□ 鞏子坤 吳敏霞 趙雨晴

一、引言

符號意識，是學習者將數(shù)學知識抽象成對應的數(shù)學符號的認知活動，是解決數(shù)學問題過程中表現(xiàn)出來的數(shù)學核心素養(yǎng)[1]，其形成直接影響學生數(shù)學能力的發(fā)展。然而，目前在教學中沒有專門的測試來檢驗學生的符號意識。四年級是從經(jīng)驗型思維向理論型思維轉(zhuǎn)化的開始，是學生符號意識發(fā)展水平的關鍵節(jié)點[2-3]。本研究在已有研究的基礎上，對符號意識的內(nèi)涵進行了再認識，編制了符號意識測試問卷，為探明小學4~6年級學生的符號意識及其發(fā)展水平提供了基本工具。

二、問卷編制與實施

（一）符號意識內(nèi)涵解讀

我國對符號意識的研究晚于西方。以Abra?ham Arcavi[4]為代表的研究成果為國內(nèi)進行符號意識研究奠定了基礎。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中指出符號意識主要是指能夠感悟符號的數(shù)學功能。知道符號表達的現(xiàn)實意義；能夠初步運用符號表示數(shù)量、關系和一般規(guī)律；知道用符號表達的運算規(guī)律和推理結論具有一般性；初步體會符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式。史寧中教授從行為的角度對課標進行了解讀：理解符號意義和運用符號進行表達，通過符號操作得到一般性結論，強調(diào)學生學習數(shù)學符號的觀念對數(shù)學發(fā)展的重要性。[5]李艷琴和宋乃慶認為，符號意識是指學生在表示數(shù)學概念、數(shù)學關系等符號的感受、體會、認識、理解、運用等方面的反應。[6]基于學者們對符號意識的解讀，將符號意識分為符號理解、符號表示、符號運算、符號推理四個維度。

（二）問卷理論結構構建

我們基于對符號意識維度的劃分,確定符號意識問卷的理論結構。為更好地編制符號意識測試題目，結合4~6 年級學生的學習內(nèi)容，嘗試對各維度給出操作性定義，如表1所示。

表1 符號意識測試問卷維度、操作性定義及各維度的題目編號

（三）問卷測試題目編制

在設計題目的過程中，征求一線教師關于小學4~6 年級學生的認知水平及題目呈現(xiàn)形式等的建議，同時征求了數(shù)學教育專家和優(yōu)秀的小學數(shù)學教研員的意見，不斷地對問卷進行修訂，初步形成了符號意識測試問卷一。

（四）樣本選取與問卷回收

為保證符號意識問卷的信效度，選取了三個樣本分別進行測試。后一次測試問卷是基于前一次測試的數(shù)據(jù)分析結果進行修訂后得到的。

使用問卷一對樣本一進行測試，該樣本來自杭州市J 區(qū)某學校學習層次有明顯差別的五年級學生，共4人?；厥諉柧砉?份，其中有效問卷為4份，有效率達100%。

使用問卷二對樣本二進行測試，該樣本來自杭州市X區(qū)某學校四、五、六年級學生，共490人?；厥諉柧砉?90份，其中有效問卷為386份，有效率達78.8%。

使用問卷三對樣本三進行測試，該樣本來自杭州市G區(qū)某學校四、五、六年級學生，共450人。回收問卷共450份，其中有效問卷為402份，有效率達89.3%。

（五）數(shù)據(jù)分析工具與方法

每道題正確記1分，錯誤記0分。先利用SPSS對樣本一數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，借助訪談了解學生對題目的理解情況，根據(jù)反饋修訂問卷；再利用SPSS對樣本二數(shù)據(jù)進行項目分析和探索性因素分析，以便得到問卷的主成分，調(diào)整問卷的理論結構及測試題目；最后利用AMOS對樣本三數(shù)據(jù)進行驗證性因素分析，確認問卷理論結構的合理性。

