蔣飛

一、教學(xué)目標(biāo)

通過實(shí)例歸納出研究函數(shù)的一般方法，運(yùn)用總結(jié)的方法探究新函數(shù)的圖像和性質(zhì)；經(jīng)歷對(duì)新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究過程，掌握探究新函數(shù)圖像和性質(zhì)的一般方法；通過對(duì)新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究，體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法的一致性和可遷移性，發(fā)展學(xué)生思維，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

歸納總結(jié)研究新函數(shù)圖像和性質(zhì)的方法；感悟探究新函數(shù)圖像的一般方法。

三、教學(xué)流程

1.先行體驗(yàn)，方法提煉。

例1 畫出下列三個(gè)函數(shù)的圖像，并盡可能多地寫出它的性質(zhì)：①y=x+1，②y=[4x]，③y=（x+1）2+1。歸納并總結(jié)研究函數(shù)的一般思路與方法。

師：同學(xué)們，你們是如何快速地畫出這些函數(shù)圖像的呢？

生1：通過列表、描點(diǎn)、連線。

師：那么我們又是根據(jù)什么來畫出函數(shù)圖像的呢？

生2：根據(jù)函數(shù)表達(dá)式。

師：的確如此。事實(shí)上，我們需要根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，通過列表、描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)的圖像，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)。我們又是從哪幾方面來描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的呢？

生3：我們通過增減性、最值來描述函數(shù)圖像與性質(zhì)。

生4：還有與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

生5：我覺得對(duì)稱性以及它們?cè)谀膸讉€(gè)象限也可以用來描述函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

師：同學(xué)們回答得都非常好。但是還有一點(diǎn)值得同學(xué)們關(guān)注，請(qǐng)同學(xué)們觀察y=[4x]的圖像，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的圖像并不是連續(xù)的。這是因?yàn)樽宰兞縳的取值范圍是x≠0，導(dǎo)致它的圖像被分成了兩條曲線，故我們稱之為“雙曲線”，所以圖像的連續(xù)性與間斷情況也是描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的一個(gè)方面。

2.簡(jiǎn)單應(yīng)用，感悟內(nèi)化。

（1）提出新問題，引入課題。

師：同學(xué)們，根據(jù)剛才的討論我們知道，研究函數(shù)的方法是有規(guī)律可循的，描述函數(shù)的性質(zhì)也是有基本思路的。那么對(duì)于函數(shù)y=[4/x+1]，你還能快速地畫出它的圖像，描述它的性質(zhì)嗎？

生6：我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線畫出圖像，然后再讀取其性質(zhì)。

師：你知道它圖像的“長(zhǎng)相”嗎？如果不確定“長(zhǎng)相”的話，怎么能用有限個(gè)點(diǎn)畫出它的圖像呢？

生6：因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)和我們先前學(xué)的都不一樣，所以它的圖像長(zhǎng)什么樣我們并不清楚。

師：的確如此，當(dāng)我們已有的知識(shí)儲(chǔ)備不能解決此問題時(shí)，我們就要尋求新的辦法來解決。

（2）例題示范，感悟方法。

師：同學(xué)們，我們根據(jù)之前總結(jié)描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的幾個(gè)角度，分析函數(shù)y=[4x+1]圖像的一些性質(zhì)。請(qǐng)問該圖像的連續(xù)性和間斷性如何？

生7：因?yàn)樽宰兞縳≠-1，所以函數(shù)圖像不與直線x=-1相交，即位于直線x=-1的兩側(cè)，故圖像是不連續(xù)的。

師：該函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)如何？

生8：當(dāng)x=0時(shí)，y=4，所以它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；而y≠0，所以它與x軸沒有交點(diǎn)。

師：該函數(shù)圖像的位置分布情況如何？

生9：當(dāng)x＞-1時(shí)，y＞0，此時(shí)函數(shù)圖像在x軸上方；當(dāng)x＜-1時(shí)，y＜0，此時(shí)函數(shù)圖像在x軸下方。

