閆 黃，張小寧

（同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092）

樞紐失效情形屬于選址問(wèn)題研究中的不確定性因素。不確定性選址問(wèn)題主要考慮供給側(cè)和需求側(cè)的不確定性［1］，如：供給側(cè)中設(shè)施的服務(wù)時(shí)間不確定、服務(wù)能力波動(dòng)以及惡劣交通狀況的影響，需求側(cè)中需求的數(shù)量波動(dòng)、非周期性響應(yīng)以及需求分布不平衡等。在實(shí)際情況下，需求側(cè)的不確定性只會(huì)增加設(shè)施選址問(wèn)題的復(fù)雜性和選址方案的費(fèi)用，供給側(cè)的不確定性往往使得服務(wù)質(zhì)量下降甚至中斷，導(dǎo)致更嚴(yán)重的后果。缺乏對(duì)樞紐失效情形的考慮，將會(huì)使得原有設(shè)施網(wǎng)絡(luò)下的需求服務(wù)產(chǎn)生巨大費(fèi)用。例如，在交通樞紐失效情形下，需要將失效樞紐服務(wù)需求轉(zhuǎn)移至其他設(shè)施，導(dǎo)致交通費(fèi)用大幅增加。因此，在確定選址分配方案時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮突發(fā)情況下樞紐失效的情形，進(jìn)而使得樞紐設(shè)施網(wǎng)絡(luò)無(wú)論在正常情況下還是在突發(fā)情況下，都能取得良好的服務(wù)效果。

關(guān)于樞紐失效情形下選址問(wèn)題的研究主要包括以下3個(gè)方面：

（1）關(guān)鍵設(shè)施識(shí)別（中斷模型）

中斷模型最早用于軍事實(shí)踐中交通網(wǎng)絡(luò)重要路段失效后影響的評(píng)估［2-3］。Church等［4］首次將中斷模型應(yīng)用于選址問(wèn)題，以識(shí)別設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中最脆弱的部分，即哪些設(shè)施的失去會(huì)對(duì)系統(tǒng)服務(wù)產(chǎn)生最大的影響。中斷模型通常假設(shè)設(shè)施完全失效，這與實(shí)際并不相符。為此，Church 等［5］假設(shè)設(shè)施完全失效服從一定概率，研究了以一定依概率失效的中斷模型。Losada等［6］假設(shè)樞紐失效概率與突發(fā)事件強(qiáng)度或者襲擊中使用的進(jìn)攻資源有關(guān)，對(duì)模型進(jìn)行了拓展研究。Lei 等［7］研究了一類(lèi)特殊情況，即樞紐失效情形下所有的需求并非由其最近設(shè)施提供服務(wù)。此外，部分研究還拓展了中斷模型的容量限制假設(shè)。Scaparra等［8］提出了有容量限制的中斷模型。Aksen等［9］提出了部分容量限制的中斷模型，即突發(fā)狀況下某些中斷設(shè)施保留部分服務(wù)能力，只損失有限的容量。

（2）重要設(shè)施保護(hù)（加固模型）

加固模型一般為雙層模型，上層模型決定保護(hù)哪些設(shè)施，下層模型評(píng)估未被保護(hù)的設(shè)施在受襲后產(chǎn)生的影響［10-11］。加固模型保護(hù)的資源有預(yù)算限制，而保護(hù)不同設(shè)施所花費(fèi)的成本也不相同，相關(guān)研究已對(duì)保護(hù)設(shè)施所付出的費(fèi)用與設(shè)施中斷造成的損失進(jìn)行權(quán)衡。因雙層模型求解非常困難，Church等［5］和Scaparra等［12］將加固模型轉(zhuǎn)為單層模型求解，需要窮舉出已有設(shè)施中所有可能的中斷情況，這使得模型的求解隨著設(shè)施網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和中斷設(shè)施數(shù)量的增加而變得十分棘手［13］。Aksen等［14］提出了預(yù)算限制下可變?nèi)萘康募庸棠Ｐ?，?duì)可保護(hù)的資源進(jìn)行限制，同時(shí)假設(shè)不同的保護(hù)費(fèi)用和可變的容量。Liberatore等［15］面對(duì)大規(guī)模樞紐設(shè)施情形，考慮了設(shè)施的容量限制、設(shè)施的部分中斷以及相鄰設(shè)施失效的影響。

