張鈺，高美妮，戴海濤，劉迎，呂且妮

（1 天津大學(xué)理學(xué)院天津市低維功能材料物理與制備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

（2 天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院 光電信息技術(shù)科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

0 引言

莫爾現(xiàn)象在自然和日常生活中非常常見，比如明媚的陽光反射在窗簾上產(chǎn)生的水波樣條紋、用相機(jī)拍攝液晶顯示器時(shí)出現(xiàn)的條紋等。莫爾結(jié)構(gòu)是兩個(gè)相同周期性結(jié)構(gòu)疊加而成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，并且基于莫爾結(jié)構(gòu)的檢測技術(shù)被廣泛應(yīng)用。近年來，曹原等［1］關(guān)于石墨烯的“魔角”的研究掀起了微觀領(lǐng)域中電子莫爾結(jié)構(gòu)的研究熱潮［2-4］，二維材料莫爾結(jié)構(gòu)的非平凡電子特性也使得其具有奇異的光學(xué)特性，例如雙層α-MoO3莫爾結(jié)構(gòu)的色散曲線在魔角下的可調(diào)拓?fù)溥^渡［5］。

然而，天然二維材料構(gòu)成的莫爾結(jié)構(gòu)，因其子晶格是固有的原子晶格，所以難以調(diào)控。近年來，基于人工子晶格（如金屬超材料、光子晶體等）構(gòu)造的莫爾晶格結(jié)構(gòu)引起了研究者重視，如采用金屬超材料形成的表面等離激元莫爾晶格，可誘導(dǎo)產(chǎn)生強(qiáng)圓二向色性的光場［6］。理論研究表明，采用光子晶體構(gòu)造的光子莫爾晶格表現(xiàn)出比子晶格更寬的禁帶以及更平的能帶［7-10］，實(shí)驗(yàn)上光子莫爾晶格可以采用多種方式產(chǎn)生，如葉芳偉等［11-12］提出的在光折變晶體中通過光強(qiáng)誘導(dǎo)方法構(gòu)造光子莫爾晶格，實(shí)現(xiàn)了空間光孤子的調(diào)控。曾健華等［13］提出在相干原子氣體中基于電磁誘導(dǎo)產(chǎn)生光子莫爾晶格。馬仁敏等［14］基于半導(dǎo)體多量子阱膜疊加的方法設(shè)計(jì)了光子魔角激光器。因此，光子莫爾晶格具有寬禁帶以及平帶特性，旋轉(zhuǎn)角提供更多的調(diào)控自由度，是一種極具前景的新型光子學(xué)研究平臺。

光子禁帶和平帶是光子晶體的兩個(gè)重要特性。寬禁帶的光子晶體可用于低閾值激光器［15］、光學(xué)晶體管［16］和光波導(dǎo)［17］等領(lǐng)域。平帶范圍內(nèi)的光子群速度極小，能引發(fā)光子的局域，因此具有平帶特征的光子晶體在光致發(fā)光增強(qiáng)［18］和慢光產(chǎn)生［19］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。目前研究的由四方晶格［11，13］、六方晶格［8-9，11］等構(gòu)成的莫爾光子晶格中均發(fā)現(xiàn)具有平帶特征，但四方、六方等晶格自身的平帶特征并不明顯。因此，由自身具有平帶特征的子晶格（如Lieb、Kagome 晶格等）構(gòu)成的光子莫爾晶格可能具有突出的平帶特性。

Lieb 晶格是一種常見的具有平帶特征的光子晶體結(jié)構(gòu)［20-22］，因此基于Lieb 晶格的莫爾結(jié)構(gòu)也被期望具有更寬的禁帶和更平的光子能帶。本文通過旋轉(zhuǎn)兩個(gè)Lieb 子晶格構(gòu)造出周期性Lieb 莫爾晶格，通過數(shù)值計(jì)算研究了Lieb 莫爾晶格的光子禁帶和平帶特性，并通過改變填充系數(shù)和介質(zhì)材料調(diào)控其光子禁帶，為實(shí)現(xiàn)寬光子禁帶、超平帶光子晶體提供一種新的途徑。

1 Lieb 莫爾晶格的構(gòu)造

在本文中，Lieb 晶格結(jié)構(gòu)由介質(zhì)柱和空氣間隙構(gòu)成。采用一組基矢（a0，b0）描述未旋轉(zhuǎn)Lieb 子晶格的坐標(biāo)，如圖1（a），隨著兩個(gè)子晶格之間旋轉(zhuǎn)角的改變，形成的莫爾晶格的晶格常數(shù)也會(huì)變化。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為某些特定角度時(shí)，兩個(gè)子晶格的某些節(jié)點(diǎn)會(huì)重合，形成具有周期性的莫爾結(jié)構(gòu)，這些特定的角度稱為可公度角，用一組整數(shù)（m，n）定義可公度旋轉(zhuǎn)角度θ為

