郭淑華

[摘 要]應(yīng)用性問(wèn)題是近幾年中考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn)之一，它以解決實(shí)際問(wèn)題為目的。把握住解題關(guān)鍵是解決應(yīng)用性問(wèn)題的突破口。文章重點(diǎn)分析中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的解題關(guān)鍵。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用性問(wèn)題;解題關(guān)鍵;方程;不等式

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2022）17-0028-03

應(yīng)用性問(wèn)題是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一，它以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)。要想破解應(yīng)用性問(wèn)題，需找到其解題關(guān)鍵。下面筆者結(jié)合近幾年各地中考數(shù)學(xué)試題，分析應(yīng)用性問(wèn)題的特點(diǎn)，找出其解題關(guān)鍵，以供參考。

一、方程（組）的應(yīng)用性問(wèn)題

該類問(wèn)題常見(jiàn)的類型有：（1）行程問(wèn)題（包括相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、環(huán)形問(wèn)題、水中航行問(wèn)題等）;（2）工程問(wèn)題;（3）濃度問(wèn)題;（4）增長(zhǎng)率或降低率問(wèn)題;（5）數(shù)字問(wèn)題;（6）最優(yōu)策略問(wèn)題;（7）最值問(wèn)題。

[例1]（2021·張家界）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，全國(guó)各地積極開(kāi)展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長(zhǎng)征路”主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng)，我市“紅二方面軍長(zhǎng)征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動(dòng)基地。據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬(wàn)人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬(wàn)人。

（1）求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率;

（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？

簡(jiǎn)析 （1）設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為[x]，根據(jù)5月份該基地接待參觀人數(shù)=3月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于[x]的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案;（2）利用6月份該基地接待參觀人數(shù)=5月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長(zhǎng)率），即可求出答案。

點(diǎn)評(píng) 列方程（組）解應(yīng)用題，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，正確分析題意，找出問(wèn)題中的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。列方程（組）時(shí)，等式兩邊應(yīng)意義相同、單位一致、數(shù)量相等。若所列的方程是分式方程，結(jié)果要驗(yàn)根并且所得的解與實(shí)際要相符合。

二、不等式（組）的應(yīng)用性問(wèn)題

該類問(wèn)題常見(jiàn)的類型有：（1）以市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)為背景的不等式（組）應(yīng)用題;（2）運(yùn)用不等式（組）解決的方案設(shè)計(jì)類應(yīng)用題。

[例2]（2018·湘潭）湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國(guó)文明城市之后，又準(zhǔn)備爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)衛(wèi)生城市。某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購(gòu)買2個(gè)溫馨提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價(jià)是溫馨提示牌單價(jià)的3倍。

（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是多少元？

（2）該小區(qū)至少需要安放48個(gè)垃圾箱，如果購(gòu)買溫馨提示牌和垃圾箱共100個(gè)，且費(fèi)用不超過(guò)[10 000]元，請(qǐng)你列舉出所有購(gòu)買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

簡(jiǎn)析 （1）2個(gè)溫馨提示牌和3個(gè)垃圾箱的總價(jià)格是550元，垃圾箱的單價(jià)是溫馨提示牌單價(jià)的3倍，據(jù)此建立方程組即可得出答案;（2）根據(jù)“至少需要安放48個(gè)垃圾箱”“費(fèi)用不超過(guò)10 000元”這兩個(gè)信息，建立不等式組即可得出答案。

點(diǎn)評(píng) 列不等式（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù);（2）找出能夠表示題目全部含義的一個(gè)或幾個(gè)不等式;（3）列出不等式（組），解不等式（組），求出解集并作答。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題實(shí)際建立不等式（組）模型，利用不等式（組）解的情況對(duì)問(wèn)題作出最佳決策。

三、函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題

該類問(wèn)題常見(jiàn)的類型有：（1）一次函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題;（2）二次函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題;（3）分段函數(shù)及其他函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題。

[例3]（2021·金華）某游樂(lè)場(chǎng)的圓形噴水池中心[O]有一雕塑[OA]，從[A]點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖1，以水平方向?yàn)閇x]軸，點(diǎn)[O]為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)[A]在[y]軸上，[x]軸上的點(diǎn)[C]，[D]為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為[y=-16（x-5）2+6]。