在實(shí)際情況下，失效的樞紐需要一定的恢復(fù)時(shí)間，這期間整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行處于降級(jí)狀態(tài)。Losada等［16］針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，在加固模型中不是阻止樞紐失效，而是調(diào)動(dòng)資源加速恢復(fù)失效的設(shè)施。通常加固模型假設(shè)加固后的設(shè)施在任何情形下都不會(huì)失效，但這并不符合實(shí)際。為此，Bricha 等［17］提出加固后的設(shè)施對(duì)于突發(fā)事件的預(yù)防效果服從一定的概率。此外，Zhu 等［18］利用博弈論模型對(duì)無(wú)容量限制且固定費(fèi)用的選址問(wèn)題提出了最優(yōu)防御策略，通過(guò)不同的防御等級(jí)措施使系統(tǒng)的損失最小化。

（3）服務(wù)策略設(shè)計(jì)

前述2種模型是在現(xiàn)有系統(tǒng)下考慮樞紐失效情形的相關(guān)研究。在設(shè)施規(guī)劃建設(shè)前，如何采取有效措施增強(qiáng)樞紐失效情形下服務(wù)的效率和彈性，是決策者關(guān)心的第3 個(gè)問(wèn)題。相關(guān)研究表明，在初始設(shè)計(jì)中考慮潛在的樞紐失效風(fēng)險(xiǎn)、通過(guò)服務(wù)策略設(shè)計(jì)確定成本最小目標(biāo)、對(duì)突發(fā)事件采取魯棒性的設(shè)施選址策略，能夠在不顯著增加運(yùn)營(yíng)成本的情況下，有效地提高系統(tǒng)的可靠性［19］。根據(jù)決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度，選址模型可以分為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避模型和風(fēng)險(xiǎn)中立模型。

風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避模型通常將中斷模型作為下層模型以計(jì)算最壞場(chǎng)景下的系統(tǒng)損失，而上層模型則是確定最佳設(shè)施位置。與加固模型中的雙層規(guī)劃相比，此類(lèi)模型的求解更加困難。O’Hanley 等［20］通過(guò)分解方法解決了最大覆蓋的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避問(wèn)題。Parvaresh等［21］通過(guò)模擬退火和禁忌搜索算法解決了中位風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避問(wèn)題。部分風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避模型將加固設(shè)計(jì)作為服務(wù)策略進(jìn)行建模［22-24］。

風(fēng)險(xiǎn)中立模型假設(shè)樞紐失效是隨機(jī)的，目標(biāo)函數(shù)為期望費(fèi)用最小。1987年，Drezner［25］在研究不可靠設(shè)施問(wèn)題時(shí)已假設(shè)設(shè)施的失效概率相同，但直到2005 年，Snyder 等［19］才針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題提出了可靠性中位選址問(wèn)題和固定費(fèi)用問(wèn)題。2 個(gè)問(wèn)題都是計(jì)算樞紐失效情形下期望的交通費(fèi)用，通過(guò)選擇設(shè)施的位置使系統(tǒng)的總費(fèi)用最小化。然而，模型假設(shè)樞紐失效概率相同，這與實(shí)際并不相符。為此，Berman等［26］首次使用單點(diǎn)獨(dú)立概率計(jì)算模型，但該模型具有高度非線性，只能通過(guò)啟發(fā)式算法求解。近年來(lái)，Cui等［27］和Lei［28］通過(guò)線性混合整數(shù)規(guī)劃模型完成了不同失效概率的建模。風(fēng)險(xiǎn)中立模型的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是設(shè)施關(guān)聯(lián)性和信息不確定性。Li 等［29］和Berman 等［30］給出有關(guān)設(shè)施關(guān)聯(lián)失效的例子。Berman 等［31］詳細(xì)分析了有關(guān)信息對(duì)可靠性選址設(shè)計(jì)的重要性，并假設(shè)需求按照最近距離次序訪問(wèn)各個(gè)設(shè)施。Yun等［32］研究了不完全信息下的可靠性選址模型，給出旅客的最優(yōu)訪問(wèn)次序。此后，Yun等［33-34］又將此模型拓展到單點(diǎn)獨(dú)立概率模型。

