譚希麗, 張凱麗, 張 勇, 劉天澤

(1. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

1 引言與預(yù)備知識

定義1在次線性期望空間下, 如果存在某個有限的正實數(shù)序列{g(n),n≥1}, 使得下式成立：

則稱{Xn,n≥1}為上(下)WOD序列, 其中非負函數(shù)φi∈Cl,Lip()(i=1,2,…)是非降的(非增的).如果一個序列既是上WOD序列又是下WOD序列, 則稱該序列為WOD序列.

顯然, 如果{Xn,n≥1}是上WOD隨機變量序列,f1(x),f2(x),…∈Cl,Lip()均為非降函數(shù), 則{fn(Xn),n≥1}也是上WOD隨機變量序列. 因為次線性期望下WOD序列包含NOD序列和END序列, 所以可將文獻[12]中的定理2從概率空間NOD序列加權(quán)和的幾乎處處收斂性推廣到次線性期望下WOD序列加權(quán)和的幾乎處處收斂性.

引理1[13]l(x)是緩變函數(shù)當且僅當

V(An, i.o.)=0,

引理3[13]假設(shè)X∈H, 0<β<∞,φ(x)=x1/βl(x), 則對任意的C>0, 有

其中l(wèi)(x)是緩變函數(shù).

注意到

則有

應(yīng)用基本不等式

有

從而

當xy≤δBn時, 有

當xy≥δBn時, 有

因此

則有

易知

另一方面, 對任意的t>0, 有

(2)

當β(x)≥1時, 不等式(2)顯然成立.現(xiàn)設(shè)z=(1+2δ)x,δ′=(1+δ)(1+2δ)2-1, 則

同樣是反對“厚葬”，墨子主張“節(jié)葬”，莊子似乎做得更徹底，更近于“露天葬”和“野葬”。從這個意義上講，莊子是抗俗的先驅(qū)者，后世的抗俗者應(yīng)該都從他那里得到過啟發(fā)或受到過影響。

證畢.

2 主要結(jié)果

(3)

假設(shè)對任意的C>0,

(4)

當1≤p<2時, 滿足

其中φ-是φ的反函數(shù).則

(5)

此外, 如果{Xn,n≥1}是下WOD隨機變量序列, 則

(6)

(7)

由于對數(shù)函數(shù)是最簡單的緩變函數(shù), 設(shè)l(n)=logn(n>1), 則可得如下推論.

注1在次線性期望下, 本文將Ma等[13]的結(jié)果從END隨機變量序列的幾乎處處收斂性推廣到了WOD隨機變量序列的幾乎處處收斂性.

(8)

注意到

因此, 式(4)和式(9)表明

(10)

對于上WOD隨機變量序列{Xn,n≥1}, 為確保截斷后的隨機變量也是上WOD隨機變量序列, 需要截斷函數(shù)屬于Cl,Lip并且是非降的.在這種情形下, 對任意的1≤i≤n,n≥1, 定義

Xni=-n1/βl(n)I(Xi<-n1/βl(n))+XiI(|Xi|n1/βl(n)),

Yni=Xi-Xni=(Xi-n1/βl(n))I(Xi>n1/βl(n))+(Xi+n1/βl(n))I(Xi<-n1/βl(n)),

則{Xni, 1≤i≤n,n≥1}和{Yni, 1≤i≤n}都是上WOD隨機變量序列.易得

因此要證明式(5), 只需說明

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

與文獻[13]的證明類似, 可知式(12)成立.

利用Cr不等式, H?lder不等式及式(8),(10),(13),(15),(16), 有

下面證明I22<∞.

當α>2時, 取v∈(β(1-2/α),β).因為n1-v/β(l(n))-v≥1, 故有