三、問卷預測與修訂

（一）問卷預測

對樣本一收集到的數(shù)據(jù)進行整理、錄入。先結合訪談了解學生對題目存在困惑的地方，進而對4道題目進行調(diào)整與完善，形成問卷二。修改前后的題目如表2所示。

表2 問卷一、問卷二題目調(diào)整前后對比

第一題屬于“對運算符號的理解”維度，修改前的題目供學生思考的空間較小，部分學生會通過觀察選擇出現(xiàn)過相同的數(shù)的條件，而不是在理解算式的意義之后選擇適用的條件。因此通過修改提供的條件，使得提供的條件中多次出現(xiàn)相同的數(shù)來改變這一情況。

第二題屬于“抽象運算”維度，難度較大，因此在題目后給予一定的提示，但“k+2k=3×k=3k”連等的算式不利于學生對“數(shù)字乘字母”這種形式的理解。因此將提示改為“z＋z＋z=3×z”，指明“3×z，可以表示為3z”，并通過舉例加深學生的理解。

第三題屬于“合情推理”維度，由于“*”與乘號較像，將“*”改為“⊙”。

第四題也屬于“合情推理”維度，該題以坐標的形式出現(xiàn)，超出了學生的認知范圍，因此改為與該維度其他題目形式接近的題目。

（二）項目分析

對樣本二收集到的數(shù)據(jù)進行項目分析。先用臨界比率法刪除不具有高低分組顯著性差異的題目。再用題總相關法對各題得分與總得分之間進行相關分析，意在刪除與總得分相關系數(shù)不顯著的題目。經(jīng)過項目分析，問卷二無刪題，仍有46道題目。

（三）探索性因素分析

基于項目分析，對樣本二數(shù)據(jù)進行探索性因素分析。KMO值為0.907，Bartlett 球形度檢驗相關性顯著（p<0.01），表明樣本二數(shù)據(jù)很適合做因子分析。因此，使用主成分分析法和最大方差旋轉(zhuǎn)法確定問卷的因子數(shù)和題目。經(jīng)探索性因素分析，主成分與符號意識問卷的理論結構一致，刪除1（1）、2（1）、2（2）、4（1）、4（2）、8（2）、9（1）共7 道題。為更好地反映測試內(nèi)容，需使各維度題目在3 道或以上，故根據(jù)分析結果增加整數(shù)、分數(shù)維度的同質(zhì)性題目各2道。

如“對分數(shù)意義的理解”維度，刪除了題目“一根繩子長2 米，將它平均分成3 段，每段占全長的_____，每段長_____米”，增加了題目“一根繩子長3米，剪去2米，剪去的占全長的_____，剩余的占全長的_____”。這保證了分數(shù)測試維度題目的同質(zhì)性。

修訂后形成最終的測試問卷三，包含43道題，詳見附錄。

四、問卷檢驗與確定

（一）驗證性因素分析

對樣本三收集的數(shù)據(jù)進行驗證性因素分析，檢驗實際數(shù)據(jù)與理論模型的擬合程度。首先構建一階兩兩相關模型，根據(jù)分析結果進行殘差修正，在各指標基本達到模型適配標準后再構建二階模型。同理構建三階模型。三種模型的各擬合指標如表3所示。

表3 各指標擬合情況

從擬合結果來看，隨著結構模型的不斷改進，各指標擬合得越來越好，且符號意識三階結構模型的擬合指標基本達到了檢驗標準。因此，實際數(shù)據(jù)與該模型的適配情況良好，該符號意識理論結構和題目編制是比較合理的。本研究設計的小學4~6年級學生符號意識測試問卷的結構模型如圖1所示。

圖1 小學4~6年級學生符號意識測試問卷的結構模型

（二）問卷的信度和效度分析

1.信度分析

信度是效度的前提條件。采用Cronbach’s α系數(shù)檢驗問卷的內(nèi)部一致性，考察問卷的每個題目是否測試了相同的內(nèi)容或特質(zhì)。數(shù)據(jù)表明問卷具有很好的內(nèi)部一致性（如表4）。