綜上所述，對(duì)于樞紐失效情形下選址問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了一定的成果。然而，這些選址模型主要針對(duì)單一設(shè)施類(lèi)型的選址模型，缺乏對(duì)層級(jí)樞紐設(shè)施選址模型的研究，也很少考慮設(shè)施的容量限制，而且在多級(jí)分配策略中未對(duì)每個(gè)需求點(diǎn)分配的設(shè)施數(shù)量進(jìn)行限制。針對(duì)城市群客運(yùn)樞紐選址可靠性研究，決策者更加希望在規(guī)劃階段就能夠?qū)屑~設(shè)施失效的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)策納入選址方案中，以便在突發(fā)情況下為旅客提供相應(yīng)的應(yīng)急服務(wù)策略，從而使得樞紐設(shè)施網(wǎng)絡(luò)更具彈性。旅客對(duì)于突發(fā)情況的信息獲取往往滯后，只能通過(guò)“試錯(cuò)”的方式尋找可以提供服務(wù)的樞紐。因此，基于已有研究，利用Yun等［32］提出的服務(wù)策略，在需求點(diǎn)分配的設(shè)施數(shù)量以及設(shè)施容量限制的條件下，構(gòu)建可靠性客運(yùn)樞紐層級(jí)選址模型，優(yōu)化城市群客運(yùn)樞紐層級(jí)選址方案。

1 模型建立

1.1 基本設(shè)定

考慮樞紐失效情形下的城市群客運(yùn)樞紐層級(jí)選址問(wèn)題。具體而言，在旅客選擇的樞紐由于突發(fā)狀況失效后，旅客將依次前往后續(xù)可選樞紐設(shè)施尋求出行服務(wù)，直至找到正常狀態(tài)的樞紐設(shè)施滿(mǎn)足出行需求。圖1給出了樞紐失效情形下可能發(fā)生的樞紐訪問(wèn)過(guò)程，分別以一級(jí)不可選需求和二級(jí)可選需求2個(gè)類(lèi)別為例，說(shuō)明混合式服務(wù)模式下［35］城市群旅客層級(jí)出行需求訪問(wèn)過(guò)程的特點(diǎn)。對(duì)于一級(jí)不可選需求而言，旅客只能訪問(wèn)一級(jí)需求接駁范圍內(nèi)的一級(jí)樞紐設(shè)施（見(jiàn)圖1）?？赡茉L問(wèn)過(guò)程為：旅客先到達(dá)1號(hào)樞紐設(shè)施，若1號(hào)樞紐設(shè)施失效，則前往2號(hào)樞紐設(shè)施；若2號(hào)樞紐設(shè)施失效，則前往3號(hào)樞紐設(shè)施；若3號(hào)樞紐設(shè)施狀態(tài)正常，則旅客接受出行服務(wù)，若3號(hào)設(shè)施樞紐失效，則旅客可能選擇放棄出行而回到需求點(diǎn)，或者前往超出接駁范圍內(nèi)的一級(jí)樞紐設(shè)施（4號(hào)樞紐設(shè)施），這2種情況都使得旅客承擔(dān)了相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)損失，因此統(tǒng)一稱(chēng)為懲罰費(fèi)用下的出行。類(lèi)似地，對(duì)于二級(jí)可選需求，旅客正常可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施處于二級(jí)需求接駁范圍內(nèi)，但是旅客可以選擇超出接駁范圍的二級(jí)樞紐設(shè)施或者三級(jí)樞紐設(shè)施，直至接受到出行服務(wù)或者被迫完成懲罰費(fèi)用下的出行。

圖1 樞紐失效情形下可能發(fā)生的樞紐訪問(wèn)過(guò)程Fig.1 Possible process of visiting hubs under the failure of the hub