圖1（b）為旋轉(zhuǎn)角為36.87°的莫爾晶格的示意圖（n=1，m=3）。未旋轉(zhuǎn)的子晶格的基矢乘以旋轉(zhuǎn)矩陣即可得到旋轉(zhuǎn)后子晶格的基矢。

圖1（a）中的紅色圓點(diǎn)表示未旋轉(zhuǎn)的Lieb 晶格（其晶格常數(shù)為α1）中的介質(zhì)柱A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36.87°后得到的介質(zhì)柱B 記為綠色圓點(diǎn)，介質(zhì)柱A 和B 組合構(gòu)成莫爾晶格，如圖1（b）所示。該莫爾超元胞包含了27 個(gè)介質(zhì)柱，晶格常數(shù)為α2，保留了原本Lieb 晶格四方晶格的幾何特征。介質(zhì)柱A 和B 的介電常數(shù)分別記為ε1和ε2，半徑分別記為r1和r2，背景介質(zhì)為真空。根據(jù)理論計(jì)算，還存在其他的可公度角，但是由于形成的莫爾晶格的超元胞中介質(zhì)柱數(shù)目太多，本文僅研究旋轉(zhuǎn)角為36.87°的Lieb 莫爾晶格。

圖1 Lieb 莫爾晶格的構(gòu)造方法Fig.1 Construction method of Lieb Moire lattice

2 Lieb 莫爾晶格的光子能帶特征

本節(jié)中Lieb 子晶格和莫爾晶格的介質(zhì)材料均為GaAs。為了對比子晶格和莫爾晶格的特性，設(shè)Lieb 子晶格和形成的莫爾晶格的晶格常數(shù)相等，即α1=α2=α=能帶結(jié)構(gòu)圖采用無量綱的坐標(biāo)，計(jì)算結(jié)果能夠方便地進(jìn)行比例變換，有利于應(yīng)對不同具體數(shù)值的情況。根據(jù)幾何關(guān)系可知，Lieb 結(jié)構(gòu)的填充系數(shù)為f1=3πr12/S1，莫爾晶格的填充系數(shù)為f2=27πr22/S2，S1和S2表示結(jié)構(gòu)單元胞面積，其中S1=4α21，S2=α22。

采用平面波展開法（Plane Wave Method，PWM）［23］計(jì)算TM 模式下光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，沿著第一布里淵區(qū)內(nèi)三個(gè)高旋轉(zhuǎn)對稱點(diǎn)Γ、Μ、X采樣（見圖1（c）），f1=f2=0.10 的計(jì)算結(jié)果如圖2所示。因?yàn)楣庾幽芰空裙庾宇l率，因此這種色散關(guān)系圖也被稱為能帶結(jié)構(gòu)圖。將能帶結(jié)構(gòu)圖中最寬的禁帶定義為主禁帶，在圖2中用灰色區(qū)域表示。Lieb 晶格的主禁帶寬度為0.074，禁帶中心為0.285，如圖2（a）；莫爾晶格的主禁帶寬度為0.148，禁帶中心為1.849，如圖2（b）。在相同的填充系數(shù)下，Lieb 莫爾晶格的禁帶比Lieb 晶格的禁帶更寬。

圖2 填充系數(shù)為0.1 時(shí)Lieb 子晶格和Lieb 莫爾晶格的能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Band structures of Lieb sublattice and Lieb Moire lattice with filling factor of 0.1

Lieb 晶格和莫爾晶格的禁帶中心波長分別為15 691.7 nm、2 418.6 nm，屬于紅外波段。Lieb 莫爾晶格的光子禁帶相比于Lieb 子晶格發(fā)生了藍(lán)移，主要因?yàn)樵谙嗤木Ц癯?shù)條件下，莫爾晶格中的介質(zhì)柱數(shù)目更多，為了保證相同的填充率，具有較小介質(zhì)柱直徑的莫爾晶格形成了較大介電常數(shù)的對比度。在光通信及其他實(shí)際應(yīng)用中，典型的波長是800 nm 到1 600 nm，因此莫爾晶格的禁帶更靠近實(shí)際應(yīng)用的波段，具有更高的應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)橛?jì)算結(jié)果以無量綱形式表示，所以可以通過介質(zhì)柱大小和晶格常數(shù)之比的變換獲得所需波段的禁帶。

