李 鈺 李 晨? 王常龍 梅占東 張世一

(1. 上海衛(wèi)星裝備研究所，上海 200240; 2. 上?？臻g環(huán)境模擬與驗證工程技術(shù)研究中心，上海 200240;3. 西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對抗與仿真技術(shù)教育部重點實驗室，西安 710071;4. 西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710049)

0 引言

航天器產(chǎn)品具有小子樣、長壽命、高可靠性和基本不可維修等特點，并且在發(fā)射、在軌、運行過程中需要經(jīng)歷復(fù)雜的環(huán)境剖面。隨著智能化結(jié)構(gòu)技術(shù)的不斷發(fā)展，在航天器產(chǎn)品發(fā)射、在軌運行過程中對溫度、加速度、應(yīng)變、形變等參數(shù)進行實時監(jiān)測需求逐漸增多，航天器產(chǎn)品結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測逐漸成為研究熱點。一方面通過光纖傳感技術(shù)和無線傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)的實時采集獲取，目前國內(nèi)外已在多個航天器上取得了技術(shù)應(yīng)用，而另一方面如何實現(xiàn)對長時間和多個傳感器監(jiān)測到的大量數(shù)據(jù)高效傳輸和存儲也是亟需關(guān)注的方向。通過采用數(shù)據(jù)壓縮算法可在保證壓縮精度的情況下獲得較高的壓縮比，減少數(shù)據(jù)的儲存和傳輸量，并且縮短數(shù)據(jù)處理時間，最終在較小失真的情況下使用很少的監(jiān)測數(shù)據(jù)描述航天器產(chǎn)品結(jié)構(gòu)運行狀態(tài)。Ganesan 等人[1]在基于振動的結(jié)構(gòu)故障診斷中應(yīng)用壓縮感知技術(shù)對振動信號進行監(jiān)測與診斷，以減小數(shù)據(jù)的存儲量；北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所田引黎等人[2]提出了基于半張量積壓縮感知的形變數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，采用該方法對形變信號進行隨機采樣，實現(xiàn)較高精度的重構(gòu)；南京郵電大學(xué)宋春曉[3]利用壓縮感知在Lamb 波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中的開展了應(yīng)用研究。本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)傳輸問題中，對于大量監(jiān)測數(shù)據(jù)將其分段處理，每一段分別通過壓縮測量，在數(shù)據(jù)接受端通過稀疏恢復(fù)算法進行恢復(fù)，最后通過衛(wèi)星振動試驗數(shù)據(jù)驗證該方法的有效性。該方案實現(xiàn)了利用低維數(shù)據(jù)傳輸高維數(shù)據(jù)的效果，為解決航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測過程中數(shù)據(jù)高效傳輸提供理論支持。

1 壓縮感知原理與建模

在實際應(yīng)用中，我們需要處理和監(jiān)測的數(shù)據(jù)信號普遍是高維度或高頻率的，而采集這些大量的數(shù)據(jù)對于整個系統(tǒng)的信息存儲、傳輸、編譯等環(huán)節(jié)都提出了極高的要求。為了克服這一困難，由Donoho 等人[4–7]建立了壓縮感知理論體系，實現(xiàn)了用較低采樣頻率的方式恢復(fù)高維信號的技術(shù)突破，而這些工作也為稀疏信息恢復(fù)的理論[8]工作奠定了重要的基礎(chǔ)支撐。

稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法是壓縮感知基本模型的三要素，稀疏表示是壓縮感知理論的重要前提，在實際應(yīng)用中，大部分信號在小波基上展開后，其小波系數(shù)向量的稀疏性表現(xiàn)為大部分元素為0 或是較小的值，只在部分位置上有著較大的數(shù)值。從數(shù)學(xué)角度講，當一個向量中的大部分位置的元素為零或是較小值時，我們稱該向量是稀疏的[4]。特別地，若//x//0≤k，我們也稱向量x是k稀疏的，其中

