上海市上海中學(xué)東校 (201306) 汪海鵬

函數(shù)性質(zhì)問題是高考和競賽中常見的題型.周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)，很多題目中會(huì)出現(xiàn)周期函數(shù)的影子—與周期函數(shù)類似的函數(shù)，我們稱之為類周期函數(shù).這種題目在競賽和高考中變化多樣，形式新穎，可以很好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，備受命題人青睞.

一、考題再現(xiàn)

題目(2021年上海高考21題)如果對(duì)任意x1,x2∈R使得都有x1-x2∈S,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷并證明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)關(guān)聯(lián)？是否是[0,1]關(guān)聯(lián)？

(2)f(x)是{3}關(guān)聯(lián)的,在[0,3]上有f(x)=x2-2x,解不等式2≤f(x)≤3；

(3)“f(x)是{1}關(guān)聯(lián)的，且是[0,+∞)關(guān)聯(lián)”當(dāng)且僅當(dāng)“f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián)的”．

該題目巧妙的在新定義的情景當(dāng)中融入了類周期函數(shù)的性質(zhì)，(2)、(3)中的“f(x)是{3}關(guān)聯(lián)的“和”f(x)是{1}關(guān)聯(lián)的“就可以看作類周期函數(shù)的綜合問題.破解題目的關(guān)鍵就是結(jié)合題目中的新背景，通過分析類周期函數(shù)的性質(zhì)和圖像即可明確清晰.而(3)中的“不等式”型類周期問題的解決要求更高了，還考查到學(xué)生的不等式相關(guān)知識(shí)，以及其他數(shù)列思想,思維含量比較高，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的很好載體.

二、問題破解

解法1：(1)①設(shè)任意x1,x2∈R,且x1-x2∈[0,+∞)，則f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)關(guān)聯(lián)的.

②設(shè)x1-x2∈[0,1]，f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,2]，故f(x)=2x-1不是[0,1]關(guān)聯(lián)的.

圖1

(3)充分性：由f(x)是{1}關(guān)聯(lián)的可知，對(duì)任意x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=1.由f(x)是[0,+∞)關(guān)聯(lián)的可知函數(shù)f(x)單調(diào)不減.

設(shè)任意x1,x2∈R,且1≤x1-x2≤2，一方面f(x1)-f(x2)≥f(x2+1)-f(x2)=f(x2)+1-f(x2)=1，另一方面f(x1)-f(x2)≤f(x2+2)-f(x2)=f(x2)+2-f(x2)=2.即得f(x1)-f(x2)∈[1,2].

必要性：∵f(x+1)-f(x)≥1，f(x+2)-f(x+1)≥1，f(x+2)-f(x)≤2可以得到f(x+1)=f(x)+1.故對(duì)xf(x)也成立.

點(diǎn)評(píng)：(2)中函數(shù)類周期性質(zhì)中，當(dāng)自變量從一個(gè)周期變化到下一個(gè)周期時(shí)，其函數(shù)值發(fā)生了變化，其圖像同時(shí)發(fā)生了左右平移和上下平移，解決此類問題的關(guān)鍵時(shí)抓住函數(shù)在主值區(qū)間上的圖像，由此延拓到整個(gè)定義域上，從圖像中找出規(guī)律，然后嘗試離開圖像，直接從局部解析式中得到整個(gè)解析式，求得問題的解.(3)中“不等式”型類周期問題的解決要求更高，它不但考查有關(guān)函數(shù)的知識(shí)，還要求學(xué)生具備不等式相關(guān)知識(shí).

解法2：(1)x1-x2∈[0,+∞),f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)關(guān)聯(lián)；x1-x2∈[0,1],f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,2],f(x)=2x-1不是[0,1]關(guān)聯(lián).

圖2

②當(dāng)f(x)是[1,2]關(guān)聯(lián)，有Δx∈[1,2]，∴g(Δx)=f(x+Δx)-f(x)∈[1,2]，當(dāng)g(1)=f(x+1)-f(x)∈[1,2]，g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]時(shí)，假設(shè)g(1)>1，有f(x+1)-f(x)>1.∴f(x+2)-f(x)>f(x+1)+1-f(x)>2，又∵g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]，矛盾.故只有g(shù)(1)=1，易得g(2)=2.利用f(x+1)-f(x)=1得f(x)是{1}關(guān)聯(lián)，依次可得g(n)=n,n∈Z+，即當(dāng)Δx∈[n,n+1]，有g(shù)(Δx)∈[n,n+1]，當(dāng)n→+∞時(shí)，Δx∈[0,+∞)，g(Δx)∈[0,+∞).

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合已知條件中定義的抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用化歸思想，結(jié)合周期數(shù)列的處理方法，巧妙將題中的條件有效轉(zhuǎn)化.

三、變式拓展

通過改變真題中類周期函數(shù)的形式，由平移型改為伸縮型或者為不等式型，合理改變給出函數(shù)類周期的條件，會(huì)得到以下相應(yīng)的類似問題.

變式1 我們把定義在R上，且滿足f(x+T)=af(x)(其中常數(shù)滿足a≠1,a≠0,T≠0)的函數(shù)叫做類周期函數(shù).

(1)當(dāng)T=1，a=2時(shí)，某個(gè)類周期函數(shù)在0≤x<1時(shí)的解析式為f(x)=x2-2x，求函數(shù)y=f(x),x∈[n,n+1),n∈Z的解析式；

(2)對(duì)于確定的T>0且0

解析：(1)類周期函數(shù)在0≤x<1時(shí)的解析式為f(x)=x2-2x，當(dāng)x∈[n,n+1),n∈Z時(shí)，x-n∈[0,1),則f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n[(x-n)2-2(x-n)],所以f(x)=2n[x2-(2n+2)x+n2+2n],x∈[n,n+1),n∈Z.

(2)類周期函數(shù)T>0且00時(shí)，f(x)=an[3(x-nT)+1],x∈(nT,(n+1)T]是增函數(shù)，此時(shí)f(x)∈(an,an(3T+1)].若類周期函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上可能是單調(diào)函數(shù)，只能是增函數(shù)，即an+1>an(3T+1),故答案是a≥3T+1.

解析：由f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016可得f(x)+1≤f(x+1)，同理由f(x)+2016≥f(x+2016)遞推可知f(x)+1≥f(x+1)，從而f(x)+1=f(x+1)，進(jìn)而知{an}是等差數(shù)列.a2018=a1+2017=2019.

四、解后反思

類周期函數(shù)問題是函數(shù)綜合知識(shí)考察類型的常青樹，對(duì)這類問題的探究是基于周期函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)性質(zhì)作更深入的挖掘，它要求學(xué)生具有比較全面的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，具有類比分析、數(shù)形結(jié)合等解題思想能力，是高考和競賽試題中的難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生有很好的考察功能.