許貽亮

【摘? ?要】模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，要把模型思想真正落實(shí)，需要從數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界兩個(gè)角度入手講好“故事”。以“折線統(tǒng)計(jì)圖”為例，要通透地講好數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的“故事”，需做好三方面的工作，即“觀其形：調(diào)好‘音準(zhǔn)，發(fā)展模型意識(shí)；品其質(zhì)：彈好‘旋律，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)；悟其神：響好“回聲”，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)”。教師要以全程的眼光、全局的視野，在講好“故事”的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】模型思想；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，模型思想的上位表達(dá)是“數(shù)學(xué)語言”，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。模型思想教學(xué)是一個(gè)“綜合”的感悟過程，并不僅僅體現(xiàn)于“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，而應(yīng)考慮核心素養(yǎng)的整體性、一致性。在小學(xué)階段，與模型思想對(duì)應(yīng)的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為模型意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)全程、全局地給予關(guān)注與把握。史寧中教授提出“模型思想就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事”。因此要把模型思想真正落實(shí)，需要從數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界兩個(gè)角度入手講好“故事”。如果把模型思想教學(xué)比作一首交響樂曲的演奏，就需充分考量音準(zhǔn)、旋律、回聲。以“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)內(nèi)容為例，從折線統(tǒng)計(jì)圖的“形、質(zhì)、神”三個(gè)視角闡述模型思想教學(xué)。

一、觀其形：調(diào)好“故事”的音準(zhǔn)，發(fā)展模型意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有著大量的模型，包括各種用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式，以及各種圖表、圖形等?！皢栴}情境—建立模型—求解驗(yàn)證”是數(shù)學(xué)建模的主要過程，其中建構(gòu)模型是“核心”。而在建構(gòu)模型的過程中，需要關(guān)注原型的擷取與改造，以原型的特殊感受模型的一般，以原型的直觀把握模型的抽象，從而達(dá)成“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”。以“折線統(tǒng)計(jì)圖”為例，學(xué)生已經(jīng)從電視、手機(jī)、報(bào)刊、家長理財(cái)投資等信息中，獲取了一定的“前經(jīng)驗(yàn)”，這是教學(xué)素材的資源庫，我們可從中擷取適切的原型，為模型意識(shí)的建立定好基調(diào)。

在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，教師以運(yùn)動(dòng)腕表“一周的步數(shù)情況”（簡化版的折線統(tǒng)計(jì)圖，如圖1）導(dǎo)入。教師先讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、分析、交流，然后提問：“這幅圖告訴你怎樣的‘故事。”學(xué)生從整體上感知折線統(tǒng)計(jì)圖變化趨勢中的3個(gè)特征“升、平、降”，并直觀地判斷出哪天步數(shù)最多、哪天步數(shù)最少。教師再追問：“課件中沒有聲音，是誰告訴你這個(gè)‘故事的？”透過生活原型的直觀表象，學(xué)感悟到折線統(tǒng)計(jì)圖的兩個(gè)核心要素：點(diǎn)和線。由此，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)語言的簡潔美，為折線統(tǒng)計(jì)圖這一數(shù)學(xué)模型調(diào)好音準(zhǔn)。

在此基礎(chǔ)上，教師以現(xiàn)代科技產(chǎn)品為主線，串聯(lián)起心率腕表中簡化版心電圖像、智能音箱2015～2020年的銷售情況等，使折線統(tǒng)計(jì)圖的特征和數(shù)學(xué)語言表達(dá)的特點(diǎn)、要素等在同一主題情境中的變化得以聯(lián)系、深化。在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)兩個(gè)層次的“故事”講述。第一層次，用一個(gè)“點(diǎn)”講故事。如2017年銷售800臺(tái)，“點(diǎn)”在哪里？教師以“陌生情境”促使學(xué)生聯(lián)系原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中的“數(shù)對(duì)”與“條形統(tǒng)計(jì)圖”，關(guān)注折線統(tǒng)計(jì)圖中的橫軸與豎軸兩個(gè)維度，找到橫軸“年份上的2017”與豎軸“數(shù)量上的800”的交點(diǎn)，從而完成第一次用“點(diǎn)”的數(shù)學(xué)表達(dá)，再舉一反三，如2015年銷售300臺(tái)，體會(huì)“點(diǎn)”的價(jià)值，即表達(dá)數(shù)量的多少。第二層次，用一條“線”講故事。在表達(dá)“2016年比2015年有一定的提高”時(shí)，學(xué)生在3條上升趨勢不同、長短不同的線段中做具體選擇，感受同一種線段包含著豐富的數(shù)學(xué)語言內(nèi)涵（銷量只上升了一點(diǎn)點(diǎn)、銷量有一定地上升、銷量大大地上升）。在遷移到其他年份銷售量的表達(dá)的過程中，學(xué)生感悟到不同年份間線段越長、坡度越大則表示變化趨勢越明顯，體會(huì)到“線”的價(jià)值，即表達(dá)變化的趨勢。最后，學(xué)生在與統(tǒng)計(jì)表的對(duì)比和轉(zhuǎn)化中，完成折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制，并梳理出繪制要點(diǎn)：描點(diǎn)、標(biāo)數(shù)、連線，從而實(shí)現(xiàn)折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)學(xué)模型的整體建構(gòu)。

