馬 捷，李 銳，王 華

（1. 東南大學(xué)交通學(xué)院，江蘇南京 211189；2. 道路交通工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心（東南大學(xué)），江蘇南京 211189；3.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京 210024；4. 新加坡國立大學(xué)土木與環(huán)境工程系，新加坡 117576）

隨著共享經(jīng)濟(jì)的興起，共享出行成為當(dāng)前城市交通網(wǎng)絡(luò)的重要出行方式［1］，共乘出行（即順風(fēng)車出行等）作為共享出行的典型形式之一也受到廣大交通出行者的青睞［2-3］。共乘出行是指具有共同出行起訖點(diǎn)的出行者們通過網(wǎng)約車平臺進(jìn)行匹配并分別成為共乘駕駛員和共乘乘客，乘客通過支付一定補(bǔ)償費(fèi)用給駕駛員從而分擔(dān)出行費(fèi)用的一種出行方式，可在降低出行者出行費(fèi)用的同時(shí)滿足出行者的出行需求［1］。雖然共乘出行占當(dāng)前城市交通網(wǎng)絡(luò)中機(jī)動車的出行比例仍較低，但是由于城市交通網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，共乘出行交通方式已經(jīng)極大地改變了城市交通網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和出行者的出行需求［4］。交通流量是交通網(wǎng)絡(luò)中最重要的變量之一，建立城市交通網(wǎng)絡(luò)模型是預(yù)測和分析交通流量的重要手段。通過城市交通網(wǎng)絡(luò)建模，可以實(shí)現(xiàn)交通規(guī)劃和管理的諸多功能，如制定共乘價(jià)格、估計(jì)通行時(shí)間、設(shè)計(jì)交通網(wǎng)絡(luò)等。因此，建立考慮了共乘出行的城市交通網(wǎng)絡(luò)模型，分析共乘出行對交通流量的影響，量化出行費(fèi)用對出行需求的影響程度，這將有力地支撐共乘出行城市交通系統(tǒng)的科學(xué)規(guī)劃與設(shè)計(jì)。

考慮了共乘出行的城市交通網(wǎng)絡(luò)（下文簡稱共乘交通網(wǎng)絡(luò)）的出行用戶分為3類：單獨(dú)出行的駕駛員（即傳統(tǒng)私人小汽車出行方式的出行者）、共乘駕駛員和共乘乘客。共乘駕駛員和共乘乘客通過網(wǎng)約車平臺實(shí)現(xiàn)匹配，乘坐共乘駕駛員的車輛出發(fā)并到達(dá)目的地。未參與或未成功實(shí)現(xiàn)匹配的用戶將作為單獨(dú)出行的駕駛員（即傳統(tǒng)私人小汽車出行方式）獨(dú)自完成出行。共乘交通網(wǎng)絡(luò)中的出行者是存在轉(zhuǎn)移關(guān)系的，即數(shù)量不是固定不變的。例如，當(dāng)單獨(dú)出行的駕駛員發(fā)現(xiàn)共乘駕駛員（或共乘乘客）的綜合出行成本更低時(shí)，將放棄單獨(dú)出行而選擇成為共乘駕駛員（或共乘乘客）。由此產(chǎn)生的流量變化受到相互作用的綜合出行成本、供需關(guān)系以及出行者選擇行為的影響，是用戶自由選擇的結(jié)果，因此無法通過交通調(diào)查的方式獲得。同時(shí)，與傳統(tǒng)出行方式不同，共乘出行用戶的交通流量之間還存在制約關(guān)系，這是因?yàn)楣渤顺丝偷牧髁坎荒苄∮诠渤笋{駛員的流量，也不能大于共乘車輛的最大容量。此外，交通流量的這種約束還可能為模型帶來新的乘子，導(dǎo)致傳統(tǒng)交通分配算法的失效。以上原因?yàn)楣渤私煌ňW(wǎng)絡(luò)建模帶來了巨大的挑戰(zhàn)［5］。Xu等［5］建立了首個(gè)共乘出行的交通分配模型，即共乘出行用戶均衡（RUE）模型。該模型描述了共乘駕駛員和共乘乘客之間的流量關(guān)系，但只能計(jì)算單一的共乘服務(wù)，無法細(xì)化不同種類共乘服務(wù)的用戶流量。Ma 等［6］提出了共乘出行的浮動定價(jià)策略和共乘匹配約束，并改進(jìn)了RUE 模型，用以計(jì)算和預(yù)測多種共乘服務(wù)的出行流量。

