郭芬香

一、數(shù)學(xué)游戲課

“數(shù)學(xué)游戲”在《英國簡明百科全書》中，條目是

“mathematical recreations”，定義為“利用數(shù)學(xué)知識的流行的娛樂活動”。我們把一些包含數(shù)學(xué)原理并使用數(shù)學(xué)知識或方法的游戲歸類為數(shù)學(xué)游戲。這不僅是一場游戲，游戲中還包含著數(shù)學(xué)問題，因此玩游戲的人可以獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并在不知不覺中掌握數(shù)學(xué)知識、思想和方法。

數(shù)學(xué)游戲課是借助益智玩具，以數(shù)學(xué)游戲為基本活動的學(xué)習過程。通過直觀操作和數(shù)學(xué)推理，在學(xué)具的幫助下邊玩邊想，在動手實踐中豐富活動經(jīng)驗，玩中學(xué)、做中思，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習興趣;在游戲中進行深層次的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，啟迪智慧，開發(fā)潛能。

二、問題提出

對于數(shù)學(xué)教育中的問題提出，蔡金發(fā)教授認為，應(yīng)該是支持教師和學(xué)生的具體活動，使他們能夠根據(jù)特定的情境（即問題背景或情境）形成或重新形成數(shù)學(xué)問題或任務(wù)。在這個定義中，蔡教授對“問題”或“任務(wù)”進行了更廣泛的分析，包括任何可以提出的數(shù)學(xué)問題以及根據(jù)問題可以提出的任何數(shù)學(xué)任務(wù)。

三、基于問題提出的數(shù)學(xué)游戲課的基本結(jié)構(gòu)

“基于問題提出的數(shù)學(xué)游戲課”指將問題提出理念運用于數(shù)學(xué)游戲課的教學(xué)中，通過提出問題，大膽猜想，實踐操作驗證或推理論證，解決問題，發(fā)展問題意識和創(chuàng)新能力。

四、“漢諾塔”游戲

教學(xué)目標：

第一，以“漢諾塔”游戲為載體，培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)材料從不同角度提出數(shù)學(xué)問題的能力。

第二，孩子們在猜想、驗證（操作、推理、規(guī)律）過程中解決問題，培養(yǎng)解決問題的能力，發(fā)展創(chuàng)新思維。

第三，借助數(shù)學(xué)游戲，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)設(shè)計：

（一）利用傳說，提出問題

“漢諾塔”游戲源于印度傳說，卻是法國數(shù)學(xué)家最先改編成數(shù)學(xué)問題并進行研究。對于傳說本身，就包含著許多的問題因素。

1.閱讀材料，形成問題

課始，教師出示文字材料：法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯編寫過一個印度的古老傳說：在印度北部的圣殿里，三根寶石針被插入一個銅盤中。印度教的主神梵天創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針從下到上穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個和尚在按照下面的法則移動這些金片：一次只能移動一片，無論在哪根針的上面，小片必須在大片上面。

學(xué)生看文字材料，獨立思考寫下自己認為和數(shù)學(xué)有關(guān)的1～2個問題。在自主提問階段，經(jīng)過獨立思考之后，學(xué)生將相關(guān)數(shù)學(xué)知識內(nèi)化，以達到個性化的學(xué)習狀態(tài)。

【設(shè)計意圖：以古老的印度傳說引入，更能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習興趣，增加好奇心，對課堂學(xué)習充滿期待。根據(jù)傳說提出問題，需要學(xué)生先仔細閱讀，提高學(xué)習的

效率?！?/p>

2.篩選問題，達成共識

在獨立提問基礎(chǔ)上，經(jīng)過小組討論，整理出最想討論解決的3個問題。之后各小組派代表講2個問題，層層篩選，共形成了以下9個問題：

（1）為何是3根針？

（2）為何是64片？

（3）為何一次只能移一片？

（4）為何小的要在大的上面？

（5）為什么法國的數(shù)學(xué)家要編寫印度的傳說？

（6）不按法則移動會產(chǎn)生怎樣的后果？

（7）要移幾次（多久）？

（8）為何叫漢諾塔？

（9）漢諾塔是誰發(fā)明的？

【設(shè)計意圖：通過組內(nèi)篩選，小組成員達成共識，剔除部分與本課學(xué)習關(guān)系不大的問題，使數(shù)學(xué)問題更集中指向本課學(xué)習，使問題更好地為本課教學(xué)服務(wù)?！?/p>

