崔恒劉中學高級教師，在《數理天地》、《中小學數學》等雜志發(fā)表文章多篇，其中有兩篇論文被中國人民大學書報資料中心編輯出版的《初中數學教與學》全文轉載，喜歡研究解題和指導學生數學寫作。

坐標確定位置，將圖形置于平面直角坐標系中，結合函數圖象背景，幾何與代數相互滲透，數形結合，共同研究圖形的面積是中考數學試卷壓軸題中常見的問題，本文在分析2021年全國中考數學卷的基礎上，從中提取兩題為例，說明平面直角坐標系下圖形面積問題的解決策略.

1 面積最值問題

例1 圖1

如圖1，在直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線的頂點為M2，-233，拋物線與x軸的一個交點為A（4，0），點B（2，23）與點C關于y軸對稱.

（1）判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由;

（2）順次連接AB，BC，CO，判斷四邊形ABCO的形狀并證明;

（3）設點P是拋物線上的動點，連接PA，PC，AC，△PAC的面積S隨點P的運動而變化，請?zhí)骄縎的大小變化并填寫表格①～④處的內容;當S的值為②時，求點P的橫坐標的值.

直線AC的函數表達式S取的一個特殊值滿足條件的P點的個數S的可能取值范圍

①64個③

②3個＼

102個④

分析 （1）已知拋物線的頂點坐標為M2，233，

設拋物線表達為

y=a（x-2）2-233，

再由拋物線與x軸的一個交點為A（4，0），將A（4，0）代入拋物線表達中，得

0=a（4-2）2-233，

解得a=36，

所以拋物線的解析式為

y=36（x-2）2-233=36x2-233x，

由點B（2，23）與點C關于y軸對稱，得點

C（-2，23）.

當x=-2時，代入拋物線表達得

y=36（-2-2）2-233=23，

所以點C在該拋物線y=36（x-2）2-233上.

圖2

（2）看圖2，直覺：四邊形ABCO是菱形.有了目標，證明不是問題.

證明 因為B（2，23），C（-2，23），

所以BC∥x軸，

BC=2-（-2）=4，

因為A（4，0），

所以OA=4，BC=OA，

所以四邊形ABCO是平行四邊形，

因為OC=（-2-0）2+（23-0）2=4，

所以OC=OA，

所以平行四邊形ABCO是菱形.

（3）①設直線AC的函數表達式為

y=kx+b，

因為A（4，0），C（-2，23），

所以4k+b=0，-2k+b=23，

解得k=-33，b=433，

直線AC的函數表達式為

y=-33x+433.

圖3

②當點P在直線AC下方的拋物線上時，如圖3，

設Pt，36t2-233t，過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，

則Ht，-33t+433，

PH=-33t+433-36t2-233t

=-36t2+33t+433，

因為滿足條件的P點有3個，

所以在直線AC下方的拋物線上只有1個點P，即S△PAC的值最大，

S△PAC=S△PHC+S△PHC

=12PH·[4-（-2）]=3PH

=3-36t2+33t+433

=-32（t-1）2+932，

所以當t=1時，S△PAC取得最大值932.

③由②知，當0

④因為滿足條件S△PAC=S的P點只有2個，而在直線AC上方的拋物線上一定有2個點P，滿足S△PAC=S，

所以在直線AC下方的拋物線上沒有點P滿足S△PAC=S，

由②知，當S>932時，在直線AC下方的拋物線上沒有點P滿足S△PAC=S，符合題意.

解題經驗積累 本題中求平面直角坐標系中三角形的面積問題，在近幾年的全國各地中考中經常會出現，值得我們總結積累解題經驗：

如圖4，過點B作BD⊥x軸，垂足是B1，交直線AC于點D，

過點A作AE⊥BD，垂足是E，過點A作AA1⊥x軸，垂足是A1，

過點C作CF⊥BD，垂足是F，過點C作CC1⊥x軸，垂足是C1，

則AE=A1B1，CF=C1B1.

