肖莉娜,盧美華

(江西科技學(xué)院理學(xué)教學(xué)部,江西 南昌 330022)

0 引言

Arrow不可能性定理有70多年的研究歷史，已經(jīng)有一些具體證明，但各種證明都有一些瑕疵[1].如直觀上非獨裁性的約束非常弱，而獨裁是強(qiáng)約束條件，本質(zhì)上獨裁函數(shù)個數(shù)是可列舉的，并且獨裁約束矛盾于其他所有約束公理，從而邏輯上其他約束公理不可能推導(dǎo)出獨裁性，但它們與非獨裁性又不相容.在Arrow不可能性定理的證明中，J. Geanakoplos[2]已經(jīng)歸納出2種路徑:一種是K.J. Arrow等[3]基于決定集的證明,另一種是S. Barberá等[4]依據(jù)關(guān)鍵投票者(Pivotal voters)的證明;Yu Ning[5]歸納了3種具體實現(xiàn)的方法.事實上，每隔10年,都會有著名的學(xué)者提出新的證明方法[6-11],并于2014年5個諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者再次討論了Arrow定理的證明[12].在這些文獻(xiàn)的證明性過程中克服一個瑕疵,但又會產(chǎn)生另一個瑕疵.近期，左勇華等[1]指出:在本質(zhì)上該問題是一個公理系統(tǒng)的相容性問題.而Hu Liu[13]采用了形式語句刻畫給出了邏輯形式的證明，也預(yù)示了Arrow定理證明需要借助元數(shù)學(xué)模式.

由于Arrow定理涉及整個社會科學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，所以能否進(jìn)行構(gòu)造性證明或證明其不成立,除各社會科學(xué)外對決策理論最為重要，尤其是群決策理論[14].同時，考慮其保障存在性的約束公理配置，這里至少是一個重要的機(jī)制設(shè)計方法.同時Arrow定理的證明和偏好刻畫方法十分相依，為厘清Arrow定理的技術(shù)環(huán)節(jié)，本文基于強(qiáng)序標(biāo)定投票者條件，構(gòu)造問題空間，證明相互包含性和自包含性，為Arrow定理研究提供了一個簡化途徑，并且也能預(yù)示著群決策模式能處理好單決策模式，更是落實文獻(xiàn)[1]提出的公理形式化思路.

1 社會選擇框架

1.1 基本知識

為刻畫社會選擇函數(shù)(簡寫SCF)框架，需要規(guī)范刻畫偏好、序、強(qiáng)序、弱序、偏序、全序、模等基本概念.偏好是一個經(jīng)濟(jì)學(xué)概念，依賴序的刻畫，在對偏好進(jìn)行公理化刻畫后偏好至少是一個偏序，而規(guī)范刻畫這些概念的基礎(chǔ)為關(guān)系代數(shù).另外，嚴(yán)格偏好是不包含無差異關(guān)系.由于不同文獻(xiàn)對于偏好、強(qiáng)序、弱性等的刻畫具有較大差異，因此本文給出一些基本概念、符號及其說明.

對于泛指的有限集合S,‖S‖表示S中元素個數(shù)，被稱為S的范數(shù).對于泛指關(guān)系R,即給定集合S,S上二元關(guān)系R是S×S的子集，若a、b∈S滿足(a,b)∈R?S×S,則稱a關(guān)系R于b,在不產(chǎn)生歧義情況下也稱a和b之間有關(guān)系R.為方便表述，若a對于b有關(guān)系R,則記為aRb;若a對于b沒有關(guān)系R,則記作aRb.另外，泛指R特性:(i)?a∈S,?aRa,稱R在S上滿足自反性;?a∈S,?aRa,稱R在S上滿足非自反性.(ii)?a、b、c∈S,由aRb、bRc?aRc,稱R在S上滿足傳遞性.(iii)?a、b∈S,a≠b,若aRb?bRa,則稱R在S上滿足對稱性;?a、b∈S,a≠b,若aRb?bRa,則稱R在S上滿足非對稱性.(iv)若?a、b∈S,a≠b,必有aRb或者bRa,則稱R在S上滿足完全性.

泛指R在S上具傳遞性，稱R為偏序；泛指R在S上具傳遞性和完全性,稱R為全序；泛指R在S上具自反性、傳遞性和完全性，稱R為弱序；泛指R在S上具非自反性、傳遞性和完全性，稱R為強(qiáng)序.顯然，弱序、強(qiáng)序都為全序.泛指R在S上具自反性、傳遞性、對稱性，稱R為等價，并記為“～”,“～”未必為全序.由于偏好滿足具自反性、傳遞性和完全性，所以本文所稱偏好序均為弱序.另外，關(guān)系可以進(jìn)行衍生、分解、誘導(dǎo)等構(gòu)造.如“?”=“”,R=P∪I,“”=“?∪～”,后續(xù)含義自明.