（1）求雕塑高[OA];

（2）求落水點(diǎn)[C]，[D]之間的距離;

（3）若需要在[OD]上的點(diǎn)[E]處豎立雕塑[EF]，[OE=10 m]，[EF=1.8 m]，[EF⊥OD]。問(wèn)：頂部[F]是否會(huì)碰到水柱？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明。

簡(jiǎn)析 （1）利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)[A]的坐標(biāo)，進(jìn)而得出雕塑高[OA]的值;（2）利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，可得出[OD]的長(zhǎng)度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出[OC]的長(zhǎng)度，再由[CD=OC+OD]即可求出落水點(diǎn)[C]，[D]之間的距離;（3）代入[x=10]求出[y]值，進(jìn)而可得出點(diǎn)[10，116]在拋物線[y=-16（x﹣5）2+6]上，將[116]與1.8比較后即可得出頂部[F]不會(huì)碰到水柱。

點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，首先要求出函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，然后通過(guò)函數(shù)的增減性來(lái)確定函數(shù)的最值。

四、統(tǒng)計(jì)初步的應(yīng)用性問(wèn)題

統(tǒng)計(jì)初步有關(guān)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的一個(gè)方面。隨著素質(zhì)教育對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)要求的提高，近幾年在中考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)初步的應(yīng)用性問(wèn)題，教師在中考總復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重視。

[例4]（2019·鄂州）某校為了解全校學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂(lè)、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛(ài)情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛(ài)的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分。（如下表和圖2所示）

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）統(tǒng)計(jì)表中[m]的值為_(kāi)________，統(tǒng)計(jì)圖中[n]的值為_(kāi)________，A類對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)________度;

（2）該校共有1500名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校最喜愛(ài)體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù);

（3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛(ài)戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生。從這4人中任選2名同學(xué)去觀賞戲曲表演，請(qǐng)用樹狀圖或列表求所選2名同學(xué)中有男生的概率。

簡(jiǎn)析 （1）由[B]類別人數(shù)及其百分比求出調(diào)查人數(shù)，再用調(diào)查人數(shù)減去[A]、[B]、[C]、[E]類別總?cè)藬?shù)得出[m]的值，然后根據(jù)百分比概念求出[n]，最后用360°乘以A類別人數(shù)所占比例，獲得圓心角的度數(shù);（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，答案可得;（3）利用樹狀圖或列表，將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái)，利用概率公式求解即可。

點(diǎn)評(píng) 解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行耐心、細(xì)致的觀察，通過(guò)分析、比較，得到相應(yīng)的特征數(shù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

五、幾何應(yīng)用性問(wèn)題

該類問(wèn)題常見(jiàn)的類型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知識(shí)進(jìn)行測(cè)量的問(wèn)題;（2）利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識(shí)解決航海、氣象等方面的問(wèn)題。

[例5]（2020·聊城）如圖3，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某小區(qū)居民樓[AB]的高度進(jìn)行測(cè)量。先測(cè)得居民樓[AB]與[CD]之間的距離[AC]為[35 m]，后站在[M]點(diǎn)處測(cè)得居民樓[CD]的頂端[D]的仰角為[45°]，居民樓[AB]的頂端[B]的仰角為[55°]，已知居民樓[CD]的高度為[16.6 m]，小瑩的觀測(cè)點(diǎn)[N]距地面[1.6 m]。求居民樓[AB]的高度（精確到[1 m]）。（參考數(shù)據(jù)：[sin55°≈0.82]，[cos55°≈0.57]，[tan55°≈1.43]）

簡(jiǎn)析 過(guò)點(diǎn)[N]作[EF∥AC]交[AB]于點(diǎn)[E]，交[CD]于點(diǎn)[F]，通過(guò)解[Rt△DFN]得到線段[NF]的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到線段[NE]的長(zhǎng)度，再解[Rt△BEN]得到[BE]的長(zhǎng)度。

點(diǎn)評(píng) 解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解一些專有術(shù)語(yǔ)（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含義，在理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出圖形，把題目中的已知量和未知量轉(zhuǎn)化到圖形中，然后運(yùn)用相應(yīng)的幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。

六、綜合應(yīng)用性問(wèn)題

對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題的考查，是近年中考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn)，有些試題同時(shí)考查多種應(yīng)用性問(wèn)題，要綜合利用多種模型和各種知識(shí)才能解決。