圖4圖5

如圖4，S△ABC=S△ABD+S△CBD

=12×BD×AE+12×BD×CF

=12×BD×A1B1+12×BD×C1B1

=12×BD×（A1B1+C1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

如圖5，S△ABC=S△CBD-S△ABD

=12×BD×CF-12×BD×AE

=12×BD×C1B1-12×BD×A1B1

=12×BD×（C1B1-A1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

這種方法求平面直角坐標系中三角形的面積問題比用割補法在列式上簡單一點，因而不易出差錯.

2 面積比問題

例2 圖6

如圖6，拋物線y=ax2+32x+c與x軸交于點A（1，0），B，與y軸交于點C（0，-2），連接AC，BC.

（1）求拋物線的表達式和直線AC的表達式;

（2）將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點A的對應點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標;若點D不在對稱軸上，請說明理由;

（3）若點P是拋物線上位于第三象限圖象上的一動點，連接AP交BC于點Q，連接BP，△BPQ的面積記為S1，△ABQ的面積記為S2，求S1S2的值最大時點P的坐標.

分析 第1問直接用待定系數法求函數表達式，熱身題，也是為后面的問題作準備;第2問沿斜線段BC所在直線折疊三角形，看上去嚇人，其實作圖準、幾何直覺好的同學一眼可看出△ABC是直角三角形，將△ABC沿BC所在直線折疊，點D一定落在直線AC上，有了這個感覺，便有了解題的方向.第3問是本題的重點，求兩個三角形的面積比，新穎的問題，從圖形來看，△BPQ和BAQ如果以PQ，AQ為底計算面積，則它們的高是同一條垂線段，因此兩個三角形的面積比便轉化為線段的比，而線段的比通常與三角形的相似有關，我們構造相似三角形，直角坐標系中，橫平豎直方向利于用點的坐標表示線段的長度.由此構造一對相似△PGQ、△ABQ，利用相似比建立二次函數的性質求最值.

解 （1）因為拋物線y=ax2+32x+c過點A（1，0），C（0，-2），

所以0=a+32+c，-2=c，

解得a=12，c=-2.

拋物線的表達式為

y=12x2+32x-2.

設直線AC的表達式為y=kx+b，

則k+b=0，b=-2，

解得k=2，b=-2.

直線AC的表達式為y=2x-2.

（2）點D不在拋物線的對稱軸上，理由是：

由拋物線的表達式為y=12x2+32x-2得點B坐標為（-4，0）.

因為OA=1，OC=2，

所以OAOC=OCOB.

又∠AOC=∠BOC=90°，

所以△AOC∽△COB.

所以∠ACO=∠CBO.圖7

從而 ∠ACO+∠BCO

=∠CBO+∠BCO

=90°，

所以AC⊥BC.

因此將△ABC沿BC所在直線折疊，點D一定落在直線AC上，延長AC至D，使DC=AC，過點D作DE⊥y軸于點E，如圖7.

又∠ACO=∠DCE，

所以△ACO≌△DCE（AAS）.

所以DE=AO=1，

則點D橫坐標為-1，

因為拋物線的對稱軸為直線x=-32.

故點D不在拋物線的對稱軸上.

圖8

（3）分別以PQ，AQ為底計算△BPQ和△BAQ的面積（同高不等底），如圖8，

則△BPQ與△BAQ的面積比為PQAQ，

即S1S2=PQAQ.

過點P作PG∥x軸交直線BC于G，

則△PGQ∽△ABQ，

所以PQAQ=PGAB=15PG，

設過點B，C的直線表達式為

y=px+q，

因為C（0，-2），B（-4，0），

所以-2=q，0=-4p+q，

解得p=-12，q=-2.

所以過點B，C的直線解析式為

y=-12x-2.

設點Pm，12m2+32m-2，則點G的縱坐標是12m2+32m-2，代入直線BC的解析式，得

12m2+32m-2=-12x-2，

得點G的橫坐標x=-m2-3m，

所以G（-m2-3m，12m2+32m-2），

PG=-m2-3m-m=-m2-4m，

所以S1S2=PQAQ=PGAB=15PG

=15（-m2-4m）

=-15（m+2）2+45.

由于-15<0，所以當m=-2時，S1S2的值最大，其值為45，此時點P坐標為（-2，-3）.