師：該函數(shù)的最值情況如何？

生10：該函數(shù)既沒有最大值也沒有最小值。

師：該函數(shù)的增減情況如何？

生11：y隨x的增大而減小。

師：從左到右一直是這樣嗎？

生11：噢，要分兩段看。當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞-1時(shí)，y也隨x的增大而減小。

師：同學(xué)們，剛才我們從數(shù)的角度對(duì)函數(shù)y=[4x+1]的圖像與性質(zhì)作出了合情分析，為了更精準(zhǔn)地描述函數(shù)圖像與性質(zhì)，下面，請(qǐng)同學(xué)們嘗試畫出該函數(shù)圖像。

［同學(xué)們根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線，再結(jié)合剛才的分析畫出圖像（圖略）。完成后，教師投影正確的函數(shù)圖像并讓學(xué)生相互交流，說一說該函數(shù)還有哪些性質(zhì)。］

師：請(qǐng)你再畫出y=[4x]的圖像，看看這兩個(gè)圖像有什么位置關(guān)系？

生12：將y=[4x]的圖像向左平移1個(gè)單位，即是y=[4x+1]的圖像。

師：那你能說說y=[4x+1]+2的圖像是由y=[4x]怎樣平移得到的嗎？

生12：是由y=[4x]的圖像先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的。

師：非常好！同學(xué)們，通過這個(gè)例題的分析，你有哪些收獲？

生13：對(duì)于一個(gè)新的函數(shù)，我們不能一上來就通過列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖像，因?yàn)楫嫵鰜淼膱D像往往不準(zhǔn)確，不能正確地描述其函數(shù)性質(zhì)。

生14：我們要掌握研究函數(shù)的一般方法，先根據(jù)新的函數(shù)表達(dá)式從幾個(gè)方面分析函數(shù)性質(zhì)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行準(zhǔn)確畫圖，最后再精準(zhǔn)地描述其性質(zhì)。

師：請(qǐng)同學(xué)們按剛才總結(jié)的方法，繼續(xù)分析y=[4（x+1）2+1]圖像的一些性質(zhì)，并嘗試畫出其圖像。

［學(xué)生獨(dú)立思考2～3分鐘后，再小組討論，根據(jù)例題的討論方式，逐步得到該函數(shù)的圖像（圖略）。］

3.知識(shí)升華，遷移應(yīng)用。

師：同學(xué)們基本掌握了研究新函數(shù)的方法。下面，我們一起來解決例2。

例2 為了探究函數(shù)y=[x+3x-1]的圖像與性質(zhì)，小李根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=[x+3x-1]的圖像與性質(zhì)進(jìn)行研究。下面是小李探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）函數(shù)y=[x+3x-1]的自變量x的取值范圍是 ? ? ? ? ? ? ? ；

（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：

[x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … 0 m -1 -3 5 3 [73] 2 … ]

則m的值為 ? ? ? ? ? ? ? ；

（3）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)描出的點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)的圖像；

（4）觀察圖像，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：

；

（5）若函數(shù)y=x的圖像在函數(shù)y=[x+3x-1]的圖像上方，直接寫出x的取值范圍 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

學(xué)生獨(dú)立完成后，小組交流，學(xué)生代表上臺(tái)展示講解答案，形成共識(shí)。

師：同學(xué)們，如果這個(gè)函數(shù)的圖像可以看作是由某個(gè)函數(shù)圖像平移得到的，那么它是由哪個(gè)函數(shù)圖像經(jīng)過什么樣的圖形變換得到的呢？

生15：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)的圖像是雙曲線，對(duì)稱中心是（1，1），那么我把它和我們學(xué)過的反比例函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，然后觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)它是由函數(shù)y=[4x]的圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的。

師（追問）：的確是這樣的。我們可以用類比反比例函數(shù)圖像的方法，觀察圖像得出答案。那么你還有其他方法嗎？

生16：我把該函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形，可以化為y=[4x-1]+1，然后從數(shù)的角度得出它是由y=[4x]圖像先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的。