1.2 SCF的強(qiáng)序構(gòu)造

自然數(shù)實體可從廣為所知的皮亞諾公理出發(fā)來構(gòu)造.自然數(shù)是一個集合N，它滿足以下公理:(i)0∈N;(ii)若x∈N，則后繼性x′∈N(后繼的存在)，并且?x∈N，有x′≠0.于是可形成一個實證性構(gòu)造，0:=?,1:={?};2:=1∪{1}={?,{?}};后續(xù)采用后繼的歸納定義3:=1∪2∪{1,2}={?}∪{?,{?}}∪{?,{?,{?}}},依照定義規(guī)則，若已經(jīng)定義好了n,則如下定義n+1:=1∪2∪…∪n∪{1,2,…,n},這樣每個自然數(shù)是一個實體性集合對應(yīng)物,其中邏輯語句“:=”表示“定義為”.以上定義能形成實體性自然數(shù)，也就排除了實無窮，并且每個自然數(shù)是實體性對象的實體集合.不過，這種力求避免任何數(shù)理邏輯矛盾的構(gòu)造行為形成了極大的書寫困難.

為構(gòu)造SCF的形式框架，以A(alditinative)表示標(biāo)度性備擇物集，以V(Voter)表示標(biāo)度性投票者集，一般地,SCF不是采用individual,而是直接考慮投票.本文采用文獻(xiàn)[7]的Voter表達(dá),并記(A,V)=∪(Ai,Vj),其中(Ai,Vj)表示Ai中有特定個數(shù)的i個備擇物，Vj中有特定的j個投票者.一般地，可以直接構(gòu)造出(Ai,Vj)的實體性備擇物和實體性投票者(見實體自然數(shù)的定義)，但考慮自然數(shù)的實體形式化構(gòu)造的書寫極其復(fù)雜，直接簡化備擇物記為Ai={α1,α2,…,αi},并簡化投票者記為Vj={β1,β2,…,βj}.?β以及?Ak,?R為相關(guān)偏好序，即任給投票者β在任給備擇物集Ak上都有一個偏好序R滿足自反性、傳遞性、完全性.為了簡化,R直接用?表示其弱序關(guān)系,并且以證明需要適時分解為R=P∪I,前者為嚴(yán)格偏好，后者為無差異,其中嚴(yán)格偏好P滿足非自反性、傳遞性、完全性并直接用表示為強(qiáng)序關(guān)系,I滿足對稱性、自反性、傳遞性并直接用～表示為等價關(guān)系(無差異關(guān)系).另外，還采用、?等符號表示相應(yīng)的逆關(guān)系，其含義上下文是自明的，并且顯然有“”=“?∪～”.

定義1給定(Ai,Vj),(i)稱PSCF(Ai,Vj)={R1,R2,…,Rj|1≤k≤j,Rk為Ai上的弱序}為(Ai,Vj)上的SCF的問題空間，記為PSCF(Ai,Vj);(ii)稱∪i,jPSCF(Ai,Vj)為SCF問題全空間，記為PSCF;(iii)稱PST(Ai,Vj)={(p1,p2,…,pj)|1≤k≤j,pk為Ai上強(qiáng)序}為(Ai,Vj)的SCF加強(qiáng)空間，記為PST(Ai,Vj);(iv)稱∪i,jPST(Ai,Vj)為SCF問題加強(qiáng)全空間，記為PST.

定義2在PSCF上，?Ai、?Vj,以及?α1,α2∈Ai,對偏好序Rk規(guī)定序?qū)Α碦k+,Rk-〉:

(i)當(dāng)α1Rkα2為α1～α2時,α1Rk+α2為α1α2,而α1Rk-α2為α1?α2;并對其他全部的α～α1～α2,規(guī)定αRk+α1為α～α1(α2),規(guī)定αRk-α1為α～α1(?α2).

(ii)當(dāng)α1Rkα2為α1α2時，α1Rk+α2?α1Rkα2且α1Rk-α2?α1Rkα2;稱〈Rk+,Rk-〉為Rk在α1,α22個等價點上的有序分影，記為φα1α2Rk,即φα1α2Rk=〈Rk+,Rk-〉.同時稱Rk為〈Rk+,Rk-〉在〈α1,α2〉上的合影.