在建模之前，作出如下假設(shè)：

（1）按照城市群內(nèi)的行政區(qū)域規(guī)劃進(jìn)行小區(qū)劃分，每個(gè)小區(qū)簡(jiǎn)化為一個(gè)需求點(diǎn)，需求點(diǎn)包含3種等級(jí)的出行需求，即短距離、中距離和長(zhǎng)距離出行。各個(gè)等級(jí)的需求有最大可接受出行距離，即需求點(diǎn)到設(shè)施位置不超過(guò)一定閾值，并且閾值隨著需求等級(jí)的增高而增大。

（2）樞紐設(shè)施根據(jù)提供的不同交通方式分為3個(gè)等級(jí)，即公路客運(yùn)樞紐、鐵路客運(yùn)樞紐和航空客運(yùn)樞紐。各個(gè)等級(jí)的樞紐有相應(yīng)的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用，而且費(fèi)用隨著所在區(qū)域的不同而存在差異。

（3）不考慮旅客的選擇行為，各個(gè)需求點(diǎn)的旅客處于不完全信息條件下，按照預(yù)先指定的次序逐一訪問(wèn)樞紐設(shè)施，只有到達(dá)樞紐設(shè)施后才能獲取樞紐設(shè)施的狀態(tài)，直到找到正常狀態(tài)的樞紐設(shè)施滿(mǎn)足出行需求。當(dāng)所有可選樞紐設(shè)施都處于失效狀態(tài)時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的懲罰費(fèi)用，懲罰費(fèi)用與需求的類(lèi)型相關(guān)。

（4）采用單分配策略，每個(gè)需求點(diǎn)同一類(lèi)別的出行需求只能分配到同一個(gè)樞紐。

（5）將訪問(wèn)階段樞紐設(shè)施之間的出行費(fèi)用按照接駁費(fèi)用計(jì)算。

（6）處于不同位置不同等級(jí)樞紐設(shè)施的失效概率相同，各個(gè)樞紐的失效概率相互獨(dú)立，各個(gè)等級(jí)樞紐有最大容量限制。

文中符號(hào)的定義如表1所示。

表1 符號(hào)定義Tab.1 Definition of symbols

1.2 樞紐失效情形

在樞紐失效情形下，基于旅客處于不完全信息的假設(shè)可知，旅客出行主要分為3 個(gè)階段。第一階段，旅客由需求點(diǎn)出發(fā)，前往需要訪問(wèn)的第一個(gè)樞紐設(shè)施；第二階段，由失效的樞紐設(shè)施出發(fā)，按照分配次序前往下一個(gè)未知狀態(tài)的樞紐設(shè)施；第三階段，若分配的樞紐設(shè)施全部失效，則進(jìn)行懲罰費(fèi)用下的出行。

前2 個(gè)階段中任意2 點(diǎn)間的出行費(fèi)用按照接駁交通出行費(fèi)用φij1j2計(jì)算，如下所示：

若第1個(gè)樞紐設(shè)施備選點(diǎn)處于失效狀態(tài)，則進(jìn)入第二階段，旅客按照分配次序前往第2個(gè)樞紐設(shè)施jih，a2。若第2個(gè)樞紐設(shè)施狀態(tài)正常，則出行費(fèi)用的期望值為

根據(jù)上述分析可得，旅客按照分配次序訪問(wèn)樞 紐設(shè)施出行總費(fèi)用的期望值為

式（10）可以簡(jiǎn)化為

由式（8）和式（11）可得，在不完全信息條件下，旅客按照分配的樞紐次序集合出行，產(chǎn)生的出行總費(fèi)用和懲罰費(fèi)用的期望值為

以一級(jí)不可選需求的出行為例，圖2 給出了旅客訪問(wèn)樞紐的過(guò)程。如圖2 所示，由非虛擬樞紐前往虛擬樞紐為懲罰費(fèi)用下的出行，令接駁費(fèi)用為πih，a（懲罰費(fèi)率πih，a是所有可選樞紐失效情形下旅客無(wú)法接受到正常出行服務(wù)的懲罰項(xiàng)，也是可靠性設(shè)施選址模型區(qū)別于傳統(tǒng)模型的特殊參數(shù)）。旅客在虛擬樞紐之間的出行為無(wú)費(fèi)用下的出行，即接駁費(fèi)用為零，因旅客無(wú)法通過(guò)虛擬樞紐進(jìn)行城際出行，其城際出行費(fèi)用為零。上述過(guò)程采用如下公式進(jìn)行計(jì)算：

