張偉俊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)?！币簿褪钦f，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授知識(shí)，更要啟迪智慧、發(fā)展素養(yǎng)、滋潤生命。智慧數(shù)學(xué)，源于智慧教育，主張以教師智慧的教促進(jìn)學(xué)生智慧的學(xué)，以數(shù)學(xué)的智慧發(fā)展學(xué)生的智慧，從而實(shí)現(xiàn)“化知識(shí)為智慧，積智慧為素養(yǎng)”的育人目標(biāo)；在課程目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容上，強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，著力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、思維能力和創(chuàng)新精神，以發(fā)展學(xué)生的智慧，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)；在教學(xué)過程與教學(xué)方法上，強(qiáng)調(diào)構(gòu)建充滿靈性和思維活力的課堂，以智慧的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生智慧的發(fā)展。具體來說，主要體現(xiàn)在以下五個(gè)方面。

一、聚焦核心素養(yǎng)，突出學(xué)科育人

近年來，從“雙基”到“三維目標(biāo)”再到“核心素養(yǎng)”的課程目標(biāo)變革，反映的是從“教材”到“學(xué)科”再到“育人”的課程觀念的轉(zhuǎn)型。智慧數(shù)學(xué)，針對(duì)數(shù)學(xué)教育過程中過分注重知識(shí)傳授和技能訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)“化知識(shí)為智慧，積智慧為素養(yǎng)”，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)從“知識(shí)本位”走向“素養(yǎng)本位”。智慧數(shù)學(xué)教學(xué)就是以人的智慧發(fā)展為目的，以數(shù)學(xué)知識(shí)教育為抓手，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中將客觀的、靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為個(gè)體自身主觀的、個(gè)性化的智慧，從而在長期的智慧浸潤和積淀中逐步形成核心素養(yǎng)。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)就是導(dǎo)向?qū)W科育人的實(shí)踐探索，努力從培養(yǎng)“知識(shí)人”走向培養(yǎng)“智慧人”。所謂智慧人，其內(nèi)在體現(xiàn)為“求真、求善、求美”的至高境界，外在表現(xiàn)為運(yùn)用知識(shí)靈活處理問題的能力。因此，智慧數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)習(xí)可見，讓思維發(fā)生，讓文化浸潤。

例如，“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)理念和思路。

勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”“千古第一定理”。它的教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生掌握勾股定理的結(jié)論，更重要的是在探究勾股定理的過程中，彰顯勾股定理的數(shù)學(xué)教育價(jià)值和思想教育價(jià)值。

首先，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突和探究興趣，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般展開探究，讓學(xué)生在自主探究、合作交流、自覺反思的過程中，收獲勾股定理的結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)探究的思路和方法，發(fā)展嘗試探究的精神；其次，在探究過程中，要堅(jiān)持“學(xué)生先試，教師后導(dǎo)”“學(xué)生先學(xué)，教師后教”的原則，突出學(xué)生主體地位，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，在做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中，體會(huì)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；再次，要引導(dǎo)學(xué)生探尋勾股定理的歷史背景和文化貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和愛國情感，發(fā)展學(xué)生的國際視野和人文情懷。

這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，學(xué)科育人價(jià)值也就得到了充分彰顯。

二、聚焦單元教學(xué)，突出整體設(shè)計(jì)

智慧數(shù)學(xué)教學(xué)，倡導(dǎo)從聚焦知識(shí)點(diǎn)的“課時(shí)教學(xué)”轉(zhuǎn)向?qū)雍诵乃仞B(yǎng)的“單元教學(xué)”，就是以整體教學(xué)觀為指導(dǎo)，以教材的自然單元為基礎(chǔ)，對(duì)教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)與方式、教學(xué)過程與評(píng)價(jià)等，進(jìn)行系統(tǒng)規(guī)劃、整體設(shè)計(jì)和有序?qū)嵤?shí)現(xiàn)“整體大于局部之和”的教學(xué)效果。在當(dāng)前分課時(shí)教學(xué)的背景下，要實(shí)現(xiàn)整體設(shè)計(jì)的效果，必須妥善處理好整體設(shè)計(jì)與分課時(shí)實(shí)施之間的關(guān)系。為此，智慧數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“整體→局部→整體”的認(rèn)知規(guī)律，形成了“總→分→總”式的單元教學(xué)實(shí)施路徑，構(gòu)建了單元起始課、自主學(xué)習(xí)課、單元總結(jié)課和綜合實(shí)踐課等四種課型。首先，教師從整體入手，上好單元起始課，以結(jié)構(gòu)化的視角幫助學(xué)生形成對(duì)整個(gè)單元的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；其次，教師對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，讓學(xué)生分課時(shí)對(duì)重難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，達(dá)到“分而治之，各個(gè)擊破”的效果；最后，再回到整體，教師上好單元總結(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)提煉，形成更高層次的結(jié)構(gòu)體系，并在此基礎(chǔ)上開展相應(yīng)的綜合實(shí)踐，引領(lǐng)學(xué)生遷移運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題或者進(jìn)行拓展性探究。