羅云峰等[15]歸結(jié)了廣泛的集結(jié)路徑研究，本質(zhì)上有序分影具有路徑相依性.不過，以上定義中φα1α2≠φα2α1Rk，但正好有φα2α1Rk=〈Rk-,Rk+〉.為消除此類路徑相依性，可以給出等價對(α1,α2)的分影(Rk+,Rk-).當(dāng)然，合影只有在合適分影對上才能實施，后續(xù)將考慮在無任何3元循環(huán)時均可做合影，這將進(jìn)入直接的集結(jié)運算.

顯然，偏好Rk中等價的分影只分解一個等價關(guān)系.文獻(xiàn)[10]用偏好投影、保序運算，由此考察多面體頂點.一方面這是整體性操作；另一方面，文獻(xiàn)[10]方法部分可擬操作，構(gòu)成全局分影，畢竟在備擇物α1、α2上等價序的分影過于局限.但全局分影需考慮整個偏好序R的分解R=P∪I,再考慮在等價關(guān)系中全部等價序的分影.

考察加載偏好序的備擇物集(A,R),A={α1,α2,…,αi},I為包含于R中的等價關(guān)系.作A/～={Λ1,Λ2,…,Λk},其中若滿足:(i)A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk;(ii)任何Λs∪Λt=?(s≠t);(iii)在任何Λs中,?α、α′∈Λs,有α～α′,即αIα′,則稱A/～為A的等價類劃分.同時建立一類集序,?Λs、Λt∈A/～,?α∈Λs、α′∈Λt,定義等價類序如下:

(i)ΛsΛt?αα′;(ii)ΛtΛs?α′α.

一般地，當(dāng)(A,R)不包含“～”時，所有的Λk都是單點集.當(dāng)(A,R)含“～”時，對于非單點集Λk，可建立在(A,R)上A/～的分影，記為φA/～Rk,φA/～Rk=(Rk+,Rk-),規(guī)定(Rk+,Rk-)如下:

(i)?ΛsΛt以及?α∈Λs、α′∈Λt,規(guī)定αRk+α′、αRk-α′均為αα′.

(ii)?Λs∈A/～,記為Λs={αs1,αs2,…,αsi},規(guī)定αs1Rk+αs2Rk+…Rk+αsi?αs1αs2…αsi,并規(guī)定αs1Rk-αs2Rk-…Rk-αsi?αs1?αs2?…?αsi.

另外可以定義偏好序?qū)Φ膶τ?由以上構(gòu)造，等價類上的分影同樣也不唯一，但顯然具有如下引理.

引理1?(A,R)∈PSCF,φA/～Rk在A/～上保持了等價類序.

定義3R+、R-∈(A,R),且都為其中的偏好強(qiáng)序，稱(R+、R-)為A上的對影偏好，若?α、ξ、ζ∈A,R+、R-對α、ξ、ζ3者的排序不在孔多塞循環(huán)中.

為充分明晰采用對影偏好的性質(zhì)，采用文獻(xiàn)[14]的可排規(guī)則來刻畫，由于R+、R-都是強(qiáng)序偏好，不妨定R+在α、ξ、ζ3者上的排序為αR+ξR+ζ(定向為αξζ),所以R-排序α、ξ、ζ不能為ξR-ζR-α(定向為ξζα)、ζR-αR-ξ(定向為ζαξ).R-排α、ξ、ζ序可有4種:αξζ、α?ξ?ζ、αζξ、ξαζ.本質(zhì)上，對影是共識的重要刻畫，另外可劃分A形成分片對影、3個投票者對影等.

考慮SCF的本質(zhì)是集結(jié)運算，為提供準(zhǔn)確的證明，有必要約簡問題規(guī)模，形成更為標(biāo)準(zhǔn)的形式.眾多文獻(xiàn)提出了很多SCF約束公理，同時還可以考慮公理配置,如單峰偏好就是重新配置了UD公理.為此，以AS代表一組約束公理(Axiom system),考慮SCF的存在性.若在2個空間中,SCF的存在性是一致的，則稱之為集結(jié)性等價,并以O(shè)scf及一般性集結(jié).

定義4稱空間P1與P2在約束公理系統(tǒng)AS下是集結(jié)性等價的，若在AS下，在P1中存在SCF必然在P2中也存在SCF,反之亦然.