測量矩陣的設(shè)計也是壓縮感知應(yīng)用的重要條件，其對于信號重構(gòu)具有重要意義，RIP 條件[4]已被證明是測量矩陣所要滿足的充分條件，Donoho 給出了滿足此條件的測量矩陣的三個特征：

1) 列向量滿足一定的線性獨立性；

2) 測量矩陣的列向量具有某種類似噪聲的獨立隨機性；

3) 滿足稀疏度的解是滿足1 范數(shù)最小的向量。

重構(gòu)算法是完成從觀測信號到目標信號的恢復(fù)過程，是壓縮感知的關(guān)鍵內(nèi)容，同時也是研究中的重點和難點，對于稀疏向量的恢復(fù)，可以建模為以下l0最小化[9–10]問題，而該模型就是稀疏信息恢復(fù)理論中的本源優(yōu)化問題

根據(jù)經(jīng)典線性代數(shù)理論，欠定方程組Ax=b一般有無窮多個解，但是基于解的稀疏性假設(shè)前提，l0最小化問題尋求的是這些解中最稀疏的解。因此，稀疏的先驗假設(shè)[11–12]是極為重要的。如果航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)在時域上不具備稀疏特性，可以通過變換域?qū)⑵滢D(zhuǎn)換成稀疏信號，本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)傳輸問題中，對于大量監(jiān)測數(shù)據(jù)將其分段處理，每一段都通過壓縮測量，在數(shù)據(jù)接收端通過本文設(shè)計的稀疏恢復(fù)算法進行恢復(fù)，從而達到利用低維數(shù)據(jù)傳輸高維數(shù)據(jù)的效果。

2 分式替代模型與算法理論分析

作為稀疏恢復(fù)中的本源模型，l0最小化模型已經(jīng)被證明為一個NP-HARD 問題，因此直接求解該問題是很困難的。尋求直接求解該模型的研究工作方向之一是啟發(fā)式算法設(shè)計，其中的代表是正交匹配追蹤算法[5](OMP)以及基于其的改進算法。對于OMP 類型的貪婪算法[6]，其優(yōu)點在于它是直接被設(shè)計用來求解l0最小化模型，而且算法復(fù)雜度低。但是這類方法缺點主要有以下幾點。第一，此類算法受噪聲影響水平較大。這是因為實際問題中的稀疏信號存在有一些較小值的分量，同時受到測量誤差的影響，容易在支撐基更新的步驟出現(xiàn)誤選，而對于OMP 算法，只要在迭代中支撐基更新出錯，就會直接導(dǎo)致整個算法恢復(fù)失敗。第二，成功恢復(fù)的條件較為苛刻。對比于其他算法，如OMP 以及其改進算法[13–14]，幾乎都需要對真實解的稀疏度預(yù)估。并且該預(yù)估值還需要比較接近真實解。可是在許多實際問題中，真實解的稀疏度是難以判斷的[15–16]。因此，本章將會給出一種新的替代函數(shù)與其對應(yīng)的算法，通過對其局部最優(yōu)解性質(zhì)的討論給出其收斂性證明。在本章及后面的篇幅中，我們定義函數(shù)

根據(jù)定義可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)o趨向于0，函數(shù)的性質(zhì)與0 范數(shù)越來越接近。例如，在圖1 中所示的二維情況，當p的取值趨向于0 時，函數(shù)的圖像與0 范數(shù)圖像越來越近。

圖1 分式函數(shù)圖像

因此，當參數(shù)p的取值足夠小時，我們可以通過求解如下lfp模型用來恢復(fù)原問題中的稀疏向量隨后給出這個模型的局部解性質(zhì)以及根據(jù)這個性質(zhì)所衍生出的不動點迭代算法。對于給定的n維向量x，定義n維對角矩陣

