為4.34 nm,模型總長度隨周期數(shù)增加而增加.圖6 所示為完美界面、2 層和4 層原子混合界面的超晶格的熱導(dǎo)率隨周期數(shù)的變化.可以看出在周期數(shù)較少時,具有完美界面的超晶格的熱導(dǎo)率是低于原子混合界面的熱導(dǎo)率.這說明當周期數(shù)量較少或單一界面時,2 層和4 層界面原子混合強化了熱輸運,此時主導(dǎo)熱輸運的是非相干聲子,由于聲子“橋接”機制,導(dǎo)致了熱導(dǎo)率的上升.這與3.1 節(jié)的結(jié)論是一致的.

圖6 超晶格熱導(dǎo)率隨周期數(shù)的變化Fig.6.Thermal conductivity of superlattices as a function of number of periods.

與小周期數(shù)不同的是,隨著周期數(shù)的增加,完美界面超晶格的熱導(dǎo)率幾乎呈線性增加,這說明聲子在進行相干性輸運,即聲子在輸運過程中保持相位信息,相干地穿過超晶格界面,只與最外層界面發(fā)生散射,因此完美界面的熱導(dǎo)率有著明顯的尺寸效應(yīng)[32].而具有2 層和4 層原子混合超晶格的熱導(dǎo)率也有增加,但是增加幅度顯著低于完美界面的熱導(dǎo)率.這說明原子混合破壞了聲子的相干性輸運,熱導(dǎo)率隨總長度的小幅度升高說明仍有部分低頻聲子進行相干輸運.為了深入分析混合界面下聲子的輸運性能,以整個模型結(jié)構(gòu)為計算區(qū)域,計算了環(huán)境溫度為300 K,周期數(shù)N=15,體系總長度為71.6 nm 時,完美界面超晶格和具有4 層原子混合超晶格的聲子態(tài)密度和頻譜熱流,分別如圖7 和圖8 所示.從圖7 可以看出,4 層原子混合超晶格的聲子態(tài)密度與完美界面超晶格相比,顯著峰明顯降低,且頻寬變窄,這在一定條件下對熱輸運產(chǎn)生負面作用.從圖8 所示的頻譜熱流可以明顯看出:在大部分頻率下,完美界面熱流都高于混合界面,進一步說明了完美界面熱導(dǎo)率高的原因;此外,頻率為15—16 THz 的態(tài)密度峰值的高頻聲子被強烈地散射;在頻率為5—7 THz 時,完美界面超晶格的譜熱流峰值比原子混合界面的高出約60%,而在頻率為1—3 THz 時,完美界面超晶格高出約55%.這與圖6 中熱導(dǎo)率的趨勢保持一致.

圖7 完美界面與4 層原子混合界面的超晶格聲子態(tài)密度Fig.7.Phonon density of states of superlattices with perfect interfaces and 4-layer atomic mixing.

圖8 完美界面和4 層原子混合的超晶格的頻譜熱導(dǎo)Fig.8.Spectral thermal conductance of superlattices with perfect interfaces and 4-layer atomic mixing.

為了進一步捕捉聲子活動及其在超晶格中對熱輸運的影響,在環(huán)境溫度為300 K,以體系總長度為71.6 nm 的模型整體為計算區(qū)域,使用(7)式計算了聲子參與率,聲子參與率表明聲子局域化程度的高低,結(jié)果如圖9 所示.與完美界面相比,原子混合超晶格的平均聲子參與率要低于完美界面,即聲子原子混合超晶格中局域化嚴重.

圖9 完美界面與4 層原子混合的超晶格的聲子參與率Fig.9.Phonon participation ratio of superlattices with perfect interfaces and 4-layer atomic mixing.