2 主要結(jié)果

定理1Ai={α1,α2,…,αi},P1、P2為Ai上的兩強(qiáng)序偏好，(P1,P2)為對影序，則Oscf(P1,P2)為序偏好.

證若P1、P2為在A2={α1,α2}上的兩強(qiáng)序偏好，則(P1,P2)為序同向或異向，故任何Oscf(P1,P2)=P1=P2,或者Oscf(P1,P2)=“～”.在A2={α1,α2}上Oscf(P1,P2)是平凡的.

若Ai={α1,α2,…,αi}不少于3個備擇物，則?α、ξ、ζ∈Ai,既然P1、P2為強(qiáng)序，為方便設(shè)αP1ξP1ζ定向為αξζ,由對影知P2排α、ξ、ζ序有4種:αξζ、α?ξ?ζ、αζξ、ξαζ.下面分4種情況討論，并且采用文獻(xiàn)[14]的刻畫方法.

(i)若P2排α、ξ、ζ序為αξζ，則Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序為αξζ.?δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,顯然,P1排α、ξ、ζ、δ序為δαξζ,或αδξζ,或αξδζ,或αξζδ.

若P1排序為δαξζ，則P2只能排序為δαξζ或αδξζ,否則P2排序為αξδζ或αξζδ.在這2種情況下，無論何種情況，P1、P2對δ、α、ξ都會存在孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序.當(dāng)P2排序為αξζδ時δ、α、ζ以及ξ、ζ、δ甚至也都構(gòu)成了孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序.為此，Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ、δ序為δαξζ或δαξζ.

若P1排序為αδξζ，P2必不排序為αξζδ，否則ξ、ζ、α將在P1、P2下構(gòu)成孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序.于是有:P2排序為δαξζ?Oscf(P1,P2)排序δ～αξζ;P2排序為αδξζ?Oscf(P1,P2)排序αδξζ；P2排序為αξδζ?Oscf(P1,P2)排序αδ～ξζ.

顯然，若P1排序為αξζδ，則證明過程同于P1排序為αδξζ的情況；若P1排序為αξδζ，則證明過程同于P1排序為αδξζ的情況.

于是，綜合上述，若P2排α、ξ、ζ序為αξζ，則Oscf(P1,P2)得證.

(ii)若P2排α、ξ、ζ序為α?ξ?ζ，Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序為α～ξ～ζ.再考慮?δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,顯然P1在αξζ上δ有4種排位.若P1排序為δαξζ,則P2排序為δ?α?ξ?ζ?Oscf(P1,P2)排序為δ～α～ξ～ζ.

若P1排序為δαξζ，則P2排序為α?δ?ξ?ζ,即ζξδα?ξδα與δαξ構(gòu)成孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序?(P1,P2)不為對影序?P2不排序為α?δ?ξ?ζ;同樣,若P1排序為δαξζ,則P2也必不排序為α?ξ?δ?ζ.

若P1排序為δαξζ，則P2排序為α?ξ?ζ?δ?Oscf(P1,P2)排序為δα～ξ～ζ.

這種情況說明:若對影序(P1,P2)嚴(yán)格反序排任何3個備擇物,則其他備擇物只能是在該3個備擇物的邊界上.

(iii)若P2排序為αζξ,Oscf(P1,P2)排α、ξ、ζ序為αξ～ζ.再考慮?δ≠α、ξ、ζ,δ∈Ai,同樣P1在αξζ上δ有4種排位.若P1排序為δαξζ,則P2排序為δαζξ?Oscf(P1,P2) 排序為δαξ～ζ;若P1排序為δαξζ,則P2排序為αδζξ?Oscf(P1,P2)排序為δ～αξ～ζ；若P1排序為δαξζ,則P2必不排序為αζδξ，否則δαξζ、αζδξ?δξζ、ζδξ在P1、P2下構(gòu)成孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序;若P1排序為δαξζ,則P2必不排序為αζξδ，否則δαξζ、αζξδ?δαξ、αξδ在P1、P2下構(gòu)成孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序，甚至δ、α、ζ也在P1、P2下構(gòu)成孔多塞循環(huán)的連續(xù)排序.

這說明:P2排序為αζξ，Oscf(P1,P2)能集結(jié)為偏好序.

(iv)若P2排序為ξαζ，依情況(iii),同理可證Oscf(P1,P2)能集結(jié)為偏好序.

綜合4種情況,定理1得證.

