張羿

在今天安哥拉東北部一個叫隆達（Lunda）的地方，生活著一個神秘的族群。大約在1600年前，這個族群遷徙到安哥拉，以流入贊比西河的隆圭本古（Lungwe-Bungo）支流的名字給自己取了名字——紹奎人（Chokwe）。根據(jù)紹奎人的傳統(tǒng)，婦女從事農業(yè)生產，男人外出狩獵。工匠們忙于煉鐵、繪畫、雕塑、制作家具、編織墊子籃子。他們的藝術水平高度完美。此外，他們還擁有一門獨特的沙畫藝術——索納（Sona）。

當紹奎人在村莊里或狩獵營地聚會時，他們圍坐在篝火旁邊或枝繁葉茂的樹蔭下，一邊講故事，一邊在沙地上畫畫。這些沙畫即是“索納”。它是一種古老的傳統(tǒng)，它描繪的是諺語、寓言、游戲、謎語、動物等。在知識和智慧代代相傳的過程中，索納發(fā)揮著重要作用。

男孩在學校接受教育期間，就會學習簡單的索納畫法和意義。更難的索納只有那些說書人知道，他們是真正的索納畫家。這些畫家會把關于索納的畫法技術傳給他們的男性后代。在紹奎人的社會中，他們很受尊敬，屬于紹奎社會的精英階層。

為了便于記憶標準化的沙畫，索納畫家首先用手指在沙地上等距地戳洞，形成點陣，如圖1。

接著，畫家會繞著這些點畫線，最終形成圖案。通常情況下，圖形是由一條或多條線組成的，這些線會把每個點都包圍起來。圖2展示了畫線的過程。

點陣的行列數(shù)以及畫線的規(guī)則都取決于要表現(xiàn)的主題。畫家們只需記住點陣的行列數(shù)和畫線的規(guī)則就能快速完成一幅索納作品。旁觀者會認為磕磕絆絆是才疏學淺的表現(xiàn)，所以畫家們會一氣呵成完成畫作。如果圖案比較復雜，畫家會聚精會神，一言不發(fā)。但是，如果它相對簡單，畫家就一邊畫畫一邊講故事。作品在沙子上畫好之后，一般都會被擦掉。

到了19世紀，隨著西方殖民者的入侵，索納技藝逐漸衰落。許多人都只知道比較簡單的圖案，更復雜的圖案的秘密只有一些年長的索納畫家了解。幸好，一些傳教士和民族學家歷盡千辛萬苦收集索納，這項珍貴的文化遺產才得以不至失傳。

接下來，我們一邊聆聽“獅子和男孩”與“公雞和豺狼”兩個故事，一邊欣賞紹奎人的索納沙畫藝術。

故事1：獅子和男孩

一個男孩和一頭獅子是好朋友，他們從小一起長大，一直以打獵為生。有一天，輪到男孩去打獵了，但他不幸受傷暈倒。獅子立刻生起火，用一劑藥救活男孩。他們帶著獵物回家，舉辦了一場盛大的宴會，此后，他們的友誼更加牢固了。

過了一段時間，輪到獅子去打獵，在獵殺水牛的時候，獅子假裝暈倒在地。男孩以為獅子已經死了，他突然想到，如果把獅子的眼睛、鼻子和耳朵制作成護身符，他就可以成為這個地區(qū)最著名的獵人。當男孩試圖肢解獅子時，獅子突然一躍而起，殺死了背叛自己的朋友。

從那以后，再沒人看到獅子和男孩這兩大獵手在一起。

在索納沙畫中，獅子和男孩由兩個較大的圓點代表。

故事2：公雞和豺狼

公雞和豺狼想娶同一個女孩，于是他們都向女孩的父親提親。那父親要求提前支付彩禮，公雞和豺狼都表示同意，并立刻送上彩禮。突然，有傳言說那女孩死了。公雞痛哭不已，而豺狼只是懊悔自己的彩禮打了水漂。原來，這是女孩的父親故意散布謠言，看誰配得上他女兒，最后他把女兒嫁給了誠意十足的公雞。

在索納沙畫中，上面兩個大點分別代表公雞和豺狼。下方的大點代表女孩。

觀察以上兩幅索納作品，我們大致可以發(fā)現(xiàn)以下3個特點：

1. 點陣中的每一個點都被線條分隔包圍。這顯而易見。

2. 整體圖案是對稱的。這同樣顯而易見。據(jù)統(tǒng)計，超過80%的索納是對稱的，有一條或多條對稱軸的索納出現(xiàn)的頻率很高，這表明軸對稱在紹奎人的民族文化中的重要性。

3. 整體圖案是單線性，即一筆畫出來的。這并不顯而易見。據(jù)統(tǒng)計，大約75%的索納是單線性的，這條線可以與自己相交，但永遠不能重復自己走過的路徑。你可能會問，如何一筆畫出上面的索納圖案？這個問題恐怕并不簡單。事實上，關于這類一筆畫問題，大數(shù)學家歐拉曾經給出過答案。

哥尼斯堡是中世紀德國的一座城市，城市建筑分布在普雷格爾河兩岸，河流中間有兩座島，兩岸和兩島之間有七座橋連接，如圖5。當時哥尼斯堡的市長閑來無事研究一個問題，如何一次性通過這七座橋，既不能重復也不能落下。當時，人們的解法簡單粗暴——只要把所有走法都畫出來不就知道了嘛。市長覺得這種解法并不能讓人滿意，于是向著名數(shù)學家歐拉求助。