圖2 一級(jí)不可選需求下旅客訪問(wèn)樞紐的過(guò)程Fig.2 Process of passengers visiting hubs under the first level non-optional demand

根據(jù)式（13）～（15），可將式（12）改寫(xiě)為

1.3 客運(yùn)樞紐層級(jí)選址模型

在城市群客運(yùn)樞紐選址規(guī)劃階段，決策者需要考慮樞紐設(shè)施的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用CF，計(jì)算式如下所示：

為便于模型構(gòu)建，定義

需求點(diǎn)i的h級(jí)a類(lèi)別需求可訪問(wèn)的樞紐集合包括接駁范圍內(nèi)備選樞紐集合Bih，a以及虛擬樞紐集合{j*}。在樞紐失效的情形下，對(duì)需求采用單分配策略，因此定義如表1 所示的0-1 決策變量yihj，a和yihjj'r，a。據(jù)此，可將CE改寫(xiě)為

目標(biāo)函數(shù)（20）表示總費(fèi)用最小化，第一項(xiàng)為所有樞紐的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用，第二項(xiàng)括號(hào)內(nèi)第一部分為旅客城際出行費(fèi)用的期望值，第二部分為旅客訪問(wèn)樞紐的接駁費(fèi)用和懲罰費(fèi)用的期望值。約束（21）表示在任何樞紐設(shè)施備選點(diǎn)都不能同時(shí)建立不同等級(jí)的樞紐設(shè)施。約束（22）表示不同等級(jí)需求的旅客必須選擇相應(yīng)接駁范圍內(nèi)的樞紐設(shè)施。約束（23）表示需求點(diǎn)i的h級(jí)a類(lèi)別需求訪問(wèn)的第1個(gè)樞紐設(shè)施必須存在，且屬于J?ih，a。約束（24）表示容量約束，對(duì)于樞紐設(shè)施備選點(diǎn)j，(1 ?q)yihj，a表示其作為第1 個(gè)被訪問(wèn)樞紐的概率，qr?1(1 ?q)yihjj'r，a表示其作為第r個(gè)被訪問(wèn)樞紐的概率，約束（24）左側(cè)為樞紐設(shè)施備選點(diǎn)j承擔(dān)的期望容量，應(yīng)小于等于右側(cè)的最大容量。約束（25）和（26）為所提出的混合式服務(wù)模式約束，不可選需求的旅客只能接受同一等級(jí)樞紐設(shè)施提供的服務(wù)，可選需求的旅客可以接受同一等級(jí)或高一等級(jí)樞紐設(shè)施提供的服務(wù)，同時(shí)要求各個(gè)類(lèi)別需求只能訪問(wèn)同一個(gè)樞紐1 次。約束（27）和（28）表示需求的訪問(wèn)次序必須是從第（r?1）個(gè)樞紐設(shè)施備選點(diǎn)到第r個(gè)樞紐設(shè)施備選點(diǎn)。約束（29）表示各個(gè)類(lèi)別需求一定會(huì)訪問(wèn)虛擬樞紐，以保證懲罰費(fèi)用的合理性。約束（30）表示樞紐設(shè)施建設(shè)的決策變量符合0-1約束。約束（31）和（32）表示單分配策略，決策變量yihj，a和yihjj'r，a都為0-1變量。

2 模型分析

所建立的客運(yùn)樞紐層級(jí)選址模型為0-1整數(shù)規(guī)劃模型，可以直接利用商用求解器求解。對(duì)比傳統(tǒng)研究中的可靠性選址模型，該模型具有以下特征：

（1）現(xiàn)有選址模型是針對(duì)單一設(shè)施類(lèi)型的選址模型，而該模型是針對(duì)層級(jí)樞紐設(shè)施的選址模型，共考慮3 個(gè)等級(jí)的設(shè)施。特別是基于混合式服務(wù)模式，對(duì)于可選需求類(lèi)型下的旅客，其訪問(wèn)樞紐設(shè)施類(lèi)型有2 種，產(chǎn)生了約束（26），因而增加了模型的復(fù)雜度。