建立模型意識(shí)常有兩種不同的路徑，一是從現(xiàn)實(shí)問題或生活原型入手，二是從原有知識(shí)遷移入手，教師可以依據(jù)教學(xué)目標(biāo)靈活選擇。同時(shí)，要把握好它與抽象、推理的關(guān)系，要認(rèn)識(shí)到感悟過程中的“思想基礎(chǔ)是抽象與推理”，在建構(gòu)模型的經(jīng)歷中“有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋”，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

二、品其質(zhì)：彈好“故事”的旋律，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)

在“描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式”中，數(shù)據(jù)占有重要的地位。數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生“能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，會(huì)用數(shù)學(xué)的分析結(jié)果解釋和預(yù)測不確定現(xiàn)象，形成合理的判斷或決策”。因此在模型思想的教學(xué)中，要始終關(guān)注數(shù)據(jù)意識(shí)的感悟，使學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)有更為理性的認(rèn)識(shí)，能夠理解確定數(shù)據(jù)背景下隨機(jī)結(jié)果的合理性與或然性。以折線統(tǒng)計(jì)圖為例，教師在帶領(lǐng)學(xué)生收集、整理、分析數(shù)據(jù)后，要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢如何進(jìn)行判斷與預(yù)測，使他們做出合理的決策。

在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，教師讓學(xué)生扮演“投資人”的角色，以“投不投”為核心問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)智能音箱專賣店2015～2018年的銷售情況進(jìn)行數(shù)據(jù)分析并做出自己的判斷，使學(xué)生作為主角“投資人”參與“故事”中，進(jìn)一步豐富對(duì)數(shù)據(jù)的感悟（如圖2）。

投資故事1：2019年投不投？多數(shù)學(xué)生受到2015～2018年都是呈上升趨勢的影響，選擇“投”，體現(xiàn)了對(duì)變化趨勢整體性的心理認(rèn)知趨同。也有部分學(xué)生從2017～2018年銷量大幅度上升的數(shù)據(jù)變化中產(chǎn)生顧慮“上升太快，還會(huì)再上升嗎”，采取謹(jǐn)慎的態(tài)度“不投”。此時(shí)，學(xué)生所做出的判斷多是憑借生活經(jīng)驗(yàn)，更像是一種對(duì)數(shù)據(jù)的直覺。教師在課件中出示2019年實(shí)際銷售量為1800臺(tái)，由實(shí)際銷量對(duì)學(xué)生做出的數(shù)據(jù)判斷進(jìn)行回應(yīng)，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)變化的感悟，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生做“有眼光的投資人”。

投資故事2：2020年投不投？這時(shí)，有了“投資故事1”的經(jīng)歷，更多學(xué)生從“對(duì)數(shù)據(jù)的直覺”轉(zhuǎn)向“對(duì)數(shù)據(jù)的分析”，投資判斷傾向于“用數(shù)據(jù)說話”。如2018～2019年只增長200臺(tái)，比2017～2018年增長的800臺(tái)少太多了，不投；增長的速度變慢，有可能市場快要飽和了，不投。在課件出示2020年實(shí)際銷售量只有1300臺(tái)時(shí)，讓學(xué)生思考“銷量大幅度下降的原因”“2020年有什么故事”等問題。學(xué)生從“對(duì)數(shù)據(jù)的具體數(shù)值”到“對(duì)數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)背景”思考，理解了2020年疫情對(duì)智能音箱專賣店銷量的影響，感悟到生活事件中蘊(yùn)含的隨機(jī)性，增強(qiáng)了數(shù)據(jù)判斷的理性因子。面對(duì)2019年的“升”和2020年的“降”，那么“2021年投不投”。學(xué)生從“今天”展望“未來”，再次進(jìn)行獨(dú)立思考、交流表達(dá)，使判斷與決策更有數(shù)學(xué)味。

