馬 迪，關(guān)曉迪，王文進(jìn)，魏歡歡,3,朱勇鋒

(1.西安交通工程學(xué)院土木工程學(xué)院，陜西 西安 710300;2.西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048;3.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，陜西 咸陽 712100;4.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710048)

關(guān)鍵鏈技術(shù)是近幾年新提出的進(jìn)度管理方法，該方法的核心思想主要表現(xiàn)在以下幾個方面：①以50%完工保證率下的工期估計作為初始工期估計;②以關(guān)鍵鏈作為整個項目的約束路徑，而不是關(guān)鍵路線;③在各鏈路末端設(shè)置緩沖區(qū)消除不確定因素的影響;④在項目執(zhí)行過程中，用監(jiān)控緩沖區(qū)消耗情況的方式對項目整體進(jìn)行管控。對于關(guān)鍵鏈技術(shù)的研究重點集中在如何科學(xué)合理的計算緩沖區(qū)的大小，因此緩沖區(qū)計算方法成為近年來關(guān)鍵鏈相關(guān)問題研究的熱點內(nèi)容，對于這方面的研究也取得了豐富的成果。

1997年，Goldratt[1]在《關(guān)鍵鏈》一書中不僅提出了關(guān)鍵鏈的概念，還提出了一種計算緩沖大小的方法：剪切-粘貼法。1998年，Herroelen等[2]第一次用根方差法來計算緩沖大小，該方法是在剪切-粘貼法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用中心極限定理將被切掉時間的根方差作為緩沖大小，即根方差法。2002年，Steyn[3]提出項目總工期服從正態(tài)分布，且其均值和方差分別等于關(guān)鍵鏈上各個工序的均值和方差之和的觀點，并且得出在均值上加入緩沖可以提高完工率的結(jié)論。2005年，Cohen等[4]將使用能力約束資源的活動的總時間的一半作為能力約束緩沖。2006年，Tukel等[5]提出了資源緊張度求解和網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度求解緩沖區(qū)的方法。劉士新等[6]設(shè)計了一種考慮工序在資源受限情況下的自由時間的啟發(fā)式算法，用該方法識別出關(guān)鍵鏈后，利用根方差法計算緩沖區(qū)的大小。2008年，Tenera[7]提出可以采用估計最后一項工序延期的風(fēng)險來確定項目活動時間，該方法被稱為SMC法。褚春超[8]提出了1種考慮資源緊張度、網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度、管理者風(fēng)險偏好水平的計算緩沖的新方法。Long等[9]引入梯形模糊數(shù)來估計項目的不確定性，運(yùn)用90%完工概率下的時間估計與期望工期的差值作為工序的安全時間。馬力等[10]在自由時差方法的基礎(chǔ)上考慮到項目中不同活動的資源利用程度不同，設(shè)計了1種設(shè)定緩沖大小的新方法;Liu等[11]提出了多資源受限問題的啟發(fā)式算法，在現(xiàn)有啟發(fā)式算法的基礎(chǔ)上作了優(yōu)化。2009年，楊立熙等[12]提出了開工柔韌性的概念，他認(rèn)為開工柔韌性小的工序消除級聯(lián)效應(yīng)的能力較弱，因此可以在其上適當(dāng)增加緩沖。2010年，Zhao等[13]運(yùn)用遺傳算法識別關(guān)鍵鏈，然后用編程方法計算緩沖。2012年，施騫等[14]引入模糊方法度量項目的資源緊張程度，將其與網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度、風(fēng)險偏好系數(shù)相結(jié)合來計算緩沖。2013年，張延祿等[15]根據(jù)項目復(fù)雜性的界定問題，歸納總結(jié)出復(fù)雜性的基本類型。李俊亭等[16]提出優(yōu)化關(guān)鍵鏈多項目進(jìn)度計劃的數(shù)學(xué)模型和啟發(fā)式算法的調(diào)度模型，采用逆向拓?fù)渑判蚍绞竭M(jìn)行調(diào)度。2014年，Zhang等[17]提出了基于屬性優(yōu)化的緩沖計算方法。Leach[18]提出了可以參考排隊論來設(shè)置能力約束緩沖。高亮等[19]嘗試將帕累托法則應(yīng)用于緩沖估計，從緩沖公式設(shè)置的層面對已有緩沖估計方法進(jìn)行修正。2017年，張俊光等[20]提出了基于熵權(quán)法的項目緩沖計算模型。2019年，葉宇鴻[21]通過引入Z-number模糊數(shù)，運(yùn)用高延期風(fēng)險性活動的不確定性對緩沖區(qū)計算方法進(jìn)行了改進(jìn)。2020年，陳誠[22]綜合考慮活動相關(guān)性、資源緊張度、網(wǎng)絡(luò)密度和風(fēng)險偏好因素，提出了一種新的緩沖計算方法。夏斌[23]對根方差法中緩沖區(qū)計算進(jìn)行了改進(jìn)，將安全時間的方差、位置權(quán)數(shù)和風(fēng)險系數(shù)用于根方差法的計算。上述研究成果均有益地推進(jìn)了緩沖區(qū)設(shè)置方法的相關(guān)研究。