然而，現(xiàn)有的RUE模型均假設(shè)用戶完全掌握出行費(fèi)用的全部信息，而現(xiàn)實(shí)中用戶對出行費(fèi)用的感知具有隨機(jī)性［7-9］。此外，用戶的出行需求也不是固定不變的，受到出行費(fèi)用的影響［10-12］，而現(xiàn)有RUE模型假設(shè)需求是固定不變的。因此，考慮用戶對出行費(fèi)用感知的隨機(jī)性以及出行費(fèi)用對出行需求的影響是當(dāng)前共乘交通網(wǎng)絡(luò)研究的難點(diǎn)。

基于Logit選擇模型和彈性需求函數(shù)，構(gòu)建考慮彈性需求的Logit 隨機(jī)共乘用戶均衡（SRUEED）問題的變分不等式模型，保證模型解的唯一性。然后，采用全局最優(yōu)的自適應(yīng)并行投影算法求解了SRUEED 問題，該算法通過并行計(jì)算的方式極大地降低了內(nèi)存需求和計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算可行性。最后，通過2個(gè)算例驗(yàn)證了算法的有效性，并通過敏感性分析得到了共乘出行需求和平均出行時(shí)間的影響因素。

1 共乘交通網(wǎng)絡(luò)

1.1 流量守恒

首先，建立共乘交通網(wǎng)絡(luò)G=(N，A)，其中N表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的集合，A表示路段的集合；然后，分別建立單獨(dú)出行的駕駛員、共乘駕駛員和共乘乘客的集合Ds、Dr和R，并建立泛指各類用戶的集合I，即I=Ds∪Dr∪R。此外，每個(gè)類別的用戶還可以包含不同的角色。例如，如果共乘駕駛員最多允許搭乘2名乘客，就可以令i=1 ∈Ds表示單獨(dú)出行的駕駛員，i=2，3 ∈Dr分別表示搭載了1 名乘客和2 名乘客的共乘駕駛員，i=4，5 ∈R則分別表示共乘駕駛員i=2，3 所搭載的乘客。出行的起訖點(diǎn)分別用O和D 表示，共乘交通網(wǎng)絡(luò)中3 類用戶之間的關(guān)系如圖1所示。

令w∈W表示出行起訖點(diǎn)對（即O-D 對），p∈Pw表示連接O-D對w的路徑，qw表示O-D對w之間的出行需求，fw，p，i表示路徑p上角色i的流量，xa和xa，i分別表示路段a∈A上的車流量和路段a上角色i的流量。共乘交通網(wǎng)絡(luò)具有如下交通流量守恒關(guān)系：

式中：δw，a，p表示路段-路徑關(guān)聯(lián)變量。當(dāng)路段a屬于路徑p時(shí)，δw，a，p=1，否則δw，a，p=0。

1.2 共乘匹配約束

由于共乘駕駛員需要匹配共乘乘客才能完成共乘出行，因此共乘駕駛員與共乘乘客之間始終保持著顯式的數(shù)量關(guān)系［6］。Ma等［6］由此提出了以下共乘匹配約束：

式中：Tr(i)表示共乘駕駛員i接乘的乘客，Tr(2)=4表示共乘駕駛員類型2所接乘的乘客類型4；Ni表示共乘駕駛員i分享的座位數(shù)。

1.3 廣義出行費(fèi)用

共乘出行涉及多種出行費(fèi)用，部分文獻(xiàn)將出行費(fèi)用總結(jié)為以下幾類：出行時(shí)間費(fèi)用、不便費(fèi)用、共乘價(jià)格和報(bào)酬以及溢價(jià)和補(bǔ)貼。其中，溢價(jià)和補(bǔ)貼與共乘出行服務(wù)的供需相關(guān)，因此溢價(jià)和補(bǔ)貼以外費(fèi)用的總和稱為出行費(fèi)用，出行費(fèi)用加上溢價(jià)和補(bǔ)貼稱為廣義出行費(fèi)用［5-6，13］。由于研究的是隨機(jī)共乘均衡問題，因此不涉及具體的廣義出行費(fèi)用函數(shù)的設(shè)計(jì)。廣義出行費(fèi)用采用文獻(xiàn)［6］給出的一般形式，如下所示：

令x=(xa，a∈A)T表示路段a上車流量向量，f=(fw，p，i，w∈W，p∈Pw，i∈I)T表示路徑p上角色i流量向量，用tw，p(x)表示路徑p的出行時(shí)間，則有