接下來，我們將通過以下定理展示lfp最小化模型的一個重要性質(zhì)，根據(jù)這個性質(zhì)我們可以得到一個不動點迭代算法。

定理1 如果x?是lfp最小化模型(5)的解且每一個分量均不為0，測量矩陣是一個滿秩矩陣，則有

證明 根據(jù)假設(shè)，因為x?的每一分量不為0，因此在該點處足夠小的領(lǐng)域內(nèi)，優(yōu)化函數(shù)可以視為一個可微函數(shù)，又因為測量矩陣是滿秩矩陣，因此考慮其KKT 條件，定義拉格朗日對偶函數(shù)L(x,λ)為

在定理1 中，我們詳細地討論了模型的局部解性質(zhì)，雖然原問題不能直接應(yīng)用KKT 條件，但是通過一定數(shù)學(xué)變化得到了類似的結(jié)果。但是注意到，上述結(jié)果是建立在解的每一個分量不為0 的前提下，如果沒有這個假設(shè)直接帶來的影響就是AE(x?)AT有可能不是可逆矩陣，為了解決這個問題，我們可以考慮求其偽逆代替原式結(jié)果。根據(jù)這個結(jié)論，很容易地得到以下不動點算法。

算法1 分式lfp 最小化模型算法Require: A ∈Rm×n, b ∈Rn, p,K Ensure: x?x1 =arg minAx=b //x//1 E =E(x1)for k =1,2,··· 直到滿足終止條件do xk+1 1 =FAT(AFAT)?b S ={i||xk+1 i |∈V a}E =E(xk+1)k =k+1 end for x?=xk+1

下面給出這個算法的收斂性證明。

定理2 根據(jù)算法1 得到的序列{xk}滿足

根據(jù)引理1 的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)，分式模型的算法從本質(zhì)上也是一種支撐基判斷方法，但是與OMP 類型的方法不同，本文所提方法是從局部最優(yōu)解性質(zhì)入手，不需要稀疏先驗知識，因此，在每一步迭代中，我們可以用過對當前解中過于小的分量使其值為0，加速其收斂速度，也通過選取最主要部分的支撐基應(yīng)對含有噪聲的情形。因此有以下改進算法。

算法2 改進的分式lfp最小化模型算法

Require: A ∈Rm×n, b ∈Rn, p,e,K Ensure: x?x1 =arg minAx=b //x//1 E =E(x1)for k =1,2,··· 直到滿足終止條件do xk+1 1 =FAT(AFAT)?b S ={i||xk+1 i |∈V a}S ={i:|xk+1 i |>e}xk+1 1 =arg minsupport(x)?S //Ax ?b//22 E =E(xk+1)k =k+1

end for x?=xk+1

3 基于衛(wèi)星振動試驗數(shù)據(jù)的算法驗證

航天器結(jié)構(gòu)在發(fā)射、在軌環(huán)境下會受振動、聲、加速度、沖擊等多種動力學(xué)環(huán)境作用。據(jù)美國宇航局統(tǒng)計[17]，衛(wèi)星發(fā)射上天后第一天所出現(xiàn)的故障，有30%～60%是由于動力學(xué)環(huán)境所引起的，因此對于監(jiān)測航天器結(jié)構(gòu)在振動環(huán)境下的響應(yīng)數(shù)據(jù)是航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測的一個重要內(nèi)容。通過航天器振動環(huán)境模擬試驗可以再現(xiàn)航天器結(jié)構(gòu)在發(fā)射飛行過程所經(jīng)受的振動環(huán)境[18]，獲得結(jié)構(gòu)在振動響應(yīng)。為驗證本文提出的算法在后續(xù)航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性，選取了某氣象衛(wèi)星整星地面振動試驗過程中的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)作為研究對象。試驗中在衛(wèi)星不同結(jié)構(gòu)處布置了多個加速度測點，本文選取1 個加速度測點數(shù)據(jù)利用本文算法進行了處理和分析驗證。