值得注意的是，上述關(guān)于緩沖區(qū)計算方法的研究主要集中在剪切-粘貼法和根方差法以及對該兩種方法的改進(jìn)上。剪切-粘貼法的優(yōu)點是易于計算，簡潔明了。缺點是緩沖區(qū)的大小根據(jù)工序數(shù)目和工序持續(xù)時間的增加而增大，符合線性增長規(guī)律。這導(dǎo)致工序足夠少時，所估計的緩沖區(qū)過小;而工序數(shù)量增多時，其估計的緩沖區(qū)又過大。而根方差法的優(yōu)點是符合中心極限定理，在一些工序較多的項目中確定緩沖區(qū)的大小相比于剪切-粘貼法更加合理，且符合非確定執(zhí)行時間累加的統(tǒng)計規(guī)律，因此可以盡可能避免緩沖區(qū)的尺寸過大或過小。缺點是根方差法使用的前提條件是各工序持續(xù)時間相互獨立，這在實際工程中很難實現(xiàn)，因此得出的結(jié)果會存在一定的誤差。本文基于上述研究，引入了信息熵理論，用信息熵來衡量影響緩沖大小的因素，建立了可以綜合考慮整體復(fù)雜熵、單一復(fù)雜熵、施工難度熵、資源約束熵、決策者偏好因素的緩沖區(qū)設(shè)置模型，并結(jié)合根方差法對緩沖區(qū)計算公式進(jìn)行改進(jìn)，使緩沖區(qū)的計算更加科學(xué)合理。

1 基于信息熵的緩沖區(qū)影響因素度量方法

1.1 信息熵的引入

熵(Entropy)[24]是人們定義的一個熱力學(xué)參數(shù)，作為體系混亂度的量度。本文用信息熵來度量工期壓縮后產(chǎn)生的諸多不確定性因素，并在此基礎(chǔ)上與根方差法有效結(jié)合設(shè)置緩沖區(qū)，實現(xiàn)進(jìn)度優(yōu)化管理。

1.2 緩沖區(qū)影響因素的度量

在實際工程中，影響工序工期的因素有很多，本文主要考慮了4種最具代表性的因素：網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度、施工難度、資源約束情況和決策者偏好因素。

a)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度分為整體復(fù)雜度(C)[25]和各工序單一復(fù)雜度(ci)，整體復(fù)雜度反映的是各網(wǎng)絡(luò)計劃活動之間的緊前與緊后約束關(guān)系的復(fù)雜程度。各工序單一復(fù)雜度ci為網(wǎng)絡(luò)計劃中工序i的復(fù)雜程度[23]。由于系統(tǒng)的復(fù)雜性、規(guī)模與熵值成正比，因此，C和ci可分別用整體復(fù)雜熵(Hf)和單一復(fù)雜熵(Hfi)來度量，整體復(fù)雜熵和單一復(fù)雜熵越大，表明工程項目和工序受不確定因素的影響越大，工程延期的可能性越大。整體復(fù)雜度C和各工序單一復(fù)雜度ci的公式為：

(1)

(2)

式中Kj——節(jié)點j的緊前工序數(shù);Sj——節(jié)點j的緊后工序數(shù);N——項目網(wǎng)絡(luò)計劃中的節(jié)點數(shù);A——與其對應(yīng)的工序數(shù);Li——工序i的緊前工序數(shù);Lt——工序i所在鏈路的工序總數(shù)。

將C和ci代入信息熵公式，得到整體復(fù)雜熵Hf和單一復(fù)雜熵Hfi的表達(dá)式為：

Hf=-ClnC

(3)