表4 符號意識問卷各維度信度

2.效度分析

效度是指測試工具或手段能夠準確測出所需測量事物特質(zhì)的程度。本研究主要分析問卷的內(nèi)容效度和結構效度。

（1）內(nèi)容效度

內(nèi)容效度指的是測試題目對有關內(nèi)容取樣的適用性。在問卷形成后，邀請4位專家對問卷題目與其所屬維度的相關性做出評價，即在“‘1’表示完全無關、‘2’表示有點相關、‘3’表示較強相關、‘4’表示完全相關”的四點量表上做出判定。依據(jù)評價標準（K*：0.40~0.59 為一般，0.60~0.74 為良好，0.74~1.00為優(yōu)秀[7]），35道題為優(yōu)秀，8道題為良好。進一步計算，結果顯示S-CVI/UA為0.81，S-CVI/Ave為 0.95。根據(jù)S-CVI/UA不低于0.80，S-CVI/Ave應達到0.90 的標準[8]，該符號意識問卷的內(nèi)容效度較好（表5）。

表5 符號意識問卷內(nèi)容效度

（2）結構效度

結構效度指的是測試結果體現(xiàn)出來的某種結構與理論結構之間的一致性。從驗證性因素分析的結果來看，RMSEA在 0.08 以下，CFI等在 0.9 以上，因此擬合的三階模型是一個“好模型”[9]，該符號意識問卷的結構效度達到要求。

五、討論

本研究重在編制小學4~6 年級學生的符號意識測試問卷。相較于團隊已有的研究成果，即“小學一年級學生符號意識測試問卷”和“小學2~3 年級學生符號意識測試問卷”，以及目前的研究成果，本問卷編制的進步之處主要體現(xiàn)在以下兩個方面。

（一）問卷理論結構更完善

三份問卷一脈相承，均包含符號理解、符號表示、符號推理、符號運算四個維度。隨著學生認知水平的提高及知識量的增加，本問卷對結構進行了完善。特別是針對符號理解維度，將學生對數(shù)字符號的理解細分為對整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)意義的理解；對關系符號的理解細分為對比較關系、等于關系的理解，同時增設對運算符號的理解這一考察維度。在一定程度上，本次問卷考察內(nèi)容更細致，理論結構更完善。

（二）問卷編制過程更嚴謹

前兩份問卷選取的樣本量較小，數(shù)據(jù)分析易出現(xiàn)誤差。為減少這一誤差，本次問卷編制過程中選取了大樣本用于探索性因素分析，并選取大樣本對最終問卷進行驗證性因素分析及信效度檢驗。因此，本次問卷編制過程更嚴謹、分析方法更科學。

六、結論

本研究編制的“小學4~6年級學生符號意識測試問卷”理論結構更完善，編制過程更嚴謹，且具有較好的信效度。因此，本問卷可有效測試小學4~6年級學生的符號意識，也可為小學高段學生符號意識評價體系的形成及相關研究提供參考。