定理1說明對影序可以把一般序強(qiáng)化為嚴(yán)格序.定理1及其證明過程在比較狹窄的空間上，一方面，給出了一個集結(jié)的直接方法;另一方面，給出了可集結(jié)性的判斷.并且，這里集結(jié)性是廣泛適應(yīng)的，也就是在廣泛性約束公理上都是適應(yīng)的，并且在對影和孔多塞循環(huán)之間建立了聯(lián)系.本質(zhì)上，可以提出3元對影和多元對影，作為可集結(jié)性的一個指示.當(dāng)然，廣泛的約束公理并沒有指明，其中約束無限制性定義域(UD公理)對于共識非常重要[16];當(dāng)然UD公理也可以擴(kuò)充，本質(zhì)上文獻(xiàn)[17-18]在格序上和在弱序上定義群決策就延展了UD公理.考慮SCF問題的規(guī)模性，給出如下定理.

定理2對于任何約束公理系統(tǒng)AS，SCF問題全體的問題空間PSCF等價于SCF問題加強(qiáng)全空間PST,后者是前者的真子空間.

證PST=∪i,jPST(Ai,Vj),而其中PST(Ai,Vj)={(p1,p2,…,pj)|1≤k≤j,pk為Ai上強(qiáng)序}.但是,PSCF=∪i,jPSCF(Ai,Vj),其中PSCF(Ai,Vj)={(R1,R2,…,Rj)|1≤k≤j,Rk為Ai上弱序}.

顯然，有PSCF?PST,即后者是前者的真子空間.那么，對于任何約束公理系統(tǒng)AS，若SCF在PSCF上存在，則SCF必在PST上存在.為此，只需證明若SCF在PST上存在則必有SCF在PSCF上存在.

設(shè)公理系統(tǒng)AS下SCF在PST上存在，考察PSCF上的SCF存在性.?P∈PSCF,?(i,j)使得P∈(Ai,Vj),為此記P=(R1,R2,…,Rj),其中Rk為Ai上弱序.其中Rk可能包含也可能不包含“～”，都可作φA/～Rk=(Rk+,Rk-),必有φP/～P=(φA/～R1,φA/～R2,…,φA/～Rk,…,φA/～Rj),為了簡便,記φP/～P=(R1+,R1-,R2+,R2-,…,Rj+,Rj-)=(p1,p2,…,pj,pj+1,…,p2j).故顯然有φP/～P∈PST(Ai,V2j),由AS下在PST上存在SCF,記其中之一為S0:PST(Ai,V2j)→PSCF(Ai,V0),這里(Ai,V0)滿足‖V0‖=1,即V0只有1個投標(biāo)者，故PSCF(Ai,V0)為社會的偏好.從構(gòu)造上S0通過φP/～P把?P∈(Ai,Vj)映射為PSCF(Ai,V0)的一個確定性元素，從而得到AS下(Ai,Vj)上的SCF,并且該S(P)=S0φP/～(P).并由P∈PSCF的任意性知，SCF在PSCF上存在.

綜上所述，在AS下，SCF問題全體的問題空間PSCF集結(jié)性等價于SCF問題加強(qiáng)全空間PST.

定理2說明:基于強(qiáng)序標(biāo)定投票者條件，在SCF問題空間的構(gòu)造上集結(jié)性等價于其一個真子集.這就為Arrow定理研究提供了一個簡化途徑；同時，定理2也提供了一個指示可集結(jié)的條件,如對影的集結(jié)是非常簡潔.

3 結(jié)論

本文的主要結(jié)論顯示:社會選擇函數(shù)能在嚴(yán)格的偏好序空間(即強(qiáng)序空間)上構(gòu)造，其存在性完全等價于弱序空間上的存在性,從而社會選擇函數(shù)的問題空間可以壓縮.另外，在強(qiáng)序空間上構(gòu)造社會選擇函數(shù)無論是文獻(xiàn)[15]的可排序，還是圖像排序，還是border賦值等各種方法，其刻畫描述更為準(zhǔn)確和清晰，從而社會選擇函數(shù)的存在性判斷更為具體.同時，從群決策的角度來看，可以形成更為清晰的偏好集結(jié)的方式.雖然在形式空間的等價性研究上，并不涉及具體的約束公理，但對于公理系統(tǒng)的約束相容性，至少可更方便的構(gòu)造指示性算子.也就是說，即使未必能確定性判斷約束公理的相容性，但還是可以構(gòu)造一些運算予以指示.同時，問題空間的不同構(gòu)造以及不同的加載拓?fù)洌墚a(chǎn)生更廣泛的結(jié)論，至少能統(tǒng)一諸多文獻(xiàn)的結(jié)論[2-9,16-20].