萬泉

十進位值制計數(shù)原理是學生建立數(shù)概念的基礎(chǔ)和核心，也是學生理解算理、算法的依據(jù)。在小學階段，促進學生感受十進位值制計數(shù)法的價值，理解并運用十進位值制計數(shù)系統(tǒng)學習“數(shù)與運算”，可以從以下幾個方面著手。

一、構(gòu)建計數(shù)單位模型，理解十進制

1.讓計數(shù)單位有“形”

“十進制”和“位值制”是構(gòu)成十進位值制計數(shù)系統(tǒng)的重要概念。數(shù)數(shù)和計數(shù)是人類生活和生產(chǎn)的需要，古人在探尋計數(shù)方法的過程中逐步形成了“滿十進一”的約定，并由此從“一”開始，不斷創(chuàng)造了一系列計數(shù)單位。若干個“一”“十”“百”“千”“萬”等構(gòu)成了數(shù)，也就是說，數(shù)的構(gòu)成運用了十進制原則。學生對多位數(shù)的感受，應達到能在腦海中直觀地反映出相應的計數(shù)單位模型及其個數(shù)的水平。在數(shù)概念的教學中，教師應充分重視計數(shù)單位模型的建立。

小棒、方塊、點子圖都是重要的認數(shù)工具，也是直觀的計數(shù)單位模型。人教版數(shù)學一年級下冊《100以內(nèi)數(shù)的認識》用一根小棒、一小捆小棒、一大捆小棒，分別表示計數(shù)單位“一”“十”“百”;二年級下冊《1000以內(nèi)數(shù)的認識》用由小方塊構(gòu)成的“一條”“一片”“一大個”正方體，分別表示“十”“百”“千”。隨著要認識的數(shù)逐漸增大，教材要求學生理解數(shù)的意義的方式也越來越抽象。建立上述計數(shù)單位模型的表象，有助于學生建立起抽象的數(shù)與現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，感悟多位數(shù)的構(gòu)成和大小。

教學時，教師通常會出示一堆散落的小棒或小方塊，讓學生用從小到大的計數(shù)單位完成數(shù)數(shù)過程，并追問“十”（或“百”）在哪里。以方塊材料為例，學生可能這樣表述：10個小正方體合在一起的“一條”就是“十”;10個“一條”合在一起的“一片”就是“百”。教師應及時用多媒體呈現(xiàn)10個計數(shù)單位模型合在一起的動態(tài)過程（如下圖）。

當有更多方塊出現(xiàn)時，學生會自然地想到用“百”這個大一些的計數(shù)單位去數(shù)，進而發(fā)現(xiàn)：10個“百”是一千，“千”是一個更大的計數(shù)單位。

用直觀的方式將認數(shù)工具結(jié)構(gòu)化，能幫助學生構(gòu)建起計數(shù)單位模型的表象，感悟計數(shù)單位的大小及其十進關(guān)系。

2.用計數(shù)單位模型數(shù)數(shù)

借助計數(shù)單位模型數(shù)數(shù)，是對十進制的鞏固和運用。教材設計了數(shù)圓點數(shù)量的例題（如下圖）。這樣的數(shù)數(shù)問題需要學生主動運用十進制將點子圖結(jié)構(gòu)化，即將一列（10個）圓點看成一個“十”，將10列圓點看成一個“百”，從而自主構(gòu)建計數(shù)單位的圓點模型，并利用該模型進行數(shù)數(shù)、計數(shù)。

學生數(shù)出圓點的數(shù)量（235個）后，教師有必要讓學生用小棒或方塊模型表示“235”，讓學生在多種認數(shù)工具的轉(zhuǎn)換中融通同一計數(shù)單位的不同表征模型，使他們更清晰、直觀地認識到數(shù)是由若干個計數(shù)單位構(gòu)成的。構(gòu)建和運用計數(shù)單位模型，能促進學生數(shù)數(shù)、計數(shù)能力的形成，培養(yǎng)學生的數(shù)感。

二、借助結(jié)構(gòu)化計數(shù)器，理解位值制

1.用計數(shù)器數(shù)數(shù)

