四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校 (400000) 郭海峰

2018年全國Ⅰ卷第21題考察了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式等知識(shí)，該問題考察了分類討論、數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，全方位考察了學(xué)生的觀察、分析、推理論證、運(yùn)算求解等能力，體現(xiàn)了邏輯推理以及直觀想象等核心素養(yǎng).已經(jīng)有很多文章討論過該問題，本文將從“極值點(diǎn)偏移”的角度對(duì)該問題進(jìn)行分析.

一、“極值點(diǎn)”偏移的理論基礎(chǔ)

圖1 極值點(diǎn)左偏

圖2 極值點(diǎn)右偏

上述結(jié)論即是在探討x1，x2，x0滿足算術(shù)平均的關(guān)系時(shí)，探討對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系.除了此類關(guān)系外，當(dāng)x1，x2，x0滿足其他關(guān)系時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是否有類似的關(guān)系呢？2018年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題即是屬于此類問題，現(xiàn)將探究過程展示如下：

二、真題展示

三、解法呈現(xiàn)

(1)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷

(2)利用對(duì)數(shù)均值不等式

四、解法背景探究

具體如圖3所示，利用對(duì)稱性構(gòu)造出來的部分位于原函數(shù)的下方，由此即可得所證不等式成立；根據(jù)圖像，我們還可得如下命題，對(duì)于函數(shù)g(x)=lnx-x，若g(x1)=g(x2)，則可得x1x2<1.同理可得，若對(duì)稱過來的圖象在原函數(shù)的上方，則獲得相反的答案.

圖3

圖4