[例6]（2018·南充）某銷售商準(zhǔn)備在南充采購(gòu)一批絲綢，經(jīng)調(diào)查，用10 000元采購(gòu)A型絲綢的件數(shù)與用8 000元采購(gòu)B型絲綢的件數(shù)相等，一件A型絲綢進(jìn)價(jià)比一件B型絲綢進(jìn)價(jià)多100元。

（1）求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

（2）若銷售商購(gòu)進(jìn)A型、B型絲綢共50件，其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，且不少于16件，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型絲綢[m]件。

①求[m]的取值范圍;

②已知A型的售價(jià)是800元/件，銷售成本為[2 n]元/件;B型的售價(jià)為600元/件，銷售成本為[n]元/件。如果[50≤n≤150]，求銷售這批絲綢的最大利潤(rùn)[w]（元）與[n]（元）的函數(shù)關(guān)系式（每件銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)-銷售成本）。

簡(jiǎn)析 （1）根據(jù)題意，用分式方程解題;（2）①根據(jù)所提供條件，列出關(guān)于[m]的不等式組，可求得[m]的取值范圍;②根據(jù)題意，列出銷售利潤(rùn)[y]與[m]的函數(shù)關(guān)系式，討論所含字母[n]的取值范圍，則[w]與[n]的函數(shù)關(guān)系式可得。

[例7]（2021·盤錦）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號(hào)車床共14臺(tái)，生產(chǎn)并銷售1臺(tái)A型車床可以獲利10萬(wàn)元;如果生產(chǎn)并銷售不超過(guò)4臺(tái)B型車床，則每臺(tái)B型車床可以獲利17萬(wàn)元，如果超出4臺(tái)B型車床，則每超出1臺(tái)，每臺(tái)B型車床獲利將均減少1萬(wàn)元。設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺(tái)。

（1）當(dāng)[x>4]時(shí)，完成以下兩個(gè)問(wèn)題：

①請(qǐng)補(bǔ)全下面的表格：

②若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤(rùn)多70萬(wàn)元，問(wèn)：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺(tái)？

（2）當(dāng)[0

簡(jiǎn)析 （1）①由題意知，生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)并銷售A型車床[（14-x）]臺(tái)，當(dāng)[x>4]時(shí)，每臺(tái)B型車床可以獲利[17-（x-4）=（21-x）]萬(wàn)元，②由題意得方程[10（14-x）+70=17-（x-4）x]，解得[x1=10]，[x2=21]（舍去）;（2）當(dāng)[00]，故當(dāng)[x=4]時(shí)總利潤(rùn)[W]最大，為[3×4+140=152]（萬(wàn)元）;當(dāng)[x>4]時(shí)，[W=10（14-x）+17-（x-4）x]，整理得[W=-x2+11x+140]，因?yàn)閇-1<0]，所以當(dāng)[x=-112×（-1）=5.5]時(shí)總利潤(rùn)[W]最大，又由題意知[x]只能取整數(shù)，所以當(dāng)[x=5]或[x=6]時(shí)，總利潤(rùn)[W]最大，為[-52+11×5+140=170]（萬(wàn)元）。

點(diǎn)評(píng) 綜合應(yīng)用性問(wèn)題在突出綜合性的同時(shí)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，這類問(wèn)題一般注意聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和整合，能夠有效考查學(xué)生收集信息和處理信息的能力、模型轉(zhuǎn)化能力、分析綜合能力、計(jì)算和表達(dá)的能力。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件，分析數(shù)量關(guān)系，靈活運(yùn)用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問(wèn)題”找出來(lái)，迅速地找到解題的切入點(diǎn)，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

縱觀近幾年來(lái)全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，通過(guò)歸類分析可知，應(yīng)用性問(wèn)題的解題關(guān)鍵是：在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，利用已知條件，運(yùn)用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步、幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)，分析實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在的、本質(zhì)的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

[1] ?杜志建.2020福建中考幫：中考數(shù)學(xué)[M].烏魯木齊： 新疆青少年出版社，2019.

[2] ?潘振南.2016中考總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練：數(shù)學(xué)：泉州專版[M]. 長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，2015.

（責(zé)任編輯 黃春香）