3.根據(jù)問題，分類整理

通過對數(shù)學(xué)問題的分類，抽象出問題的共性特點，從解決一個問題到一類問題進行延伸。

師：同學(xué)們有9個問題要解決，我們該怎么做才能系統(tǒng)地解決這么多的問題？

生：分類。

師：你認為這些問題可以分成幾類？以小組為標準進行分類。

反饋后統(tǒng)一結(jié)果：計算類（7）;規(guī)則類（1、2、3、4、6）;其他類（5、8、9）。

【設(shè)計意圖：在分類過程中探尋標準進行判斷，在討論、交流中不斷修正思維，層層推進，發(fā)展了合作交流和語言表達能力?！?/p>

（二）依托問題，大膽猜想

在分類基礎(chǔ)上思考計算類問題，體會不易。

師：第7個問題能解決嗎？請你猜一猜到底要移

多久？

生1：應(yīng)該要很長的時間。

生2：幾億次吧？反正很久很久……

【設(shè)計意圖：在分類基礎(chǔ)上進行猜想，讓學(xué)生體會解決數(shù)據(jù)較大問題之不容易，從而用化繁為簡進行解決?！?/p>

（三）合作探究，驗證猜想

將復(fù)雜問題簡單化，是數(shù)學(xué)學(xué)習的基本方法。運用規(guī)則操作驗證，理解算理，在推理中尋找規(guī)律，最終解決問題。

1.實踐體驗，操作驗證

根據(jù)移動規(guī)則，運用學(xué)具探索，增加活動經(jīng)驗。通過思考相關(guān)聯(lián)步數(shù)，感悟規(guī)律。

師：想要解決這么復(fù)雜的問題，我們可以怎么辦？

生：化繁為簡，移一移漢諾塔，動手操作一下。

師：傳說中是64片，老師提供的是5片，請你思考，該從幾片開始研究？為什么？

生：從3片開始研究，2片很簡單，只要3步（生移）;3片要移7步，要復(fù)雜些。

師：3片都會移嗎？那4片要移幾次？（生說15次）

師：同桌合作，1人移，1人記錄，并仔細觀察思考有沒有移錯。先移動3片，學(xué)生都會移了，再研究移動4片，請關(guān)注移動的次數(shù)，并思考移動3片和移動4片有什么關(guān)聯(lián)？（2人合作操作）

師：誰能概括性地來說一說移動3片和4片之間有什么關(guān)聯(lián)？

生：從移動3片到4片是3片的步數(shù)乘2再加1，師板書：7×2+1=15。

師：在移動過程中如何看出7×2+1？請在漢諾塔上演示。

生：先讓3片移到中間桿要用7步，最大地移到目標桿加1步，最后把中間的3片移到目標桿又是7步（7+1+7），同時演示7+1+7的過程。

【設(shè)計意圖：根據(jù)規(guī)則運用學(xué)具進行操作體驗，在體驗中感悟移動3片和4片之間的聯(lián)系，突破難點，為尋找規(guī)律打下伏筆?！?/p>

2.回顧反思，推理驗證

回顧課堂，在操作過程中積累了經(jīng)驗，通過推理，尋找漢諾塔的移動規(guī)律。

（1）在回顧交流中探尋規(guī)律

教師出示表格，根據(jù)表格，說一說移動5片要幾次。（見表1）

如果教師把挪移規(guī)律稍微改動一下，你看得懂嗎？5個圓盤該怎么表示？（見表2）

根據(jù)表1、表2，完成表3：

【設(shè)計意圖：根據(jù)移動3個、4個圓盤的操作，在經(jīng)驗積累的基礎(chǔ)上尋找搬移次數(shù)的規(guī)律。在規(guī)律探究中發(fā)現(xiàn)移動5個、6個，甚至更多個圓盤的移動規(guī)律?！?/p>

（2）在猜想估算中探尋規(guī)律

猜一猜移完20片要幾次？學(xué)生猜后教師說，移完20片要100萬次，同時出示表格（略）。

10個圓盤超過1000次，20個圓盤超過100萬次，再猜，30個幾次？

生：超過1億。

師：對，100萬后面大概還要加幾個0？（學(xué)生說3個0）是的，30個圓片最少挪移1073741823次，超過10億次，太不可思議了。PPT出示表格（略）

師：如果一天工作8小時，一秒挪移一次，30個圓盤要多久才能完成挪移？

師：先除以60變成分鐘，再除以60變成小時，再除以24變成天，再除以365變成年，這些事情計算機已經(jīng)算好。

一天工作8小時=28800秒

1073741823÷28800≈37283（天）

37283÷365≈102（年）

師：如果僧侶不休息地去做這件事，大概需要幾年？（34年）

【設(shè)計意圖：從移動10個到30個圓盤的移動次數(shù)，孩子們在猜想驗證推算活動中體驗30個圓盤的移動次數(shù)，進而體會完成這件事需要的時間有多漫長。】

3.依據(jù)材料，尋理論證

64個圓盤的移動規(guī)律，在學(xué)生現(xiàn)階段還難以根據(jù)推理計算。在文字材料中尋求證據(jù)，進行論證。

師：再看一段文字材料。

斗轉(zhuǎn)星移，梵天寺的僧侶們換了一代又一代，可是到現(xiàn)在那64個金盤子好像從來沒移動過似的。為了那個神圣的誓言，僧侶們確實從來沒有停止過工作，世界也依然很美好……時間一下到了20世紀40年代末的一天，大洋彼岸的一幫人搞出了電腦這個玩意兒，用電腦計算了移動64個金盤子所需要的時間：假如每次移動耗時1秒，移動64個盤子到第三根柱子需要的時間是264-1=18446744073709551615秒，換算成時間是5845.54億年;看來僧侶們的任務(wù)任重道遠，因為地球到目前為止才46億年。