計數(shù)器是比小棒和小方塊更抽象的數(shù)數(shù)工具。一根、一小捆、一大捆的小棒或一個、“一條”、“一片”、“一大個”正方體的外觀不同，比較容易與不同的計數(shù)單位對應起來，而計數(shù)器上所有珠子的外觀都相同，學生需要依靠珠子所在的位置去辨識不同的計數(shù)單位。同樣一顆珠子，放在不同的數(shù)位上，就能實現(xiàn)以一當十、以一當百的效果。這體現(xiàn)了對小棒和小方塊等計數(shù)工具的簡化。例如，學生在個位上撥9顆珠子表示9個一，再撥1顆就有10顆珠子，10個一是1個十，個位上這10顆珠子就可以換成十位上的1顆珠子。以此類推，學生借助計數(shù)器就可以認識更大的計數(shù)單位。學生在計數(shù)器上熟練地撥珠數(shù)數(shù)，能深化對十進制計數(shù)規(guī)則（滿十進一）的理解，強化對計數(shù)單位位置和順序的感受。

2.用計數(shù)器記數(shù)，學習數(shù)的讀寫

數(shù)的記錄運用了位值制原則，即先把各級計數(shù)單位進行有序排列，再把相應的計數(shù)單位個數(shù)用0～9這10個符號表示出來。這樣就完成了一個多位數(shù)的抽象和記錄過程。數(shù)的認識需要經(jīng)歷符號抽象的表示過程。

以“235”為例，運用計數(shù)單位模型表示數(shù)的組成，學生能直觀地看到這個多位數(shù)由2個百、3個十、5個一組成;但在計數(shù)器上表示“235”，學生看到的是半符號化的2、3、5。從直觀模型到相對抽象的計數(shù)器，再到符號“235”，這個從計數(shù)到記數(shù)的過程就是學生體會位值制的過程。

用計數(shù)器記錄多位數(shù)時，要注意動作表征與語言表征的緊密結(jié)合。例如，在計數(shù)器上撥“235”時，學生應該這樣表述：在百位上撥兩顆珠子表示2個百，在十位上撥3顆珠子表示3個十，在個位上撥5顆珠子表示5個一，合起來就表示“二百三十五”。邊操作邊表述，不僅能幫助學生鞏固數(shù)的組成，而且能引導學生利用數(shù)的讀寫與數(shù)的組成的一致性，自然而然地學會讀數(shù)、寫數(shù)。

3.用算盤記數(shù)，學習數(shù)的讀寫

算盤是我國古代的偉大發(fā)明之一。算盤上1顆算珠的含義比計數(shù)器上1顆珠子的含義更豐富。算珠在下檔表示“1”，在上檔則是“以1當5”。如果不確定個位，就無法確定算珠表示的數(shù)的大小;確定個位后，1顆算珠不僅能表示1個一、1個百等，還能表示1個十分之一、1個百分之一等。與計數(shù)器相比，算盤上的兩顆算珠能撥出更多的數(shù)。教師指導學生使用算盤記數(shù)、輔助數(shù)的讀寫，既有利于數(shù)學文化的滲透，又能為學生認識數(shù)位、體會位值制提供好的工具和途徑。

三、遷移認數(shù)經(jīng)驗，理解運算的理與法

2022年版義務教育數(shù)學課程標準將小學“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容設計為“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。其中，“數(shù)與運算”包括“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”兩個部分。這樣設計旨在使學生整體理解數(shù)與數(shù)的運算。如何幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，建立能支撐后續(xù)學習的結(jié)構(gòu)化數(shù)學知識體系呢？

第一，用計數(shù)單位貫通數(shù)的認識和運算。運算的實質(zhì)是計數(shù)單位的累加、遞減及分解與組合。數(shù)的認識和數(shù)的運算有密切聯(lián)系，教師應基于計數(shù)和運算的一致性、連貫性，抓住“計數(shù)單位”這個核心概念，充分利用學生認識數(shù)的經(jīng)驗教學四則運算。無論是整數(shù)運算還是小數(shù)、分數(shù)運算的教學，教師都要引導學生借助認數(shù)工具、通過具體操作感受計數(shù)單位個數(shù)的變化，進而理解算理、歸納算法。

第二，用計數(shù)單位貫通整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的運算。一方面，整數(shù)計數(shù)單位和小數(shù)計數(shù)單位都是十進制關(guān)系，在十進制數(shù)位順序表中是連續(xù)遞增（遞減）排列的，教師可以引導學生將學習整數(shù)的認識和運算的經(jīng)驗遷移到學習小數(shù)的認識和運算中;另一方面，教師可以把分數(shù)加減運算中的通分上升到統(tǒng)一分數(shù)單位的高度，可以借助數(shù)形結(jié)合等思想方法幫助學生理解分數(shù)乘除法本質(zhì)上同樣是基于分數(shù)單位的運算，還可以將小數(shù)化為十進分數(shù)后教學小數(shù)乘除法。

責任編輯? 劉佳