孫亮

不等式證明題具有較強(qiáng)的綜合性，常與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合．不等式證明題的命題方式多種多樣，求解的途徑也各不相同，通常要根據(jù)不等式的特征，靈活選用合適的方法進(jìn)行求證．本文主要探討一下證明不等式的四種方法，

一、比較法

比較法主要包含作差比較法和作商比較法．若要證明的不等式為幾個(gè)多項(xiàng)式的和或差，則采用作差比較法；若要證明的不等式為幾個(gè)多項(xiàng)式的積或商，則采用作商比較法．運(yùn)用比較法證明不等式的一般步驟為：作差（作商）——變形——作出判斷——得出結(jié)論，變形代數(shù)式的主要方法有通分、因式分解、配方等．

仔細(xì)觀(guān)察所要求證的不等式可以發(fā)現(xiàn)，不等式左右兩邊的式子具有對(duì)稱(chēng)性，且不等式中含有多個(gè)多項(xiàng)式，于是設(shè)a≥b≥c，采用作差比較法，將不等式左右兩邊的式子作差，然后將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、放縮，再利用不等式的傳遞性、可加性來(lái)證明結(jié)論．運(yùn)用作差比較法證明不等式時(shí)，作差后變形的結(jié)果都應(yīng)是幾個(gè)因式之積或完全平方式，這樣有利于判斷代數(shù)式的符號(hào)，

二、利用基本不等式

三、綜合法

利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種證明方法叫做綜合法．用綜合法證明不等式，要熟練運(yùn)用拆項(xiàng)、配方、因式分解等技巧對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變換．運(yùn)用綜合法證明不等式的基本思路是“由因?qū)Ч?，即先要揭示條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系以及不等式兩端式子的差異與聯(lián)系，比較出所要求證的不等式左右兩端式子的差異，再根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的恒等變換，最后推導(dǎo)出結(jié)果，

運(yùn)用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是要明晰已知條件和所要求證的不等式之間的聯(lián)系，充分利用已知條件，在必要時(shí)，可將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍⒎趴s，再選擇合適的公式、定理、性質(zhì)等進(jìn)行推導(dǎo)、運(yùn)算，最終得出結(jié)論．

四、分析法

運(yùn)用分析法證明不等式，需重點(diǎn)尋求結(jié)論成立的充分條件，把所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定是否具備這些充分條件的問(wèn)題，其基本思路是“執(zhí)果索因”，當(dāng)采用比較法、綜合法難以證明不等式時(shí)，往往可以運(yùn)用分析法進(jìn)行求證，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于解題的方向明確，思路清晰．

運(yùn)用分析法證明不等式，通常需采用“要證——即證——需證——只需證”的格式．解答本題，需“執(zhí)果索因”，先分析題目中需要證明的結(jié)論，再聯(lián)系已知條件，利用基本不等式，將要證明的結(jié)論進(jìn)行分解，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，根據(jù)完全平方式的性質(zhì)證明不等式成立．

相比較而言，比較法、綜合法比較常用，基本不等式法較為靈活，分析法往往較為復(fù)雜．同學(xué)們需根據(jù)已知條件和所要求證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理選擇最佳的方法進(jìn)行求證．

本文系江蘇省十四五課題《基于核心素養(yǎng)培育的高階思維培養(yǎng)的實(shí)踐研究》研究成果．