Hfi=-cilnci

(4)

b)施工難度。在項目施工的過程中，工序難度越大，其不確定程度就會越高，完工概率就會越低。由于系統(tǒng)施工難度可用信息熵度量，施工難度越大，熵值越大，因此，施工難度可用施工難度熵Hai來表示，本文通過專家評估的方式可以得出表1中各個工序的施工難度系數(shù)ε值，其中施工難度熵的計算公式為：

Hai=-εilnεi

(5)

表1 施工難度系數(shù)

c)資源約束情況可以通過資源緊張度來度量，資源緊張度可以側(cè)面反映項目的混亂程度，因此，資源緊張度αi可用資源約束熵Hbi度量，資源約束熵越大，工序受資源約束的影響就越大，項目延期的風(fēng)險相應(yīng)越大。資源緊張度與資源約束熵的計算公式為：

(6)

Hbi=-αilnαi

(7)

式中Rt——項目在t時段資源供應(yīng)限量;rkt——t時段執(zhí)行工序k所需的資源量;m——t時段執(zhí)行的工序總數(shù);STi——工序i的開始時間;Di——工序i的工期;αi——工序i的資源緊張程度。

d)由于人的行為心理學(xué)因素(學(xué)生綜合癥、帕金森定律等)的存在，決策者偏好因素對項目進(jìn)度的影響很大，主要表現(xiàn)為拖延至最后一刻再完工、估計工序工期時預(yù)留大量的冗余時間、工作提前完工不匯報等。

本文用決策者偏好指數(shù)λi對決策者偏好因素進(jìn)行度量，為了更好地度量決策者偏好指數(shù)，筆者總結(jié)概括了6種最具代表性的影響因素(施工難度、工序相對位置、不確定系數(shù)、風(fēng)險水平、工序復(fù)雜度、工序持續(xù)時間比例)，并給出了具體的計算方法。

a)施工難度。在工程施工過程中，其施工難度越大，相應(yīng)所需工期越長，完工概率越低。通過專家評估的方式可以得出各個工序的施工難度系數(shù)，施工難度系數(shù)見表1。

b)工序相對位置。在工程施工過程中，工序的相對位置會對工序工期造成影響。對于任一工序i，工序位置可以用工序i時間中點距離開始節(jié)點的最長距離Li和工序i所在鏈路總工期最大值Ti的比值來表示，由于工序距離開始節(jié)點越近或離終止節(jié)點越遠(yuǎn)時，對工序工期的影響越大，因此工序相對位置ωi的計算公式為：

(8)

c)不確定系數(shù)。計劃評審技術(shù)中的三時估計值是專家和技術(shù)人員通過以往經(jīng)驗對工序工期樂觀、悲觀、最可能時間的相應(yīng)把控，可以用來表示工序的不確定性。因此，工序的不確定系數(shù)K可用最可能時間m與樂觀時間a的差和悲觀時間b與樂觀時間a的差的比值來表示，見式(9)：

(9)

d)風(fēng)險水平。實際工程中，項目管理者可能根據(jù)各種外在條件的不同采取不同的風(fēng)險水平進(jìn)行管理。若選取風(fēng)險偏好水平為ρ，則保證率為1-ρ時所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)fg，可得該風(fēng)險水平下工序工期的調(diào)整系數(shù)ψi表達(dá)式為：

(10)

e)各工序單一復(fù)雜度。Oya等[26]提出了鏈路復(fù)雜度的思想，即各工序的復(fù)雜度可以用其所在鏈路的復(fù)雜度來表示。因此，本文主要應(yīng)用各工序單一復(fù)雜度ci來衡量其對工期的影響，見式(2)。

f)工序持續(xù)時間比例。在實際工程中，各工序持續(xù)時間越長，其面臨風(fēng)險的可能性越大。因此本文采用工序工期ti與所在鏈路總工期最大值Ti的比值來表示該工序持續(xù)時間對總工期可能造成的影響。則工序持續(xù)時間比例計算公式為：

(11)

因此，計算決策者偏好指數(shù)λi分為以下3個步驟：首先利用層次分析法計算各因素的權(quán)重向量wi，然后逐一計算工序工期的6個影響因素指標(biāo)值，最后運(yùn)用式(13)逐個計算決策者偏好指數(shù)：

λi=w1·εi+w2·ωi+w3·ki+w4·ψi+

w5·ci+w6·χi

(12)

