文 藍海鵬

小學階段，學生在相關年級已經(jīng)學習了角的有關知識。在六年級復習時，需要把這些零散的知識整合起來，通過小專題的復習，促使學生將知識結構化，提升學生的綜合運用能力。同時，通過整合和拓展，有效加強小學數(shù)學與初中數(shù)學的銜接。如何基于學生對角有關知識的認識設計小初銜接拓展課呢？從中又有哪些思考？筆者設計了以下五個關于角的認識的探究性活動并加以實踐，取得了較好的效果。

一、如何用火柴判斷兩角是否相等

（一）設計說明。

此探索活動，綜合了“角的認識”“圖形的運動”等知識。指向發(fā)現(xiàn)三角形全等判定（三邊對應相等，兩三角形全等）和全等三角形的性質(zhì)（兩三角形全等，對應角相等）。

（二）活動設計與教學實施。

1.提出問題。

你能用火柴棒判斷兩個角是否相等嗎？

準備：一把三角尺、兩根長度相等的火柴棒。

呈現(xiàn)《學習單》：

2.嘗試解決。

學生在《學習單》上擺動火柴棒進行自主探究，再小組交流。

3.全班交流。

小組代表上臺匯報，教師梳理、引導。

（1）正向探索。呈現(xiàn)學生作品圖1 和圖2，你看得懂嗎？

解讀：分別在∠A 和∠A′的水平方向的邊上找點B 和B′，使AB=A′B′=2cm。火柴的一端放在點B 和B′上，另一端“斜靠”在角的另一邊上。問：圖中有哪些等量？怎樣驗證你的猜想？學生采用度量等方法進行驗證。交流發(fā)現(xiàn)：如果AC=A′C′，那么可以判斷∠A=∠A′。

進一步提出猜想：點B 和B′水平移動，如圖3，如果AB=A′B′=3cm，測得AC=A′C′，可以判斷∠A=∠A′嗎？

得出結論：如果AB=A′B′（或等于2cm、3cm……），火柴棒BC=B′C′，只要AC=A′C′，就可以判斷∠A=∠A′。

（2）逆向探索。進一步猜想：畫出兩個不相等的角，如圖4，∠A≠∠A′，AB=A′B′=3cm，觀察得到AC≠A′C′。

得出結論：如果∠A≠∠A′，那么AC≠A′C′。

4.歸納總結。

從剛才的探索中你發(fā)現(xiàn)什么？

（1）概述探究過程與結論。解決這個問題的思路為：把火柴棒“卡”在角的內(nèi)部，火柴棒的一端分別放在兩個角水平邊上的同一個位置（即AB=A′B′），如果火柴棒靠在另一邊的位置也一樣（AC=A′C′），那么∠A=∠A′。如果火柴棒靠在另一邊的位置不一樣（AC≠A′C′），那么∠A≠∠A′。

（2）發(fā)現(xiàn)新知識。兩個三角形三條邊對應相等時，這兩個三角形形狀、大小一樣，（如果把它們剪下來重疊，它們會完全重合），這時∠A=∠A′。

二、如何在方格上畫出與已知角相等的角

（一）設計說明。

此探索活動，綜合了“角的認識”“平行線的認識”等知識。指向發(fā)現(xiàn)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）和角的傾斜程度。

（二）活動設計與教學實施。

1.提出問題。

如圖5，已知方格圖上有∠AOB，你能畫出若干個與∠AOB 相等或不相等的角嗎？畫好后對比分析，思考：與已知角相等的角有什么關系？與已知角不相等的角有什么特點？

2.學生獨立操作，再交流自己的發(fā)現(xiàn)。

3.交流反饋。

呈現(xiàn)圖6 和圖7，仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生發(fā)現(xiàn)：圖6 和圖7 中，這些相等的角的一邊都在同一直線上，另一條邊都經(jīng)過一個“田字形”的左下角和右上角的頂點（在“田字形”的一條對角線上）或者是互相平行的。而圖8 中，三個角的一邊在同一直線上，已知角的另一邊經(jīng)過一個“田字形”的對角線，所畫的兩個角的另一邊分別在“日字形”和“平放的日字形”的一條對角線上，且三條邊是不平行的。

從圖7 發(fā)現(xiàn)：當∠AOB=∠A1O1B1=∠A2O2B2時，OA、O1A1、O2A2平行。反過來，OA、O1A1、O2A2平行，∠AOB=∠A1O1B1=∠A2O2B2，這三個角的位置是相同的。

對比圖6 和圖8 發(fā)現(xiàn)：當兩個角相等時，“傾斜”程度一樣；兩個角不相等時，“傾斜”程度不一樣?！皟A斜”程度越大，則角越大。

三、如何借助圖形的縮放畫出兩個相等的角

（一）設計說明。

此探索活動，綜合了“角的認識”和“圖形的縮放”等知識。指向發(fā)現(xiàn)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）和圖形的縮放性質(zhì)。