【設(shè)計意圖：與前面的傳說相呼應(yīng)，更好地體現(xiàn)了漢諾塔傳說的研究價值，使孩子們感受到編寫神話者的

智慧?！?/p>

（四）課堂總結(jié)，明確目的

出示文字材料：提出一個問題通常比解決一個問題更重要，因為解決問題可能只是一種教學(xué)或?qū)嶒灱寄芏?。而提出新問題、新可能性并從新的角度看待舊問題需要創(chuàng)造性的想象力，這標志著科學(xué)的真正進步。

——愛因斯坦

【設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)并提出問題比解決問題尤為重要，從而激勵孩子們提出更多的好問題?！?/p>

教后反思：

漢諾塔問題具有很高的研究價值，也是一種益智游戲。一般課堂都讓學(xué)生根據(jù)游戲規(guī)則，尋找規(guī)律，解決實際問題，學(xué)會有條理地思考，獲得成功體驗這一路徑開展教學(xué)。本課打破了教師原有的教學(xué)模式，在問題提出理念引領(lǐng)下，讓學(xué)生經(jīng)歷提問問題、分析問題和解決問題的過程。真正在課堂教學(xué)中落實了動手實踐、自主探究、合作交流這一課程理念。

（一）在問題引領(lǐng)中學(xué)習

拓展性數(shù)學(xué)游戲課程的教學(xué)目標不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和發(fā)展思維，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。發(fā)現(xiàn)和提問是數(shù)學(xué)課程的目標之一，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的課堂提問能力也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑。在“漢諾塔”的教學(xué)中，利用傳說這個載體，鼓勵每個孩子提出問題。盡管一開始有的孩子提的問題對于本課的學(xué)習沒有價值，但在提問的過程中孩子們積極思考，參與其中，真正體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習中得到不同的發(fā)展”這一課標理念。之后，教師篩選小組中的所有問題，并選擇有價值的問題進行討論和研究解決。在小組合作過程中培養(yǎng)合作意識，發(fā)展了批判性思維。在用漢諾塔操作活動時，又圍繞核心問題“誰能概括性的來說一說移動3片和4片之間有什么關(guān)聯(lián)？”引領(lǐng)學(xué)生進一步思考，從而發(fā)現(xiàn)移動規(guī)律。

（二）在互動交流中體現(xiàn)學(xué)生立場

促進學(xué)生有效提問的前提是堅持學(xué)生的地位，相信學(xué)生能夠?qū)W習，構(gòu)建寬容、尊重、和諧的師生關(guān)系和安全、溫暖的課堂氛圍。因為當你安全時，你會平靜，當你平靜時，你會明智。這是引導(dǎo)學(xué)生獨立提問的生態(tài)基礎(chǔ)。課始，教師讓學(xué)生自主提問后，在組內(nèi)進行互動交流，篩選有價值的問題，教師沒有參與其中，這是建立在充分信任基礎(chǔ)上的自主學(xué)習。實踐證明，學(xué)生有能力對自己所提的問題進行甄選，及時放手調(diào)動了學(xué)生學(xué)習的主觀能動性，發(fā)展了高階思維能力。

（三）提出問題比解決問題更重要

學(xué)貴有疑，小貴則小進，大疑則大進。“懷疑”是人類打開宇宙之門的金鑰匙，提出問題比解決問題更重要。從課中可以看出學(xué)生的問題非常多，篩選后還剩下一部分，一節(jié)課中沒有辦法全部完成。教師在和學(xué)生交流的過程中挑選了部分問題進行解決。正如課終所言“今天這節(jié)課我們提出了很多問題，也解決了很多問題，如果你能在解決問題后發(fā)現(xiàn)新的問題，當你解決的問題越多，那你提問題就會越來越難，每次想出新的問題，那新的可能性又要發(fā)生了。就像剛才有同學(xué)提到的第5個問題，印度人還只是當成一個傳說的時候，法國人已經(jīng)提出數(shù)學(xué)問題了?！边@樣的課堂培養(yǎng)的是學(xué)生創(chuàng)新思維能力，也是我們應(yīng)該追求的目標。

五、啟示

“漢諾塔”這一拓展性游戲內(nèi)容，研究價值不僅限于益智，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。整堂課以問題引領(lǐng)著課堂方向和節(jié)奏，通過猜想驗證，逐步邁向深入。因此，在數(shù)學(xué)游戲課中，運用問題提出理念進行教學(xué)，不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習興趣，更發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，真正實現(xiàn)教學(xué)效益的最大化。

參考文獻：

蔡金法，姚一玲.數(shù)學(xué)“問題提出”教學(xué)的理論基礎(chǔ)和實踐研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（4）.