對(duì)于數(shù)據(jù)的判斷與決策，我們應(yīng)堅(jiān)持“合理”的原則，即不要求答案的統(tǒng)一或唯一，而要關(guān)注學(xué)生做出判斷與決策時(shí)理由的合理性，言之有理、言之有據(jù)都是可以的。正如陳希孺教授所強(qiáng)調(diào)的：“統(tǒng)計(jì)沒有對(duì)錯(cuò)之分，只有好壞之分?！敝挥袌?jiān)持“合理”的原則，彈好數(shù)據(jù)意識(shí)感悟的主旋律，才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析與判斷具有敏感性。教學(xué)中，有意識(shí)地把對(duì)統(tǒng)計(jì)思想與隨機(jī)思想的感悟融合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)決策力和學(xué)習(xí)自信心，可以為感悟模型思想積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、悟其神：響好“故事”的回聲，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

史寧中教授指出，“模型思想的本質(zhì)是站在現(xiàn)實(shí)的立場上”“用現(xiàn)實(shí)的效果評(píng)價(jià)模型的功效”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。因此，要讓學(xué)生體會(huì)模型思想的價(jià)值，應(yīng)始終關(guān)注應(yīng)用意識(shí)的感悟與發(fā)展，讓“數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界”，從一種情境到一類情境，從一個(gè)問題到一類問題，使模型思想不僅浸潤于課堂學(xué)習(xí)，更“回聲”于遷移應(yīng)用及未來的學(xué)習(xí)。以“折線統(tǒng)計(jì)圖”為例，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力、判斷與決策能力，還要培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行交流與表達(dá)的意識(shí)和能力，從而把數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活融合起來建立“共鳴場”，實(shí)現(xiàn)“有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題”。

在“折線統(tǒng)計(jì)圖”教學(xué)中，筆者在學(xué)生建立折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)學(xué)模型后，組織了兩次“故事”的應(yīng)用交流，使外化于形的折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)一步內(nèi)化于心。

應(yīng)用故事1：判斷，能否用折線統(tǒng)計(jì)圖講下面的“故事”。這其中包括兩種不同的現(xiàn)實(shí)生活，一種是小東一學(xué)期單元小測情況，二是“五一節(jié)”景區(qū)游客人數(shù)情況。為更深入地感悟折線統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)學(xué)語言特征（升、平、降），講述第一個(gè)故事時(shí)采用“變式”要求，即要求學(xué)生不畫圖、不說話，在規(guī)避常規(guī)折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)學(xué)語言表達(dá)的同時(shí)，促使學(xué)生用“具有升、平、降的肢體動(dòng)作語言”來表達(dá)數(shù)據(jù)信息，更直觀形象地“畫”出小東單元小測的變化情況，使學(xué)生在靈活表達(dá)中達(dá)成對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖模型的深刻理解。講述第二個(gè)故事時(shí)，則直接給出兩位學(xué)生關(guān)于2021年“五一節(jié)”清源山景區(qū)每日游客人數(shù)預(yù)測的折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖3、圖4），讓學(xué)生思考哪一幅圖所講的“故事”更合理。在不同意見的表達(dá)中，學(xué)生產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的眼光“理論聯(lián)系實(shí)際”的興趣，懂得把聯(lián)系生活現(xiàn)實(shí)作為判斷依據(jù)。如5月6日不屬于放假時(shí)間，家長要上班，學(xué)生要上課，游客人數(shù)應(yīng)該變少，所以小明的預(yù)測更合理。通過兩個(gè)不同情境類型的故事交流，讓學(xué)生感受折線統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)用的廣泛性。

應(yīng)用故事2：表達(dá)，如果這是有關(guān)你或家人的折線統(tǒng)計(jì)圖，你希望它是一個(gè)怎樣的“故事”（如圖5）。學(xué)生從之前猜測他人的生活現(xiàn)實(shí)到關(guān)注自身的生活現(xiàn)實(shí)或生活期待，如希望父母工資收入越來越多、自己高興的事越來越多，或家里的水電費(fèi)越來越少、每天的作業(yè)越來越少等。學(xué)生感受到同一幅折線統(tǒng)計(jì)圖雖然表達(dá)的內(nèi)容并不相同，但可以表達(dá)一類同樣趨勢的事件，并在“哪一幅圖更好”的追問中，感悟“都好，要看具體情況”，發(fā)展了分析、判斷的理性精神。

數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，不僅體現(xiàn)為課堂上的知識(shí)遷移，用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題，還體現(xiàn)為將不同的形式運(yùn)用于其他學(xué)科的綜合學(xué)習(xí)中。

小學(xué)階段模型思想的教學(xué)需有全程的眼光、全局的視野。模型思想要始終貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域、各個(gè)內(nèi)容。教師要使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感悟模型意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，積累相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而使模型思想切實(shí)脫離“附屬品一樣永遠(yuǎn)停留在滲透層面”的困境，以師之“昭”達(dá)生之“明”，在講好“故事”的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

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（福建省晉江市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?362200）