2 緩沖區(qū)設(shè)置的熵模型

2.1 基于模糊理論的安全時間估算

Kaufman等[27]提出了一致性指數(shù)(AI)的概念，它是衡量兩個模糊事件一致性的指標(biāo)。對于模糊事件A、B，其一致性為模糊事件A相對于模糊事件B的一致程度，一致性指數(shù)AI(A,B)可以用A、B的面積來表示，其計算公式為：

(13)

在此基礎(chǔ)上，可以轉(zhuǎn)化為基于三角模糊數(shù)的一致性表達(dá)式[28]：

(14)

(15)

式中h——工序工期的一致性真度。

在傳統(tǒng)緩沖區(qū)設(shè)置方法中，剪切-粘貼法與根方差法中采用工序持續(xù)時間的一半作為安全時間，這顯然不符合工程實際。本文將安全時間進(jìn)行改進(jìn)，采用真度為90%的項目工期與新定義的模糊工期的差值作為工序的安全時間，見式(16)：

(16)

工序i的模糊工期計算公式為：

(17)

2.2 緩沖區(qū)模型的建立

通過對緩沖區(qū)影響因素的度量，可以得出整體復(fù)雜熵Hf、單一復(fù)雜熵Hfi、施工難度熵Hai、資源約束熵Hbi和決策者偏好因素λi的計算方法?；诖?，運(yùn)用根方差法可以構(gòu)建出新的緩沖區(qū)設(shè)置模型，新的項目緩沖計算方法為：

(18)

式中 PB——初始項目緩沖；n——關(guān)鍵鏈上的工序數(shù)。

同理，匯入緩沖計算方法為：

(19)

式中 FBn——第n條非關(guān)鍵鏈的匯入緩沖；Hfj——第n條非關(guān)鍵鏈上工序j的單一復(fù)雜熵；Haj——施工難度熵；Hbj——資源約束熵；λj——決策者偏好因素；σj——工序j的安全時間。

2.3 緩沖區(qū)的修正

新構(gòu)建的項目緩沖和匯入緩沖設(shè)置模型較原始根方差法所得模型有了很大的改進(jìn)，但是仍可能存在以下情況：非關(guān)鍵鏈加入?yún)R入緩沖后大于關(guān)鍵鏈，導(dǎo)致關(guān)鍵鏈發(fā)生改變;關(guān)鍵鏈上活動不能連續(xù)執(zhí)行等。為了保證關(guān)鍵鏈不會發(fā)生轉(zhuǎn)變且關(guān)鍵鏈上的工序可以正常進(jìn)行，可以通過比較各條非關(guān)鍵鏈所設(shè)置的匯入緩沖與該非關(guān)鍵鏈上最后一個工序的自由時差的大小，取較小者作為最終設(shè)置的匯入緩沖的大小。

首先用Fh表示第n條非關(guān)鍵鏈上最后一項工序h的自由時差。

(20)

式中Bj——第n條非關(guān)鍵鏈上最后一項工序h的所有緊后工序的集合;ESj——工序j的最早開始時間;EFh——工序h的最早完成時間。

取匯入緩沖和該非關(guān)鍵鏈上最后一個工序的自由時差的最小值作為最終匯入緩沖，見式(21)[29]：

(21)

然后計算第n條非關(guān)鍵鏈的冗余緩沖：

(22)

若自由時差小于匯入緩沖，則匯入緩沖與自由時差之差將不被計入最終的匯入緩沖，修正后的匯入緩沖較本該設(shè)置的匯入緩沖偏小，可能出現(xiàn)總工期延誤的情況。因此將冗余緩沖Δtn整合到項目緩沖之中，吸收可能出現(xiàn)的風(fēng)險(圖1)。

圖1 修正后項目緩沖示意

修正后的項目緩沖PB′為：

(23)

3 算例分析

選取江西省某一高層商業(yè)建筑的工程實例，本商業(yè)建筑地下1層，地上32層，裙房2層。其計劃開工時間為2018年7月1日，計劃完成時間為2019年12月18日，總施工日歷天數(shù)為536 d。因其處于較繁華地段，且地下結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工程施工跨越冬季施工階段，最終該項目于2019年12月30日竣工，工期延后12 d。其中項目的進(jìn)度計劃雙代號網(wǎng)絡(luò)見圖2，通過與新定義的模糊工期相結(jié)合，可得到該工程的關(guān)鍵路線P1-P2-P6-P7-P8-P9-P11-P13-P20-P21-P22-P23-P24，見圖3。在關(guān)鍵路線的基礎(chǔ)上消除資源約束，就可以得到關(guān)鍵鏈P1-P3-P5-P8-P9-P11-P13-P20-P21-P22-P23-P24，相應(yīng)的關(guān)鍵鏈網(wǎng)絡(luò)見圖4。