式中：ρi表示角色i的時(shí)間價(jià)值；Ii(tw，p)表示角色i的不便費(fèi)用，該費(fèi)用與出行時(shí)間和共乘人數(shù)有關(guān)，出行時(shí)間越長或共乘人數(shù)越多則不便費(fèi)用越大，因此不便費(fèi)用是出行時(shí)間tw，p的單調(diào)遞增函數(shù)，并且由于每種共乘出行服務(wù)都有各自不同的共乘人數(shù)，因此每種角色i都有各自適用的不便費(fèi)用函數(shù)Ii(tw，p)；Bw，i表示共乘出行的基準(zhǔn)價(jià)格（或報(bào)酬），該價(jià)格（或報(bào)酬）與O-D對w和角色i有關(guān)，對于共乘駕駛員來說該項(xiàng)費(fèi)用表示共乘報(bào)酬，對于乘客來說該項(xiàng)費(fèi)用表示共乘價(jià)格；Mi(sw，i)表示浮動報(bào)酬，是共乘出行供給的單調(diào)遞減函數(shù)，即O-D對之間的共乘駕駛員越多則平均浮動報(bào)酬越低；Mi(dw，i)表示浮動價(jià)格，是共乘出行需求的單調(diào)遞增函數(shù)，即O-D對之間的乘客越多則平均浮動價(jià)格越高；ct表示與出行時(shí)間和里程無關(guān)的固定費(fèi)用，如購車費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)用、停車費(fèi)用等。

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)市場出清原理［5］，共乘出行的溢價(jià)和補(bǔ)貼與供需平衡有關(guān)，并且數(shù)值上剛好等于共乘匹配約束所對應(yīng)的拉格朗日乘子。因此，共乘出行的廣義出行費(fèi)用

式中：λw，p，i表示共乘匹配約束（4）所對應(yīng)的拉格朗日乘子；Trd(i)表示接乘共乘乘客i的共乘駕駛員類型。C?w=(C?w，p，i，p∈Pw，i∈I)T，w∈W表示O-D 對w的廣義出行費(fèi)用向量。

2 彈性需求的Logit 隨機(jī)共乘用戶均衡條件

2.1 基于Logit的隨機(jī)共乘用戶均衡

由于網(wǎng)約車公司會為共乘駕駛員和共乘乘客提供共乘報(bào)價(jià)，因此共乘出行的價(jià)格和報(bào)酬較為精確，但共乘用戶感知的出行時(shí)間是不確定的，廣義出行費(fèi)用的隨機(jī)性主要來自于實(shí)際出行時(shí)間的不確定，因此感知的廣義出行費(fèi)用是一個(gè)隨機(jī)變量，表達(dá)式如下所示：

式中：θ為用戶感知離散參數(shù)，θ=π/ 6σ。θ越大表示分布的方差越小，用戶對廣義出行費(fèi)用的感知越精準(zhǔn)。

2.2 彈性需求

現(xiàn)實(shí)中的出行需求并不是固定不變的，城市交通網(wǎng)絡(luò)以及交通行為選擇領(lǐng)域中許多成熟的研究表明，出行需求與平均服務(wù)水平正相關(guān)，與用戶感知的最小廣義出行費(fèi)用的期望負(fù)相關(guān)［17-20］。由于出行需求最大不能超過出行人數(shù)、最小不為負(fù)數(shù)，因此出行需求會受上下界的約束。根據(jù)城市交通網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究成果［17-20］，采用Sw表示用戶感知的最小廣義出行費(fèi)用的期望值并建立彈性需求函數(shù)，如下所示：

式中：qˉw為常數(shù)，表示出行需求的上界；ew(Sw)是關(guān)于Sw的單調(diào)不增的連續(xù)可微函數(shù)。

由式（8）可知，用戶感知的廣義出行費(fèi)用是一個(gè)隨機(jī)變量，因此最小用戶感知的廣義出行費(fèi)用也是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)期望的定義對Logit 選擇模型的用戶感知最小廣義出行費(fèi)用進(jìn)行推導(dǎo)［19］，可知

