馮春飛 陳紅霞

【摘? ?要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)的認識與數(shù)的運算之間有密切的關聯(lián)，要讓學生體會數(shù)的運算一致性。教學人教版教材三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算乘法）”時，教師在對整數(shù)乘法的整體分析和學情診斷的基礎上，通過聯(lián)結“位”與“值”，滲透運算一致性。具體表現(xiàn)為：體會表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結；經(jīng)歷筆算“個性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結；打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結；感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結。

【關鍵詞】圖式聯(lián)結；理法聯(lián)結；策略聯(lián)結；程序聯(lián)結

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在教學數(shù)與代數(shù)領域的內(nèi)容時，要讓學生“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性”。整數(shù)乘法運算教學需體現(xiàn)運算的一致性，即計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘（這兩個計數(shù)單位可以一樣，也可以不一樣），從而得到新的計數(shù)單位；計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相乘，得到新的計數(shù)單位上的新的數(shù)。如何在整數(shù)運算教學中滲透運算一致性？本文以人教版教材三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算乘法）”為例展開實踐與思考。

一、整數(shù)乘法教學內(nèi)容分析

整數(shù)乘法的筆算教學內(nèi)容包括“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。前兩塊內(nèi)容側重筆算算理的探索，如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學，學生需要經(jīng)歷將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的學習活動。而“三位數(shù)乘兩位數(shù)”則側重算理和算法的遷移，發(fā)揮其作為小學階段整數(shù)乘法的終結作用，從而實現(xiàn)筆算模型的建構、固化和擴展。筆算模型的建構就是在這三塊內(nèi)容的學習過程中逐步形成的。其中兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，是理解算理和構建算法的關鍵。教師需要幫助學生從形式走向內(nèi)涵，透過筆算的“位”理解蘊含的“值”，為后續(xù)筆算模型建構打好堅實基礎（如圖1）。

二、學情診斷

為了解學生的起點，抓準學生的難點，為教學提供依據(jù)，筆者對本區(qū)300名三年級學生進行了前測。前測內(nèi)容為“用喜歡的方法計算14×12并寫出過程”。

（一）類歸方法，看“位值”聯(lián)結的起始點

根據(jù)前測統(tǒng)計，學生的計算方法呈多樣化，共有13種。其中6種方法較典型，共占前測學生數(shù)的92%。這6種方法分別為：①12拆成10和2的和再乘14，約占總人數(shù)的20.3%；②14拆成10和4的和再乘12，約占總人數(shù)的20.7%；③12拆成3乘4的積再乘14，約占總人數(shù)的9%；④12拆成2乘6的積再乘14，約占總人數(shù)的12.3%；⑤14拆成2乘7的積再乘12，約占總人數(shù)的14%；⑥嘗試筆算，約占總人數(shù)的15.7%。在學生心目中，這6種方法可以分成三類：一是把其中一個因數(shù)拆成10加幾，如方法①②，將問題轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)進行計算；二是把其中一個因數(shù)拆成幾乘幾，如方法③④⑤，將問題轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù)進行計算；三是嘗試筆算。前兩類方法是在“兩位數(shù)乘一位數(shù)”計算方法基礎上的自然生長，而筆算實際上是第一類方法的豎式表征。在學生不理解豎式的算理時，會認為豎式是不同的計算方法。因此教師教學時要從學生的經(jīng)驗起點入手，幫助學生走向?qū)ωQ式的理解。

（二）以圖釋意，看“位值”聯(lián)結的關聯(lián)性

從三類方法的意義、算式和過程的關聯(lián)性統(tǒng)計情況來看，方法①～⑤是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的知識方法加以解決，學生理解起來基本沒有困難。85%以上的學生可以用圖式對方法③④⑤的算理進行表征；70%以上的學生可以用圖式對方法①②的算理進行表征（如表1）。通過訪談圖式表征錯誤的學生，發(fā)現(xiàn)他們大部分能夠理解算理，只是對用正確的圖式來表征算理感到困難。而學生對筆算算理的理解程度很低，盡管有40人嘗試筆算并能夠?qū)懗稣_的豎式，但其中有37人不能用圖式表示豎式意義，也說不清楚每一步的意義。這說明學生列豎式計算只是停留在程序性的模仿階段，尚未做到真正理解。

（三）個性記錄，看“位值”聯(lián)結的著力處

學生呈現(xiàn)的各式各樣的“原創(chuàng)式”筆算中，第一類可稱為“錯例”，如圖2中的3個豎式，都表現(xiàn)出學生對位值思想的不理解，主要的困難在于第二步乘的過程，根源是對算理理解的缺失。圖3中兩個學生的筆算結果都正確，第一個豎式?jīng)]有完整記錄計算過程，第二個豎式記錄第二步乘得的結果是140個一。這兩類個性化的筆算占比很高，分別占使用筆算人數(shù)的38.3%和4.2%，說明教學筆算第二步的意義時需重點著力，要幫助學生透過位值中“位”的表象，建立“值”的理解。由此可見，教學的重點應該放在對第二步計算的意義理解和過程表征上。

綜上所述，本內(nèi)容的教學關鍵在對第二個因數(shù)十位上的數(shù)字與第一個因數(shù)相乘時的算理理解、算法表征和方法歸納上，而其核心在于第二層的計算不僅有計數(shù)單位的個數(shù)相乘，還涉及不同計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位，兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算經(jīng)驗不足以支撐學生對這個關鍵點的跨越。教師教學時應從學生不同的學習起點和經(jīng)驗基礎創(chuàng)生出的算法多樣化和表征多元化出發(fā)，做好多個層面由淺入深的聯(lián)結教學，才能由表及里地把握“位值”原理，實現(xiàn)理法融通。