例如，“勾股定理”的單元教學(xué)安排。

蘇科版數(shù)學(xué)八（上）第3章“勾股定理”，共6課時(shí)。為了避免“備一課，上一課”帶來的知識(shí)割裂感，讓學(xué)生“既見樹木，又見森林”，筆者對(duì)“勾股定理”的單元教學(xué)路徑進(jìn)行了整體規(guī)劃，如表1。

以上設(shè)計(jì)，首先，從整體入手，幫助學(xué)生構(gòu)建對(duì)于本章“學(xué)什么，為什么學(xué)，怎樣學(xué)”等問題的整體認(rèn)知；然后，再到部分，對(duì)勾股定理、勾股定理逆定理及其簡單應(yīng)用，分課時(shí)展開自主學(xué)習(xí)和探究；最后，回到整體，進(jìn)行總結(jié)梳理，形成體系，開展相關(guān)綜合應(yīng)用。這樣的單元整體設(shè)計(jì)，既能使學(xué)生心里有方向，手里有方法，也能使知識(shí)連成“線”，聚成“塊”，便于學(xué)生形成更牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、聚焦真實(shí)情境，突出問題解決

問題是思維的起點(diǎn)，高質(zhì)量的問題是高品質(zhì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)器。智慧數(shù)學(xué)教學(xué)，倡導(dǎo)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，以問題為紐帶組織教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題→提出問題→分析問題→解決問題”的全過程，并以“問題+追問”“問題+變式”“問題+拓展”等形式促進(jìn)學(xué)生思考，錘煉學(xué)生的思維。這是發(fā)展學(xué)生智慧的關(guān)鍵所在，尤其是要在這樣的過程中發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新精神，錘煉學(xué)生的問題解決能力。

例如，勾股定理的探究教學(xué)。

問題1：在三角形中，已知兩個(gè)角的大小可以求出第三個(gè)角的大小，那么已知兩條邊的長度可以求出第三條邊的長度嗎？比如：在△ABC中，AC=3，BC=4，你能求出AB的長嗎？

追問：你覺得添加一個(gè)什么條件，AB的長就確定了？如果添加∠C=90°，AB的長確定嗎？你會(huì)求嗎？AB的長是確定的，但是不會(huì)求，怎么辦呢？

問題2：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常以“網(wǎng)格”為載體開展數(shù)學(xué)探究，如果將這個(gè)直角三角形畫到網(wǎng)格紙中，你能求AB的長嗎？

追問：如果AB的長不能直接求，能轉(zhuǎn)化成求其他量嗎？

問題3：如果沒有網(wǎng)格背景，我們還能解決類似的問題嗎？比如：在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，你能求出AB的長嗎？

變式：如果在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，你能求出AB的長嗎？

總結(jié)：由此你能得到什么結(jié)論？

以上探究過程，以問題為紐帶，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的探究過程。首先，基于學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，在師生對(duì)話中引導(dǎo)學(xué)生逐步聚焦問題“在直角三角形中，已知兩直角邊，如何求斜邊”；其次，創(chuàng)設(shè)“可求”又“不會(huì)求”的認(rèn)知沖突，啟發(fā)學(xué)生引入網(wǎng)格背景，將求直角三角形斜邊長的問題轉(zhuǎn)化為求以直角三角形斜邊長為邊長的正方形的面積問題，并組織學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中，用“割補(bǔ)法求面積”實(shí)現(xiàn)問題的解決；再次，從“有網(wǎng)格背景”到“無網(wǎng)格背景”，啟發(fā)學(xué)生遷移運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的通法，解決了沒有網(wǎng)格背景下“已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊”的問題，繼而將問題推向一般情形，順利探究出“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的結(jié)論。在這樣的探究過程中，學(xué)生全身心地投入，從特殊走向一般，收獲的不僅僅是勾股定理的結(jié)論，更重要的是經(jīng)歷了探究過程，學(xué)會(huì)了探究方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，收獲了成功的喜悅。這積淀下來的便是數(shù)學(xué)智慧和核心素養(yǎng)。

四、聚焦學(xué)科實(shí)踐，突出學(xué)習(xí)過程

從“坐而論道”轉(zhuǎn)向“學(xué)科實(shí)踐”是育人方式變革的必然要求。智慧數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)以學(xué)科實(shí)踐撬動(dòng)“坐而論道式”的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生在親身經(jīng)歷中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，真正將認(rèn)知與行動(dòng)、理論與實(shí)踐、數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活有機(jī)結(jié)合起來。學(xué)科實(shí)踐作為一種新的學(xué)習(xí)方式，指向的是學(xué)科探究、學(xué)科活動(dòng)、具身學(xué)習(xí)、做中學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生能像學(xué)科專家一樣在真實(shí)的問題情境中實(shí)踐、探索和思考。同時(shí)，它還強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方式與學(xué)科特質(zhì)深度融合，也就是說，這樣的實(shí)踐活動(dòng)必須有獨(dú)特的“學(xué)科性”和濃厚的“學(xué)科味”。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐就是要引導(dǎo)學(xué)生基于真實(shí)的情境、問題、任務(wù)、項(xiàng)目進(jìn)行學(xué)習(xí)，突出學(xué)習(xí)過程，引領(lǐng)學(xué)生真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