3 彈性需求的Logit 隨機(jī)共乘用戶均衡模型

接下來，驗(yàn)證該模型的解的等價(jià)性、存在性以及唯一性，即該模型的解符合彈性需求的Logit隨機(jī)共乘用戶均衡條件、解存在并且是唯一的。

定理1（等價(jià)性）模型（16）的解符合彈性需求的Logit隨機(jī)共乘用戶均衡條件。

證明：模型（16）顯然等價(jià)于

即彈性需求的Logit 隨機(jī)共乘用戶均衡條件。命題得證。

此處注意，雖然數(shù)學(xué)規(guī)劃（18）與模型（16）等價(jià)，但是由于f*未知，導(dǎo)致數(shù)學(xué)規(guī)劃（18）沒有顯式表達(dá)，因此無法直接作為模型。

2.5.1 創(chuàng)面出血 術(shù)中嚴(yán)格止血、確認(rèn)無活動性出血后方能結(jié)束手術(shù)。拔除尿管前輕度出血可暫時(shí)觀察并行膀胱沖洗，牽拉尿管以壓迫電切創(chuàng)面。如果術(shù)后出現(xiàn)下列情況，應(yīng)急診在電切鏡下清除血凝塊并重新止血：①膀胱沖洗液顏色突然變紅，經(jīng)牽拉氣囊無緩解；②血紅蛋白持續(xù)性下降；③出現(xiàn)血壓顯著下降及心率顯著加快；④膀胱內(nèi)血凝塊形成，經(jīng)常規(guī)抽吸無法恢復(fù)沖洗通暢。術(shù)后1～3個(gè)月內(nèi)應(yīng)避免刺激性食物及劇烈活動，保持大便通暢。如出現(xiàn)輕度血尿，囑患者多飲水，嚴(yán)重出血或形成膀胱內(nèi)血腫時(shí)處理同圍手術(shù)期。

定理2（存在性）模型（16）的解存在。

證明：由集合Ω的定義可知，Ω是一個(gè)緊集。由于函數(shù)φ( )· 在緊集Ω上連續(xù)，因此根據(jù)Nagurney 的定理1.4可知［6］，變分不等式模型（16）的解存在。命題得證。

定理3（唯一性）模型（16）的解唯一。

證明：首先計(jì)算向量函數(shù)φ(f)的Jacobian 矩陣，如下所示：

因此，根據(jù)矩陣半正定的判定條件，J3也是半正定的。由J=J1+J2+J3可知J正定，即向量函數(shù)φ(f)關(guān)于向量f單調(diào)。根據(jù)Pang 和Facchinei 的定理2.3.3（a）［6］可知，模型（16）的解唯一。命題得證。

4 自適應(yīng)并行投影算法

在證明了研究問題的解存在且唯一之后，基于全局最優(yōu)的自適應(yīng)投影算法［22］，提出自適應(yīng)并行投影算法并對該問題進(jìn)行求解。由于城市交通網(wǎng)絡(luò)往往規(guī)模較大，現(xiàn)有的算法難以求解，因此基于并行計(jì)算的思想將原問題按照O-D 對分解成若干個(gè)子問題，每個(gè)子問題求解一個(gè)O-D 對的路徑流量，最后將各個(gè)O-D對的路徑流量解合并即為原問題的解。相比于自適應(yīng)投影算法，所提出的算法極大地減少了對內(nèi)存的占用，適合求解大規(guī)模的交通分配問題。此處定義可行集里到向量最近的點(diǎn)為該向量在可行集上的投影，即：

該算法的收斂性證明詳見He等［22］的證明。下文將通過文獻(xiàn)中常用的2個(gè)城市交通網(wǎng)絡(luò)Braess網(wǎng)絡(luò)和Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)算例對上述模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證。

5 算例研究

采用2 個(gè)城市交通網(wǎng)絡(luò)算例驗(yàn)證彈性需求的Logit 隨機(jī)共乘用戶均衡模型和自適應(yīng)并行投影算法。算例中使用的廣義出行費(fèi)用函數(shù)的具體形式如式（38）所示，彈性需求函數(shù)如式（39）所示，模型和算法中相關(guān)參數(shù)的具體數(shù)值如表1所示。

表1 參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings

式中：μ為彈性需求參數(shù)。

5.1 Braess網(wǎng)絡(luò)

Braess 網(wǎng)絡(luò)出行需求的上界qˉ=6，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及各條路段的出行時(shí)間函數(shù)如圖2 所示，x1～x5和t1～t5分別表示Braess 網(wǎng)絡(luò)中各路段的流量和出行時(shí)間。對彈性需求參數(shù)和用戶感知離散參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。