三、“位值”聯(lián)結的教學實踐

（一）說理：體會表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結

立足學生起點，學生真正的困難不是對筆算算理的理解，而是每一步計算過程及意義無法與豎式表征一一對應，因此聯(lián)結“位值”的第一步就是建立豎式表征與圖式表征、橫式表征的聯(lián)結。

【教學片段1】

教師出示問題情境：“每套冰墩墩有12個，買14套共有多少個冰墩墩？”讓學生列式并嘗試用自己的方法計算。教師組織教學反饋，出示如圖4的學生作品，并實施以下三步教學。1.理解方法。請學生分別介紹每一個作品的計算方法。2.建立聯(lián)系。請兩位學生和教師合作介紹，教師比畫②號作品中筆算過程的某一步，一個學生指著①號作品中的點子圖進行解釋，另一個學生指出③號作品中橫式的某一步，說出這一步的意思，教師板書每一步豎式的計算過程。3.總結方法。比較三個作品，雖然表達的方式不同，但是表示的意義相同，都是先算10個14是多少、2個14是多少，再把兩部分加起來。

學生通過聯(lián)結點子圖、橫式和豎式這三種表征方式，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理。整個學習過程先讓學生個別說理，再師生聯(lián)動式說理，引導學生用數(shù)學語言表達每種表征方式背后的內(nèi)涵，幫助學生厘清筆算豎式每一步的意義，建立點子圖、橫式、豎式之間內(nèi)在意義“一致性”的圖式聯(lián)結。

（二）優(yōu)化：經(jīng)歷筆算“個性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結

學生理解算理并不代表能夠準確地用豎式計算，也不代表已掌握算法，因此需要幫助學生實現(xiàn)算理與算法的聯(lián)結。通常，學生個性化的豎式表征暴露了對筆算算法不同程度的理解偏差，用好學生的這些個性化資源，可以有效實現(xiàn)理法融通。

【教學片段2】

教師出示圖3的兩種個性化筆算，組織學生討論：“根據(jù)上一個環(huán)節(jié)的學習，你想給這兩名同學提什么建議？”學生通過展示作品，交流不同的豎式表征。教師讓學生先理解豎式的算理，再體驗豎式記錄的必要性，最后反思之前的表征方式，形成從“沒有過程”到“兩乘一加”，從“寫出0”到“省去0”的變化。

在教學反饋過程中，教師幫助學生進行經(jīng)驗和認知的自我修正，從而明確豎式需要體現(xiàn)計算的過程性，記錄的合理性、結構性。表征從差異走向規(guī)范的過程也是學生對“位值”漸漸清晰的過程。

（三）類比：打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結

學生經(jīng)歷前兩層的聯(lián)結后，教師以關聯(lián)和整體的視角，結合學生對算理理解的逐漸深入，來完成豎式的解構和建構，促進算理與算法的融合，奠定了對“位”與“值”理解的基礎。接下來，教師需要組織學生站在審視方法的角度，從多樣的方法中理解筆算作為通法的“位值”原理。

【教學片段3】

教師出示圖5的兩種方法，并提出學習任務。1.邊圈邊說。“這兩種方法能看懂嗎？”讓學生在點子圖上邊圈邊說。2.比較異同?！斑@兩種方法有沒有相同的地方？有沒有不同的地方？”3.其他方法?！巴ㄟ^這兩種方法的學習，你還能想到其他的方法嗎？”4.方法分類?！敖o所有的方法分分類，說說為什么這樣分?！?.方法普適?！敖鉀Q13×11，你會用什么方法？為什么？”

教師從學生眾多的方法中選擇兩個均為拆 14 的方法作為學習材料，讓學生在“圈”和“說”中明確算理，在“比”和“猜”中討論策略。引導學生發(fā)現(xiàn)，雖然方法看上去各不相同，但思考的策略都是轉(zhuǎn)化問題：一類利用乘法結合律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)；另一類先利用乘法分配律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)分別乘整十數(shù)和一位數(shù)，再相加。在方法分類和比較的過程中，教師著重引導學生發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十數(shù)時，計算的是（□□×□）個十，本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)，從而帶領學生從多樣化走向普適性。

（四）關聯(lián)：感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結

在經(jīng)歷了前三個層次的學習過程后，學生對算理算法和思考策略都有了一定的理解，此時教師讓學生試做31×11，引導學生體會不同的轉(zhuǎn)化策略有其適用性，筆算是解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通法，同時在對比中將通法的“位值”可視化，助推學生真正走向?qū)Α拔恢怠钡纳疃壤斫猓殉绦蚴降乃惴ǔ橄蟪煞€(wěn)固的模型，形成普適性的計算程序。

【教學片段4】

教師出示31×11后，讓學生自主試做。組織如下教學：1.用點子圖表示筆算。讓學生在點子圖上畫出筆算每一步的意思。2.反思方法?！霸趺创蠹叶加霉P算的方法？說說通過這道題你發(fā)現(xiàn)了什么?！?.建構模型。讓學生看著筆算31×11的計算過程，對“為什么第二層計算31×1個十，最高位在百位上”展開討論。

將位值原理和程序化規(guī)則以點子圖的方式可視化，能幫助學生聯(lián)通“位”與“值”，厘清本質(zhì)內(nèi)涵，促進基于意義理解的程序建模。

數(shù)的運算教學要以數(shù)的認識為基礎，突出計數(shù)單位的意義，無論整數(shù)乘法，還是小數(shù)、分數(shù)乘法，都具有一致性。教師需要整體設計，在學生學習過程中解構外在的形，建構內(nèi)在的理，由表及里地實施聯(lián)結教學。

參考文獻：

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