為了研究介質(zhì)柱直徑對禁帶特征的影響，得到優(yōu)化的禁帶寬度，對Lieb 晶格和莫爾晶格的填充系數(shù)進(jìn)行了掃描，將不同情況下的能帶特征進(jìn)行整理得到的禁帶特征圖如圖3所示。圖3（b）顯示莫爾晶格最寬的主禁帶寬度為0.212，遠(yuǎn)大于Lieb 晶格最寬的主禁帶寬度0.076（見圖3（a）），對應(yīng)的填充系數(shù)分別為0.153 和0.120。將填充系數(shù)分別固定在禁帶寬度最大時(shí)，相應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)圖如圖3（c）和圖3（d）。Lieb 晶格的主禁帶寬度最寬時(shí)對應(yīng)的禁帶中心位于0.275，而莫爾晶格的主禁帶寬度最寬時(shí)對應(yīng)的禁帶中心為1.703，具有明顯的藍(lán)移特征。

Lieb 莫爾晶格的平帶特征如圖3（d）所示。Lieb 莫爾晶格中存在三條平帶，分別為第15 帶、第22 帶、第27 帶（圖中標(biāo)號為1、2、3）。為了表征光子平帶的特征，定義光子帶的平整度F為［24］

式中，ωt和ωb分別為光子帶的頂部和底部頻率。F值越小，表明光子帶的平整度更高。圖3（d）中三條平帶的F值分別為0.006 014 9、0.002 328 4、0.005 258 7，其中第22 帶具有最小的F值，即具有最高的平整度。對比圖3（c），Lieb 晶格的平帶最小的F值為0.0150，因此莫爾晶格平帶的平整度遠(yuǎn)高于Lieb 晶格。

圖3 Lieb 晶格和Lieb 莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結(jié)構(gòu)圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數(shù)變化的曲線）Fig.3 Bandgap characteristic diagrams and band structures of Lieb lattice and Lieb Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

介質(zhì)柱的半徑也影響光子帶的特征，因此通過改變介質(zhì)柱的半徑對第22 帶的平整度進(jìn)行了研究。計(jì)算結(jié)果如圖4所示，當(dāng)r1=0.038 0α?xí)r，F(xiàn)具有極小值0.001 872 2，此時(shí)平帶對應(yīng)的歸一化頻率為1.47。已經(jīng)報(bào)道的四方、六方等光子莫爾晶格結(jié)構(gòu)中均展示了平帶以及超平帶［8-9，11，13］，但未給出數(shù)值表征。對比已經(jīng)報(bào)道的Kagome 晶格［24］平帶平整度（0.002），Lieb 莫爾晶格的平帶平整度更好，同時(shí)Lieb 莫爾晶格的光子禁帶更寬且具有更高的靈活性。

圖4 光子平帶的平整度F 隨r1/α 變化曲線Fig.4 Flatness F of the photonic band varies with r1/α

為了驗(yàn)證平帶對電場局域的效果，計(jì)算了22 能帶在Γ點(diǎn)和Χ點(diǎn)的電場分布，初始的電場滿足歸一化規(guī)則：計(jì)算結(jié)果如圖5所示。圖5只顯示了一個(gè)超元胞內(nèi)的情況，電場被局限在中心一圈的介質(zhì)柱上，對應(yīng)于圖1（b）中標(biāo)號為1～8的八個(gè)“花瓣”形狀，最高的光強(qiáng)|E（x）|2分別為2.49 W/m2和2.54 W/m2。更高平整度的平帶能導(dǎo)致更強(qiáng)的電場局域，強(qiáng)烈的局域在非線性光學(xué)、光電能量轉(zhuǎn)換器件等方面具有廣泛的應(yīng)用前景，因此Lieb 莫爾晶格將為這些研究提供一個(gè)新的途徑和平臺。

圖5 平帶的電場強(qiáng)度分布圖Fig.5 Electric energy distributions of the flat photonic band

3 介質(zhì)特性對Lieb 莫爾晶格禁帶的影響

研究不同介質(zhì)材料的子晶格疊加形成的復(fù)合莫爾晶格的能帶特征。選擇兩種實(shí)驗(yàn)中常用的介質(zhì)材料：GaAs 和SiO2，兩個(gè)子晶格重合點(diǎn)選用了GaAs 介質(zhì)柱，采用平面波展開法對莫爾晶格的禁帶特征進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖6（a）所示。