上文勾股定理的探究教學(xué)就是一個(gè)學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)。學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口中學(xué)習(xí)，收獲的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是像一個(gè)數(shù)學(xué)專家一樣在研究，研究的思路、研究的方法都將是一生受用的，這正是指向數(shù)學(xué)智慧和核心素養(yǎng)的教學(xué)。數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”與數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐，既有聯(lián)系，也有區(qū)別。數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐更側(cè)重單學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)，但它們都指向“實(shí)踐”和“活動(dòng)”，是培育數(shù)學(xué)智慧和核心素養(yǎng)的重要抓手。

例如，教師帶領(lǐng)學(xué)生了解勾股定理的前世今生。

問題：勾股定理是人類的寶貴財(cái)富，勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為數(shù)學(xué)史上的里程碑。你了解古代數(shù)學(xué)家在這方面的貢獻(xiàn)嗎？我們可以從以下三個(gè)方面（或其中的某一方面）展開研究，并將研究成果整理成文。

1.四大文明古國對(duì)勾股定理有何記載？對(duì)我們有何啟示？

2.勾股定理有哪些不同的證法？你最喜歡哪一種？這些證法有何共同之處？

3.運(yùn)用勾股定理可以解決哪些問題？你有何心得？

以上設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生自主參與、全程參與探究過程，一方面能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)學(xué)生循著古代數(shù)學(xué)家的足跡繼續(xù)開啟勾股定理探索之路；另一方面滲透了對(duì)學(xué)生的思想教育，讓學(xué)生為我國古人的聰明才智而自豪，民族自豪感和愛國情感油然而生。同時(shí)，還能引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)“勾股定理是人類的共同財(cái)富”，發(fā)展學(xué)生的國際視野和人文情懷。

五、聚焦反思感悟，突出意義建構(gòu)

悟，是學(xué)習(xí)的至高境界。有的是理性的領(lǐng)悟，有的是瞬間的頓悟，但真正的感悟都來自親身經(jīng)歷與切身體驗(yàn)。正所謂“實(shí)踐出真知”，這也是強(qiáng)調(diào)學(xué)科實(shí)踐的原因所在。智慧數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)留足學(xué)生反思感悟的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生透過具體的事例感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，努力在學(xué)習(xí)的過程中尋找規(guī)律，把握規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律。這樣的反思感悟，可以是在一個(gè)活動(dòng)之后的“真知灼見”，可以是一節(jié)課后的“總結(jié)提煉”，也可以是一個(gè)單元之后的“認(rèn)知重構(gòu)”，但目標(biāo)是一致的，就是引領(lǐng)學(xué)生從感性走向理性，從現(xiàn)象走向本質(zhì)，從膚淺走向深刻，從零散走向整體。當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，除了需要學(xué)生有豐富的現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)，也需要教師的專業(yè)引領(lǐng)，給予學(xué)生必要的方法指導(dǎo)和過程支持。同時(shí)，教師還要通過及時(shí)追問的方式，啟迪學(xué)生思考為什么是這樣的，是怎么想到的，引領(lǐng)學(xué)生在思考中解決問題，在解決問題中不斷積累策略和方法。

比如，在上述案例中，教師指導(dǎo)學(xué)生先探索網(wǎng)格背景中直角三角形問題，然后去掉網(wǎng)格背景進(jìn)行探究，最后探究一般的直角三角形的三邊關(guān)系?；顒?dòng)結(jié)束后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思、感悟探究活動(dòng)的心得體會(huì)，讓學(xué)生充分感受到從特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等研究問題的思路和方法。學(xué)生在這樣的過程中，不僅獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，還能體悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣的學(xué)習(xí)才是有意義的學(xué)習(xí)。

總之，“智慧數(shù)學(xué)”是一種教學(xué)主張，旨在通過對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和教學(xué)方式的協(xié)同變革，實(shí)現(xiàn)“化知識(shí)為智慧，積智慧為素養(yǎng)”的育人目標(biāo)。當(dāng)然，這是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要一個(gè)漫長的過程，但是我們相信，“智慧數(shù)學(xué)”理念的落地生根，必將進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)教育改革，促進(jìn)學(xué)生智慧發(fā)展。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

本文系江蘇省常州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題《系統(tǒng)構(gòu)建初中智慧數(shù)學(xué)的實(shí)踐研究》階段性研究成果。