歐拉敏銳地發(fā)現(xiàn)這里蘊藏著深刻的數(shù)學內涵，并把它稱為一筆畫問題。歐拉表示：“把所有走法都列舉出來的解法沒有任何新意，用這種方法也許可以做出答案，但是到頭來依然搞不懂問題的本質?！?img src="https://cimg.fx361.com/images/2023/07/08/qkimagesmymymymy202208mymy20220802-5-l.jpg"/>

歐拉的解法是，把兩岸和兩島簡化成四個“頂點”，把七座橋簡化成七條邊。于是，如圖6，這四個頂點連接的邊的數(shù)量分別是3、3、3、5。此時，問題隨之轉化成：能否一筆把圖6這個圖形畫出來。經過思考，歐拉確認這是不可能的。同時，他還得出了任意一個圖形是否可以一筆畫的條件。首先，圖形中的頂點分為兩種，如果經過該點的線段數(shù)目是偶數(shù)，就稱之為偶點；如果經過該點的線段數(shù)目是奇數(shù)，就稱之為奇點。歐拉指出，如果一個圖形可以一筆畫，那么它的奇點個數(shù)只能是0個或2個。如果奇點個數(shù)是0個，那么從圖形中任意一點出發(fā)，都可以一筆畫；如果奇點個數(shù)是2個，那么只能從一個奇點出發(fā)，畫到另一個奇點結束。

你可以用歐拉的方法嘗試一下能不能一筆寫成“口”“日”“目”三個字?！翱凇弊值乃膫€頂點全是邊數(shù)為2的偶點，不存在奇點，所以你從任意一點起筆就能一筆寫成?！叭铡弊种虚g一橫的兩端有兩個邊數(shù)為3的奇點，所以你可以從其中一個奇點起筆，寫到另一個奇點結束?！澳俊弊值闹虚g有兩橫，形成了4個邊數(shù)為3的奇點，你無論怎么寫都不能一筆寫成。

現(xiàn)在再來看圖6，所有4個頂點全是奇點。所以不管怎么畫，都無法一筆畫成。因為在繪畫過程中一定會遇到一種情況，當你經過一座橋到達某個位置后，然后發(fā)現(xiàn)這個位置連接的另外兩座橋都已經走過了，不重復就走不出去，所以這個問題是無解的。

后來，“二戰(zhàn)”爆發(fā)，哥尼斯堡七橋中的兩座橋毀于戰(zhàn)火，只剩下了五座，如圖7。所以，哥尼斯堡七橋今天已經不存在了。不僅七橋不存在，連哥尼斯堡也不存在了。1945年哥尼斯堡戰(zhàn)役后，蘇聯(lián)紅軍占領了這座城市。戰(zhàn)后它成為蘇聯(lián)領土，更名為加里寧格勒。如今，這里是俄羅斯的一部分，是俄軍波羅的海艦隊基地。

不過，如果你現(xiàn)在去那座城市，倒是可以一次不重復地走過五座橋了。如圖7，四個頂點連接的邊的數(shù)量分別是2、2、3、3。圖8是五橋的等效圖，你只需要從其中一個邊數(shù)為3的頂點出發(fā)，就一定能不重復地走過五座橋，最終走到另一個邊數(shù)為3的頂點結束。

歐拉這種用頂點和邊解決問題的方式到后來發(fā)展成為一個數(shù)學概念“圖論”。其中“圖”就是畫面整體，“頂點”代表對象，也就是岸和島，“邊”代表對象之間的關系，也就是橋。七橋問題的圖里只有4個頂點，7條邊。但在今天借助計算機，我們可以畫出上萬億個“頂點和邊”的圖，把它作為數(shù)據(jù)來計算，這就是“圖計算技術”。通過不斷發(fā)展完善，圖計算技術已經是世界前沿的數(shù)據(jù)技術，應用非常廣泛。例如電網，全國一共有上億臺供電設備，一旦其中一臺設備出問題，可能就會影響其他設備，出現(xiàn)大面積停電事故。所以可以把每個供電設備作為一個“頂點”，繪制出它們之間的關系圖，建立起一個數(shù)據(jù)庫，然后用這些數(shù)據(jù)進行預演，模擬關掉其中一個會對其他設備產生什么影響，這樣在每次維護供電設備之前都可以提前預判，不影響正常供電。

時至今日，中國已經成為世界上“大規(guī)模圖計算技術”技術性能最高、應用最廣泛的國家。而這一切其實都起源于哥尼斯堡那道簡單的數(shù)學題。

言歸正傳，現(xiàn)在再看前文中安哥拉大叔“獅子和男孩”“公雞和豺狼”兩幅索納沙畫作品，相信你很容易就能確定它們都可以一筆畫出來。獅子和男孩中所有頂點都是偶點，所以從任意一個頂點開始就能一筆畫出這個圖案；公雞和豺狼中有兩個頂點是奇點（即圖4中的兩個紅點），其余都是偶點，那么一定可以從其中一個紅點出發(fā)，到另一個紅點結束。

圖9的幾幅索納沙畫作品錘子、小鳥、蝎子、山羊都是一筆畫成的，讀者可以自行嘗試。