師：非常好！同學(xué)們不僅會(huì)由圖像觀察得出圖形變換的過程，還能從數(shù)的角度，根據(jù)對(duì)函數(shù)表達(dá)式的分析進(jìn)行歸納總結(jié)，得出變換過程。

4.課堂總結(jié)，交流體會(huì)。

師：同學(xué)們，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

生17：我知道了可以從以下幾個(gè)方面研究新函數(shù)的圖像與性質(zhì)：圖像的連續(xù)性、分布情況、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、最值情況、增減性、對(duì)稱性等。

生18：我還學(xué)到了面對(duì)新的問題、新的背景，我們可以從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用類比、知識(shí)遷移等方法解決新的問題。

師：同學(xué)們講得非常好。今天這節(jié)課我們一起探究了新函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并掌握了其研究的基本規(guī)律和一般方法，相信大家都有所感悟。同學(xué)們，知識(shí)是相互聯(lián)系的，又是相互作用的，而研究問題的方法是有規(guī)律可循的。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，積極思考，把握問題的研究規(guī)律，以促成智慧生長(zhǎng)。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容后的一節(jié)總結(jié)拓展課。探究新函數(shù)的圖像和性質(zhì)對(duì)初中學(xué)生來說頗具難度，教師需要以智慧的教促進(jìn)學(xué)生智慧的學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行總結(jié)提煉，形成更高層次的結(jié)構(gòu)體系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1.聚焦函數(shù)本質(zhì)，提升教學(xué)智慧。

初中教材內(nèi)容的安排往往以章為單元，但有些章與章之間研究?jī)?nèi)容及路徑是相通的，是一種螺旋式上升。如函數(shù)分別研究了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等。進(jìn)入九年級(jí)復(fù)習(xí)時(shí)，教師對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行有效整合，聚焦函數(shù)本質(zhì)，不僅能幫助學(xué)生提高復(fù)習(xí)效率，更主要的是能夠使學(xué)生以聯(lián)系、共性的思維來思考，讓學(xué)生從中總結(jié)出一般規(guī)律，積累經(jīng)驗(yàn)并解決新的函數(shù)問題，進(jìn)一步升華相關(guān)思想，這就是智慧教學(xué)生長(zhǎng)的過程。有了這樣的探究經(jīng)歷后，學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)新的函數(shù)，就會(huì)得心應(yīng)手，自然就有一種水到渠成的感覺。

2.問題驅(qū)動(dòng)探究，發(fā)展學(xué)生智慧。

問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)由數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授提出，從問題出發(fā)，為解決問題或者發(fā)展問題結(jié)論而不斷設(shè)計(jì)新問題，在一系列問題鏈的解決過程中逐步加深對(duì)原始問題的理解，從而發(fā)展學(xué)生智慧。本節(jié)課上，筆者從如何探究所給的新函數(shù)引入課題，基于學(xué)生的困難點(diǎn)，圍繞研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的幾個(gè)方面設(shè)置了多個(gè)問題串，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，以問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生智慧。通過實(shí)踐，筆者認(rèn)為基于問題驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)，易于發(fā)展學(xué)生智慧，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

3.把握知識(shí)建構(gòu)，促進(jìn)智慧生長(zhǎng)。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚將讀書的過程歸納為“由薄到厚”與“由厚到薄”兩個(gè)階段，初中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)過程亦是如此。如果將初中教材中三大函數(shù)的內(nèi)容看成是“由薄到厚”階段，則本節(jié)課新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究可看成是“由厚到薄”階段。將原來彼此分散、彼此分割開來的知識(shí)聯(lián)系成一個(gè)統(tǒng)一的整體，即學(xué)生在對(duì)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化的基礎(chǔ)上，通過順應(yīng)和同化，構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的第二次整體建構(gòu)。這一過程不僅僅是知識(shí)層面的整理及建構(gòu)，更主要是能從整體把握處理問題的多種視角和方法，真正促進(jìn)了教與學(xué)的智慧生長(zhǎng)，指向?qū)W生核心素養(yǎng)的培育。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）