吳加健

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)八（上）“一次函數(shù)”的小結(jié)與思考課，其主要內(nèi)容是通過具體問題回顧本章所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步感受變量之間的函數(shù)關(guān)系，知道函數(shù)、方程、不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

一、教學(xué)目標(biāo)

通過自主梳理本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，能夠綜合應(yīng)用本章知識(shí)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題;通過知識(shí)的系統(tǒng)整理，明晰研究函數(shù)的基本路徑;通過問題解決，感知一次函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用以及它與一次方程（組）、一次不等式的關(guān)系;通過單元整體建構(gòu)，進(jìn)一步體會(huì)方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，培育抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)實(shí)錄

活動(dòng)一：整體梳理，展示預(yù)學(xué)。

師：我們知道函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課，老師和大家一起進(jìn)行“一次函數(shù)”的小結(jié)與思考。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行組內(nèi)討論，并梳理和總結(jié)，然后和大家分享。

生1：在一個(gè)變化過程中，變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x就叫作自變量，y叫作因變量。

師：這個(gè)是函數(shù)的概念。

生1：函數(shù)有三種表示方法：列表法、圖像法、解析法。

師：很好！那如何畫函數(shù)圖像？

生2：先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

生3：我梳理的還有一次函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)、應(yīng)用。

師：那什么樣的函數(shù)叫作一次函數(shù)？

生3：形如y=kx+b。

師：x和y是變量，其中k和b都是？

生3：k和b都是常量且k不等于0。

師：一次函數(shù)有什么特例??？

生3：有正比例函數(shù)。

師：什么樣的函數(shù)叫作正比例函數(shù)？

生3：y=kx，也就是常數(shù)b為0的特殊情形。

師：那一次函數(shù)的圖像是？

生4：一條直線。

師：那么如何來畫這個(gè)圖像呢？

生4：只需確定兩個(gè)點(diǎn)。

師：函數(shù)中的k決定什么？

生5：k決定增減趨勢(shì)。

師：我們不妨把經(jīng)過第一、三象限的圖像的走向看成上升，把經(jīng)過第二、四象限的圖像的走向看成是下降。b呢？

生5：b的確定和y軸的交點(diǎn)位置相關(guān)。

生6：我們還學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與方程、一次函數(shù)和不等式的關(guān)系。

師：一次函數(shù)、一次方程、一次不等式，當(dāng)然后面還有二次、更高次的方程與不等式。函數(shù)、方程、不等式存在著千絲萬縷的聯(lián)系。

師：通過提出問題，抽象出函數(shù)，到一次函數(shù)，這里體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。同時(shí)，我們?cè)谘芯恳淮魏瘮?shù)的圖像與性質(zhì)的過程中，體會(huì)到數(shù)量和圖形之間的聯(lián)系，這里面涉及了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合。

活動(dòng)二：整體理解，問題剖析。

師：圖1是一次函數(shù)y=kx+b的圖像，你能獲得哪些信息？

生7：因?yàn)樗?jīng)過第二、四象限，所以k<0。又因?yàn)樗挥趛軸的正半軸，所以b>0。

師：交于y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)你可以描述出來嗎？

生7：（0，b）。

師：非常好，還有什么信息？

生8：函數(shù)值y隨著x的增大而減小。

師：若y=kx+b的圖像過點(diǎn)（1，2）和（-1，6），你能提出哪些問題？如何思考解決的？（小組討論）

生8：求這個(gè)函數(shù)表達(dá)式。

師：你準(zhǔn)備用什么方法求？

生8：待定系數(shù)法。將（1，2）和（-1，6）分別代入y=kx+b，得到一個(gè)關(guān)于k和b的方程組，求出的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4。

師：哪個(gè)小組還能提出其他問題嗎？

生9：我們小組認(rèn)為還可以求出直線與x軸和y軸圍成的圖形的面積。

師：很好，如何解決？

生9：求出直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以了。

師：還有嗎？

……

師：這里涉及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、直線之間的交點(diǎn)、線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、大小比較、增減性等知識(shí)，還有其他的平移變換的問題，希望大家課后再作深度的探討。

活動(dòng)三：整體把握，應(yīng)用遷移。

（1）[x-y=1，2x-y=3;]（2）[x-y=1，2x-2y=2;]（3）[x-y=1，2x-2y=4。]

師：如何通過兩條直線位置關(guān)系，探索上述二元一次方程組解的情況？

生10：（1）相交，這個(gè)方程組有唯一解。

生11：（2）重合，這個(gè)方程組有無數(shù)組解。

生12：（3）平行，這個(gè)方程組無解。

師：由此可見，除了用代入消元法或加減消元法直接解方程組之外，還可以直接用圖像判斷方程組解的個(gè)數(shù)。

師：請(qǐng)問y=[2x]、 y=x2+2x+1是不是函數(shù)？

生（齊）：是。

師：其實(shí)，一次函數(shù)只是函數(shù)“家族”中的一員，像y=[2x]、 y=x2+2x+1等函數(shù)是我們今后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我們可以用研究一次函數(shù)的方法來研究這些函數(shù)的圖像及性質(zhì)。老師希望同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，我們的未來一定像k[>]0的一次函數(shù)的圖像一樣，一路上升，前程似錦！

三、教學(xué)反思

為了解決教學(xué)碎片化問題，感受整體教學(xué)觀，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系，提煉數(shù)學(xué)思想方法。基于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探究知識(shí)的生成，素養(yǎng)的自然生長(zhǎng)，進(jìn)行知識(shí)體系的后建構(gòu)，有利于學(xué)生知識(shí)的儲(chǔ)存、提取與應(yīng)用。問題串的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)，并且逐步建立起整體知識(shí)框架，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)看，無論是新知的引入（把握探究新知的一般路徑），還是解題的有序思考（指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考），都力求自然，從學(xué)科本身出發(fā)，從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā)，從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷出發(fā)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)一步深入。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“‘雙減背景下初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)校本化實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：E-c/2021/40）階段性成果之一。