根據(jù)航天器的構(gòu)造，一級液體火箭發(fā)動機通過箭體結(jié)構(gòu)傳遞時，能量逐漸損失，尤其高頻部分由于循環(huán)次數(shù)多，能量損失也多，傳遞到安裝在整流罩內(nèi)的衛(wèi)星時，推力脈動只剩下很少的能量，一般400 Hz 以上的推力脈動就已經(jīng)很弱。因此目前在整星振動試驗中通常采樣頻率在400 Hz 以下，因此這里選取采樣率為400 Hz，整個振動試驗時長62.5 s，故有25 000 次結(jié)果。根據(jù)點的方向(分別為x、y、z三個方向)以及信噪比(SNR 為40 dB 和20 dB)分別得到的6 組不同的數(shù)據(jù)，在壓縮比為0.4 的條件下，我們對每次數(shù)據(jù)直接進行處理恢復(fù)，其中某一次恢復(fù)實驗(分別為點x方向，信噪比為40 dB 和點x方向，信噪比為20 dB)得到的結(jié)果以及與15～25 s 放大結(jié)果如圖2、圖3 所示，圖4 給出了每種算法的結(jié)果圖，可以看出，作為經(jīng)典匹配追蹤算法如OMP 算法和CoSaMP 算法，二者在圖像的外部輪廓上出現(xiàn)了較多的“毛刺”，原數(shù)據(jù)恢復(fù)效果不如本文算法結(jié)果。

圖2 恢復(fù)信號時域圖

圖3 15～25 s 放大結(jié)果時域圖

圖4 原信號與各算法結(jié)果

經(jīng)計算得到統(tǒng)計的恢復(fù)結(jié)果誤差如表1 所示，每一小格中的三行數(shù)據(jù)從上至下依次為范數(shù)相對誤差結(jié)果、范數(shù)相對誤差結(jié)果、無窮范數(shù)相對誤差結(jié)果，從表1 可以看出，最右邊一列中的本文方法處理得到的各種相對誤差均明顯小于其他現(xiàn)有兩種算法的處理結(jié)果。

表1 相對誤差總表

為了便于處理以及更加細致化地對結(jié)果進行分析，將每一次的實測數(shù)據(jù)分為25 組，每組有1 000 次數(shù)據(jù)，對每一組數(shù)據(jù)獨立進行恢復(fù)處理。如圖5、圖6 為不同算法的部分恢復(fù)結(jié)果(時域)以及通過傅里葉變換到頻域后的結(jié)果，不論是在時域還是頻域，另外兩種算法依然在圖像上出現(xiàn)了一些凸出的“毛刺”，本文所提算法所得結(jié)果相比較能夠較好地恢復(fù)出原信號。

圖5 點x 方向，信噪比40 dB 條件下結(jié)果

圖6 點z 方向，信噪比20dB 條件下結(jié)果

將每組恢復(fù)處理得到的不同的相對誤差結(jié)果繪制成折線圖如圖7 至圖12 所示，每一行的左中右依次為范數(shù)相對誤差結(jié)果、范數(shù)相對誤差結(jié)果、無窮范數(shù)相對誤差結(jié)果的圖像，由多組圖的結(jié)果可以看出，本文所提方法的相對誤差結(jié)果(在圖中為紅線部分)在大多數(shù)組里都低于其他兩種算法的結(jié)果，其恢復(fù)效果要好于其他兩種算方法。

圖7 第一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖8 第二組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖12 第六組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖9 第三組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖10 第四組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

圖11 第五組數(shù)據(jù)統(tǒng)計

4 結(jié)論與應(yīng)用前景

本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)傳輸問題中，并對所提算法進行衛(wèi)星振動試驗數(shù)據(jù)恢復(fù)驗證，對比結(jié)果表明本文所提算法處理得到的數(shù)據(jù)恢復(fù)相對誤差明顯小于經(jīng)典的匹配追蹤算法，可以較為可靠的恢復(fù)出原數(shù)據(jù)信號，在較小失真的情況下使用很少的數(shù)據(jù)描述試驗的全過程，具有其一定的優(yōu)越性。后續(xù)將進一步結(jié)合航天器結(jié)構(gòu)變形、振動、應(yīng)變等多種動態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)信號處理開展應(yīng)用驗證，為解決未來航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測的關(guān)鍵技術(shù)提供支持。