圖2 Braess網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Braess network

彈性需求參數(shù)μ的敏感性分析如圖3 所示。結(jié)果表明，隨著用戶的出行需求對出行費(fèi)用的敏感度增加，出行需求和平均出行時(shí)間降低。這是因?yàn)橛脩魧煌〒頂D的厭惡驅(qū)使用戶選擇其他出行方式或放棄出行。研究表明，交通擁擠的大城市的用戶對出行費(fèi)用更為敏感［24］。由于共乘出行在滿足出行需求的同時(shí)減少了道路上的車流量，緩解了交通擁擠，因此在大城市中發(fā)展共乘出行更易得到共乘用戶的支持。

圖3 彈性需求參數(shù)的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis on elastic demand parameter

用戶感知離散參數(shù)θ的敏感性分析如圖4所示。結(jié)果表明，用戶對出行費(fèi)用的感知越精確，出行需求和平均出行時(shí)間就越小。因此，如果用戶配備了導(dǎo)航或其他先進(jìn)的出行信息系統(tǒng)，平均出行時(shí)間就會減少，交通擁堵就會得到明顯緩解。由于網(wǎng)約車平臺會為共乘出行提供出行信息和導(dǎo)航信息，因此共乘出行的普及將會有利于交通擁堵緩解。

圖4 用戶感知離散參數(shù)的敏感性分析Fig.4 Sensitivity analysis on user perception dispersion parameter

5.2 Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)

由于城市交通網(wǎng)絡(luò)問題通常是一個(gè)大規(guī)模問題，計(jì)算交通流量的全局最優(yōu)解往往需要消耗大量的計(jì)算資源和計(jì)算時(shí)間，因此采用一個(gè)大規(guī)模城市交通網(wǎng)絡(luò)Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)對算法的計(jì)算可行性進(jìn)行驗(yàn)證。Sioux-Falls 網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖5所示。該網(wǎng)絡(luò)的路段出行時(shí)間函數(shù)以及出行需求的上界qˉw詳見文獻(xiàn)［6］，其他參數(shù)設(shè)置與表1一致。用K短路算法［23］為每個(gè)O-D 對尋找10 條最短路徑作為路徑集Pw。自適應(yīng)并行投影算法用時(shí)1.24 h達(dá)到1%的精度，該網(wǎng)絡(luò)路段流量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)的路段流量Tab.2 Link flow of Sioux-Falls network

圖5 Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Sioux-Falls network

表3顯示了各類出行角色在Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)中的總流量，反映了在當(dāng)前選取的參數(shù)下網(wǎng)絡(luò)中大部分出行者仍然是單獨(dú)出行的駕駛員。本算例中，Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)的共乘出行者與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)相比比例偏高，這是因?yàn)楸舅憷齼H為驗(yàn)證所提出的方法，所以采用的參數(shù)是隨機(jī)的。在工程應(yīng)用中可以獲取具體城市交通網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵參數(shù)的準(zhǔn)確值從而得到精確的流量預(yù)測結(jié)果。

表3 Sioux-Falls網(wǎng)絡(luò)的出行角色流量Tab.3 Role flow of Sioux-Falls network

6 結(jié)語

通過分析用戶出行需求與出行費(fèi)用的相互作用關(guān)系，建立了共乘交通網(wǎng)絡(luò)，分析了共乘出行對城市交通網(wǎng)絡(luò)的影響以及共乘出行的流量變化。通過共乘匹配約束描述了共乘交通流量之間的相互制約關(guān)系，基于Logit選擇模型探究了用戶對出行費(fèi)用感知的隨機(jī)性。通過彈性需求描述了出行費(fèi)用對出行需求的影響，建立了彈性需求的Logit隨機(jī)共乘用戶均衡的變分不等式模型，并嚴(yán)格證明了該模型的解的等價(jià)性、存在性和唯一性。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)并行投影算法，降低了求解大規(guī)模交通分配問題的內(nèi)存需求和計(jì)算時(shí)間，求解了所提出模型并得到了全局最優(yōu)解。通過2個(gè)算例驗(yàn)證了所提出模型和算法的有效性，結(jié)合敏感性分析得出了影響出行需求和平均出行時(shí)間的因素，最后用大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)驗(yàn)證了算法的計(jì)算可行性。

作者貢獻(xiàn)聲明：

馬 捷：方案設(shè)計(jì)，論文撰寫，基金支持。

李 銳：方案設(shè)計(jì)，論文修改，稿件校對。

王 華：方案設(shè)計(jì)，論文修改，稿件校對。