（二）活動設計與教學實施。

1.提出任務。

請用一把三角尺，請在圖9中畫出與∠BAC 相等的角。

2.學生探索，獨立畫圖，再小組交流。

3.交流反饋。

觀察圖10和圖11，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。

方法1：向外畫。如圖10，用三角尺在角的兩邊分別畫BB1=CB，AA1=CA，再連接A1B1即得到∠B1A1C=∠BAC。

方法2：向里畫。如圖11，用三角尺在角的兩邊分別找到BC和AC 的中點B1、A1，連接A1B1即得到∠B1A1C=∠BAC。

思考：還有其他畫法嗎？

四、如何借助一個三角尺或三角尺紙片畫出兩個相等的角

（一）設計說明。

此探究活動，涉及“等角”“畫角”“垂直”等知識。通過角的“局部搬遷”實現(xiàn)“整體搬遷”，指向發(fā)現(xiàn)全等三角形的判定（SSS）和性質(zhì)（全等三角形對應角相等）。

（二）活動設計與教學實施。

1.提出任務。

已知∠A，你能用一個三角尺或三角尺紙片畫出一個與∠A 相等的角嗎？

2.學生嘗試畫圖，畫好后交流。

3.集體交流。

呈現(xiàn)學生作品，如圖13 和圖14。

總結畫圖步驟：（1）如圖13，三角尺或三角尺紙片的直角頂點與∠A 的頂點重合，一條直角邊與∠A 水平方向的邊重合，∠A 的另一條邊與直角三角尺的最長邊交于點B，在尺上或三角尺紙片上標注好。（2）如圖14，畫一條射線A1P，把留在直角三角板最長邊的點畫出來。經(jīng)過點A1、B1畫射線A1B1，得到∠PA1B1，此時∠PA1B1=∠A。

4.拓展延伸。

（1）這個三角尺或三角尺紙片還可以怎么放？

（2）用另外一個三角尺怎么畫？

（3）假設∠A 是一個鈍角，怎么畫？交流后得到：把鈍角分為兩部分：直角和銳角。先畫一個直角，再用上面的方法畫出銳角部分即可（圖略）。

五、如何借助尺規(guī)畫出兩個相等的圓心角

（一）設計說明。

此探究活動，綜合了“角的認識”和“圓的認識”等內(nèi)容。指向發(fā)現(xiàn)：在同圓或等圓中要畫出兩個相等的“圓心角”，只需要找到相等的兩段弧。與初中的尺規(guī)作圖、圓心角定理等知識和方法銜接。

（二）活動設計與教學實施。

1.提出問題。

如何利用圓心角畫一個與已知角相等的角？

準備：一個圓形紙片，一把沒有刻度的直尺、一個圓規(guī)。

（1）以圓心為頂點，任意畫一個角，得到一個圓心角，如圖15。

（2）畫一個與這個圓心角相等的圓心角，怎么畫？

2.實驗路徑。

學生選擇其中一條實驗路徑進行獨立探索。探索完成后再交流。

實驗路徑1：第1 組，不給提示，自主探索。

實驗路徑2：第2 組，（實驗單）如圖15。你能在圓A 上畫一個等于∠BAC 的圓心角嗎？

學生探索后交流步驟：（1）剪下這個角，得到一個扇形；（2）在圓上剪一個一樣的扇形：把這個角的頂點貼著圓心，弧貼在圓弧上，照著這個扇形的模樣剪下來；（3）觀察兩個扇形，你發(fā)現(xiàn)什么相等的量？

學生發(fā)現(xiàn)：在同一個圓中，兩個相等的圓心角所對的弧是相等的。反過來，要畫兩個相等的圓心角，只要畫出兩段相等的弧，再把弧兩端的點分別與圓心連接，得到的兩個圓心角是相等的。

實驗路徑3：第3 組，已知∠A=∠B，分別以點A、B 為圓心，以一定長（如3cm）為半徑畫圓,如圖16。你發(fā)現(xiàn)什么相等的量？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？（把兩個角剪下來并將它們重疊在一起，或用圓規(guī)“測量”兩段?。?/p>

學生發(fā)現(xiàn)：兩個角“夾”著的弧相等。

3.總結畫圖方法。

在同圓或等圓中，畫一條與已知角所夾的弧相等的弧，把所畫的弧的兩個端點分別與圓心連接，得到的角與已知角相等。

4.出示題目：已知∠O，畫一個∠α，使得∠α=∠O。學生畫圖。

操作步驟：

（1）以已知∠O 的頂點O 為圓心，以任意長為半徑，畫一個圓，圓O 交∠O 兩邊于點A、B。

（2）畫射線OC，交圓O 于點C。

（3）在圓O 上截一段弧CD，使得弧CD 等于弧AB。

（4）畫射線OD。

此時∠COD = ∠AOB，在∠COD 上標上角的弧線，標注α。

發(fā)現(xiàn)：用圓規(guī)在同一個圓上，作兩段相等的弧，這兩段弧所對的圓心角相等

注意事項：教學時，可結合圖給出“圓心角”的概念，操作步驟可讓學生用自己的語言表達。

上面把小學學過的有關角的認識及相關知識融合起來，形成五個拓展性探究活動，不僅系統(tǒng)地關聯(lián)角的知識，還通過小專題復習和探究方式獲得新知的初步認識，有效發(fā)展學生運用所學知識解決問題、探究數(shù)學知識的能力。