圖2 初始項目進(jìn)度計劃雙代號網(wǎng)絡(luò)

圖3 與模糊工期相結(jié)合的雙代號網(wǎng)絡(luò)

圖4 基于模糊工期的關(guān)鍵鏈

a)基于信息熵的各緩沖區(qū)影響因素度量結(jié)果分別如下。

整體復(fù)雜熵(Hf)：N=23，A=24，C=0.020 9，Hf=0.080 8。

單一復(fù)雜熵(Hfi)：由圖4可知，共有6條非關(guān)鍵鏈，分別為：P2-P4，P2-P6-P7，P10，P10-P12，P16-P17-P18，P10-P12-P14-P15-P19。對于每一條非關(guān)鍵鏈上的工序，其單一復(fù)雜熵計算結(jié)果分別為：非關(guān)鍵鏈P2-P4中Hf2=0，Hf4=0.346 6;非關(guān)鍵鏈P2-P6-P7中Hf2=0，Hf6=0.366 2，Hf7=0.270 3;非關(guān)鍵鏈P10中Hf10=0;非關(guān)鍵鏈P10-P12中Hf10=0，Hf12=0.346 6;非關(guān)鍵鏈P16-P17-P18中Hf16=0，Hf17=0.306 5，Hf18=0.178 5;非關(guān)鍵鏈P10-P12-P14-P15-P19中Hf10=0，Hf12=0.321 9，Hf14=0.366 5，Hf15=0.306 5，Hf19=0.178 5。

經(jīng)計算，得到施工難度熵Hai、資源約束熵Hbi、決策者偏好指數(shù)λi和安全時間σi見表2。

表2 施工難度熵、資源約束熵、決策者偏好指數(shù)和安全時間

b)緩沖區(qū)的計算。將項目緩沖PB設(shè)置在關(guān)鍵鏈上最后一個工序P24的后邊，項目緩沖PB的計算結(jié)果如下：

=12 d

(24)

匯入緩沖需要設(shè)置在非關(guān)鍵鏈匯入關(guān)鍵鏈處。工程共有6個非關(guān)鍵鏈，因此需要設(shè)置6個匯入緩沖。根據(jù)分析需分別設(shè)置在工序P4、P7、P10、P12、P18、P19的后邊。

對于非關(guān)鍵鏈P2-P4，在P4后邊設(shè)置匯入緩沖FB4：

(25)

對于非關(guān)鍵鏈P2-P6-P7，在P7后邊設(shè)置匯入緩沖FB7：

(26)

對于非關(guān)鍵鏈P10，在P10后邊設(shè)置匯入緩沖FB10：

(27)

對于非關(guān)鍵鏈P10-P12，在P12后邊設(shè)置匯入緩沖FB12：

(28)

對于非關(guān)鍵鏈P16-P17-P18，在P18后邊設(shè)置匯入緩沖FB18：

(29)

對于非關(guān)鍵鏈P10-P12-P14-P15-P19，在P19后邊設(shè)置匯入緩沖FB19：

FB19=

(30)

由于匯入緩沖均小于各非關(guān)鍵鏈上最后一項工序的自由時差，因此項目緩沖保持不變。該工程的關(guān)鍵鏈長度為496 d，項目緩沖為12 d，則總工期為508 d。原計劃總工期為536 d，且實際施工后工期延誤12 d，因此使用傳統(tǒng)方法的總工期為548 d，本文方法較傳統(tǒng)方法提前了40 d，并且在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上消除了資源約束問題，更加科學(xué)合理。

4 結(jié)論

項目執(zhí)行過程中可能出現(xiàn)的諸多不確定性因素和潛在風(fēng)險是關(guān)鍵鏈緩沖區(qū)設(shè)置不合理的主要原因，本文建立了一種基于模糊理論的緩沖區(qū)設(shè)置模型，并將此模型應(yīng)用于具體實際算例中，通過算例得出，本文提出的改進(jìn)的關(guān)鍵鏈技術(shù)使總工期縮減了40 d，并且消除了工程實施過程中的資源約束，較傳統(tǒng)進(jìn)度管理方法更優(yōu)。