進一步研究了完美界面和原子混合界面超晶格的熱導(dǎo)率隨周期長度的變化,如圖10 所示.可以看出,在固定體系總長度為71.6 nm 時,完美界面 Si/Ge 超晶格的熱導(dǎo)率隨周期長度的增加先減小后增大.當聲子在超晶格中進行相干輸運時,熱導(dǎo)率隨著周期長度的增加而降低,這是由于聲子平均自由程與周期長度相當,此時聲子的相干輸運占據(jù)主導(dǎo)地位.隨周期長度的增加,聲子微帶數(shù)量增加,導(dǎo)致聲子的群速度降低,從而引起熱導(dǎo)率的降低.當周期長度進一步增加時,此時周期長度大于聲子的平均自由程,聲子進行非相干性的擴散輸運,且界面密度的降低減少了聲子在界面處的散射,所以熱導(dǎo)率隨周期長度增加而增加.熱導(dǎo)率極小值的存在提供了聲子輸運由波動性的相干輸運向粒子性的非相干輸運轉(zhuǎn)變的證據(jù).然而,與完美界面超晶格不同的是,具有原子混合超晶格的熱導(dǎo)率始終隨著周期長度的增加而增加,這表明了界面處的原子混合破壞了大部分聲子的相干性,聲子-界面散射占據(jù)主導(dǎo),故熱導(dǎo)率隨周期長度增加呈現(xiàn)上升趨勢.

圖10 超晶格熱導(dǎo)率與周期長度的關(guān)系Fig.10.Thermal conductivity of superlattices as a function of period length.

此外還計算了環(huán)境溫度對超晶格熱導(dǎo)率的影響,圖11 所示為完美界面超晶格和4 層原子混合超晶格在體系總長為71.6 nm,周期長度為4.34 nm時熱導(dǎo)率隨著溫度的變化關(guān)系.與單一界面相比,完美界面超晶格熱導(dǎo)率隨著溫度的升高呈現(xiàn)下降趨勢.這與單一界面結(jié)構(gòu)熱導(dǎo)率隨溫度變化趨勢不同(先升后降),說明與單一界面結(jié)構(gòu)相比,超晶格結(jié)構(gòu)中聲子-界面散射與聲子-聲子散射對導(dǎo)熱的作用同等重要.與完美界面不同的是,混合界面超晶格熱導(dǎo)率幾乎不隨溫度的變化而變化,這可能與聲子的局域化和聲子-聲子散射有關(guān)[18].界面原子混合超晶格中有很大一部分局域化相干聲子無法傳遞熱能,但是隨著溫度的升高,聲子局域化性質(zhì)隨溫度的升高而被削弱,在一定程度上促進了熱輸運.隨著溫度的升高,聲子-聲子散射作用增強,降低了熱輸運.這兩個相互競爭的因素導(dǎo)致了熱導(dǎo)率對于溫度的低敏感性.同時,也有界面原子混合一定程度上增加了體系結(jié)構(gòu)非晶化的原因,促使材料表現(xiàn)出非晶體熱導(dǎo)率的溫度無關(guān)性.

圖11 超晶格熱導(dǎo)率隨環(huán)境溫度的變化Fig.11.Thermal conductivity of superlattices as a function of ambient temperature.

4 結(jié)論

采用非平衡分子動力學(xué)模擬方法研究了界面原子混合對Si/Ge 超晶格熱輸運的影響.結(jié)果表明:1)通過構(gòu)造聲子“橋接”,界面原子混合可以提高材料的熱導(dǎo)率;2)同一界面原子結(jié)構(gòu)情況下,單一界面結(jié)構(gòu)的熱導(dǎo)率和多個界面堆疊的超晶格熱導(dǎo)率并不相同;3)聲子在完美界面超晶格中進行相干性輸運,而界面原子混合則一定程度上破壞了相干輸運從而導(dǎo)致熱導(dǎo)率降低;4)界面原子混合使聲子在超晶格中發(fā)生局域化,局域程度隨溫度升高而降低;5)由于聲子局域化和聲子-聲子散射的競爭機制,導(dǎo)致了界面原子混合降低了超晶格熱導(dǎo)率的溫度敏感性;6)周期長度對熱導(dǎo)率的影響較大.完美界面超晶格熱導(dǎo)率呈現(xiàn)非單調(diào)趨勢,表明了聲子輸運由波動性的相干輸運轉(zhuǎn)化為粒子性的擴散輸運的證據(jù).而界面原子混合破壞了超晶格聲子的相干性輸運,界面擴散散射在聲子輸運中占據(jù)主導(dǎo),因此界面原子混合超晶格的熱導(dǎo)率隨著周期長度的增加而增加.