圖6 Lieb 復(fù)合莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結(jié)構(gòu)圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數(shù)變化的曲線）Fig.6 Bandgap characteristic diagram and band structure of Lieb composite Moire lattice（the illustrations shows the curve of the main bandgap width changing with the filling factor）

由圖6（a）可知，Lieb 復(fù)合莫爾晶格的禁帶寬度隨著填充系數(shù)的增大而增大。因?yàn)殡S著介質(zhì)柱半徑的增加，復(fù)合晶格結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了重疊的情況，因此在圖6（a）中，最大的填充系數(shù)為0.205。圖6（b）給出了近極限情況下Lieb 復(fù)合莫爾晶格的能帶結(jié)構(gòu)圖，晶格的主禁帶寬度為0.265，禁帶中心為1.274。通過對比Lieb 莫爾晶格（GaAs）和Lieb 復(fù)合莫爾晶格（GaAs+SiO2）的禁帶特征，證明了材料介電特性差異也能對莫爾結(jié)構(gòu)的禁帶進(jìn)行調(diào)控。對比材料單選GaAs 的Lieb 莫爾晶格，Lieb 復(fù)合莫爾晶格的主禁帶寬度得到了提升。禁帶增寬的原因主要是兩種介質(zhì)引起的晶格結(jié)構(gòu)對稱性降低，減小結(jié)構(gòu)的對稱性是提高光子晶體禁帶的有效手段［25-26］。

Lieb 復(fù)合莫爾晶格的兩個(gè)子晶格介質(zhì)柱的半徑也可以作為一個(gè)調(diào)控參數(shù)，設(shè)定兩個(gè)子晶格的介質(zhì)柱半徑關(guān)系為r2=0.5r1，此時(shí)對應(yīng)的填充系數(shù)為f3=(15r21+12r22)π/α22。兩個(gè)子晶格重合點(diǎn)仍選用了GaAs 介質(zhì)柱。計(jì)算得到的不同半徑條件下，晶格能帶特征如圖7（a）和（b）所示。在不同半徑的Lieb 莫爾晶格（GaAs）中，當(dāng)填充系數(shù)為0.137 時(shí)，主禁帶最大；在不同半徑的Lieb 復(fù)合莫爾晶格（GaAs+SiO2）中，當(dāng)填充系數(shù)為0.170 時(shí)，主禁帶最大。最寬禁帶條件下的能帶結(jié)構(gòu)如圖7（c）和（d）所示。在r2=0.5r1的Lieb 莫爾晶格中，主禁帶寬度為0.167，禁帶中心為1.265。在r2=0.5r1的復(fù)合莫爾晶格中，主禁帶寬度為0.326，禁帶中心為1.246。Lieb 復(fù)合莫爾晶格的主禁帶寬度得到了進(jìn)一步的提升，這仍可以歸因于子晶格介質(zhì)柱半徑的變化所帶來整體晶格對稱性的降低。因此，通過改變介質(zhì)柱A 和B 半徑的相對大小，禁帶寬度可以得到進(jìn)一步提高。

圖7 r2=0.5r1時(shí)Lieb 莫爾晶格和Lieb 復(fù)合莫爾晶格的禁帶特征圖和能帶結(jié)構(gòu)圖（插圖為主禁帶寬度隨填充系數(shù)變化的曲線）Fig.7 Bandgap characteristic diagrams and band structures with r2=0.5r1 of Lieb Moire lattice and Lieb composite Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

4 結(jié)論

本文通過兩個(gè)Lieb 子晶格的可公度旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造了Lieb 莫爾光子晶格，通過數(shù)值計(jì)算研究了該晶格結(jié)構(gòu)的光子禁帶特征與結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料特性之間的關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明在相同填充因子條件下，Lieb 莫爾晶格中禁帶頻率區(qū)間的寬度相比于子晶格有顯著的增加。在r1=0.038 0α的Lieb 莫爾晶格中，得到了平整度最高的平帶。在Lieb 復(fù)合莫爾晶格中，得到了最寬的帶隙0.326。通過莫爾配置，在原有晶格基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了更平的平帶和更寬的禁帶結(jié)構(gòu)，可為集成光子器件性能的優(yōu)化提供新的平臺。此外，莫爾結(jié)構(gòu)引入了更多的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)自由度，通過改變結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)較大范圍的光子禁帶調(diào)控、豐富光子晶格結(jié)構(gòu)的功能、擴(kuò)展光子晶體的應(yīng)用范圍。