附錄：問卷三

親愛的同學：歡迎參加這個小測試。請你仔細看題目，按照要求認真回答。測試的結果只用來做研究，與你的數(shù)學成績無關。

1.4500000000里有45個___。60000000000里有600個__。

2.37200000里有3720個__。

3. 一根竹竿長8 米，截去5 米，截去的占全長的__，剩余的占全長的__。

4. 一根繩子長3 米，剪去2 米，剪去的占全長的___，剩余的占全長的___。

5. 3.673 中的左邊起第一個“3”表示3 個___，第二個“3”表示3個___。

6.1.57里面有15個___，7個___。

7.填空。

（1）298+a>305，a是自然數(shù)，最小是____。

（2）435-b>427，b是自然數(shù)，最大是_____。

（3）70×c>258，c是自然數(shù)，最小是_____。

8.填空。

（1）150-q=90+12，那么q= ____。

（2）16×4=m÷10，那么m= _____。

（3）216÷n=3×8，那么n= ______。

9.請根據(jù)算式選擇適當?shù)臈l件，并提出用該算式解決的問題。

水果攤運來一批橘子、梨、香蕉，若干天后全部賣完。

①橘子有70千克。②香蕉比橘子多50千克。

③梨比橘子少50千克。④每千克橘子賣6元。

⑤每千克梨賣5元。⑥每千克香蕉賣5元。

⑦香蕉10天賣完。⑧梨10天賣完。

⑨橘子總共賣了420元。⑩梨總共賣了100元。

（1）列出算式“70×6-100=320”需要的條件是_____，你提出的問題是__________________。

（2）列出算式“420÷6+50=120”需要的條件是_____，你提出的問題是__________________。

（3）列出算式“（70-50）×5=100”需要的條件是_____，你提出的問題是________________。

（4）列出算式“（70+50）÷10=12”需要的條件是______，你提出的問題是__________________。

10.在橫線上填上含有字母的式子。

（1）動物園里有a只兔子，有b只獅子，老虎的只數(shù)比兔子、獅子的總和少2 只，動物園里有老虎_____只。

（2）李明的爸爸買了c個蘋果，媽媽回來后吃了1 個蘋果，李明放學回來后吃了d個蘋果，還剩下______個蘋果。

（3）倉庫里有一批水泥，運走了5車，每車e噸，還剩下f噸，這批水泥共有_______噸。

（4）小妍去商店買了3盒彩筆，共用去g元。如果買一盒鉛筆用的錢比買一盒彩筆的錢少h元，那么買一盒鉛筆需要用_______元。

（5）小華有鉛筆i支，小強有鉛筆j支。小華、小強的鉛筆總數(shù)是小剛的3倍，小剛有鉛筆_____支。

（6）亮亮有k個梨，比麗麗多p個梨。如果花花的梨是麗麗的4倍，那么花花有______個梨。

11.在橫線上填上適當?shù)臄?shù)。

（1）27+13=54-a，a= _____。

（2）b+34=75-23，b= _____。

（3）56-10=17+c，c= _____。

（4）60-d=16+34，d=_____。

12.在橫線上填上適當?shù)氖阶印?/p>

（知識小貼士：z+z+z=3×z，可以表示為3z；3z+4z=7z；5z-2z=3z）

（1）a+2b=10b-c，a=5b，c= _____。

（2）3t+f=q-t，q=8t，f= ____。

（3）m-3r=2r+n，m=6r，n= _____。

（4）8k-i=j+k，j=3k，i= ____。

13.已知：3 ⊙ 2 =（3+2）×（3-2），5 ⊙ 4 =（5+4）×（5-4），7 ⊙ 5=（7+5）×（7-5），請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_________________。

14. 已知：3＠4=3×5-4×2，6＠8=6×5-8×2，9＠5=9×5-5×2 ，請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：______________。

15.已知：8 △ 4=（8+2）÷（4+1），7 △ 2=（7+2）÷（2+1），4 △ 2=（4+2）÷（2+1），請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_________________。

16. 已知：（12-10）÷ 2 = 12÷2-10÷2 ，（18-12）÷ 3=18÷3-12÷3 ，（25-15）÷ 5=25÷5-15÷5 ，請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_____________。

17.規(guī)定兩種新運算“◎”和“○”，◎表示兩數(shù)之中取大數(shù)的運算，○表示兩數(shù)之中取小數(shù)的運算。如3◎5=5，7○10=7。請你算出以下兩個式子的結果。

（1）（9○12）+（28◎4）= ______。

（2）（19◎6）-（5○32）= ______。

18.規(guī)定一種新運算“※”，a※b=a×a-b×b。請你算出以下兩個式子的結果。

（1）9※（4※3）= ______。

（2）（8※7）※5= ______。