（2）現(xiàn)有研究主要針對(duì)服務(wù)型設(shè)施選址問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)包括設(shè)施建設(shè)費(fèi)用、旅客訪問(wèn)設(shè)施的接駁費(fèi)用和懲罰費(fèi)用的期望值，而該模型的目標(biāo)函數(shù)還包含了旅客利用樞紐設(shè)施出行而產(chǎn)生的城際出行費(fèi)用的期望值，具體而言，如果旅客在訪問(wèn)樞紐設(shè)施過(guò)程中找到正常狀態(tài)的樞紐設(shè)施，就會(huì)進(jìn)行城際出行，產(chǎn)生城際出行費(fèi)用；如果所有樞紐設(shè)施都失效，旅客就不會(huì)進(jìn)行城際出行。因此，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)（20）中的城際出行費(fèi)用，可以寫(xiě)成如下形式：

括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為分配的第1個(gè)樞紐設(shè)施處于正常狀態(tài)時(shí)，旅客產(chǎn)生城際出行費(fèi)用的期望值，第二項(xiàng)為旅客訪問(wèn)后續(xù)樞紐設(shè)施過(guò)程中產(chǎn)生城際出行費(fèi)用的期望值。在此基礎(chǔ)上，容量約束（24）給出了樞紐設(shè)施服務(wù)需求量的期望值，現(xiàn)有研究很少考慮設(shè)施的容量限制，但本研究對(duì)象為交通樞紐，因此需要添加容量約束。當(dāng)q=0時(shí)，即樞紐設(shè)施處于完全可靠狀態(tài)，那么該層級(jí)選址模型相當(dāng)于傳統(tǒng)有容量限制的層級(jí)選址模型。

（3）現(xiàn)有研究中多級(jí)分配策略對(duì)每個(gè)需求點(diǎn)分配的設(shè)施數(shù)量并無(wú)限制，而該模型中考慮了各個(gè)等級(jí)需求的旅客可接受的最大出行距離，限定旅客只能訪問(wèn)接駁范圍內(nèi)的樞紐設(shè)施，從而設(shè)定分配樞紐數(shù)量的限制Mih，a。這既符合實(shí)際問(wèn)題特征，又有利于降低模型的規(guī)模，使模型求解更加方便。

3 實(shí)例分析

3.1 基本情況

以武漢城市群為研究對(duì)象，如圖3所示，涉及的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［36］。各個(gè)等級(jí)客運(yùn)樞紐設(shè)施的相應(yīng)參數(shù)如表2 所示。由于缺乏相關(guān)數(shù)據(jù)，算例中的懲罰費(fèi)率πih，a和失效概率q的取值并無(wú)實(shí)際來(lái)源。將各個(gè)類(lèi)別旅客產(chǎn)生城際出行費(fèi)用ηihj，a的10倍作為旅客在無(wú)法接受到出行服務(wù)后的懲罰費(fèi)率πih，a，樞紐設(shè)施失效概率q設(shè)定為0.1。

圖3 武漢城市群小區(qū)劃分Fig.3 District division of Wuhan metropolitan area

表2 各個(gè)等級(jí)客運(yùn)樞紐設(shè)施參數(shù)Tab.2 Parameters of passenger transport hubs at all levels

3.2 結(jié)果分析

分析樞紐設(shè)施失效情形對(duì)選址-分配方案的影響。如前文所述，與傳統(tǒng)有容量限制的層級(jí)選址模型相比，該層級(jí)選址模型假設(shè)各個(gè)樞紐設(shè)施的失效概率相同。因此，通過(guò)與傳統(tǒng)模型的對(duì)比，可以得到考慮樞紐失效后的選址-分配方案，具體體現(xiàn)在系統(tǒng)的各項(xiàng)費(fèi)用，包括建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用、城際出行費(fèi)用、接駁費(fèi)用和懲罰費(fèi)用。

在不完全信息條件下的設(shè)施選址可靠性研究中，Berman 等［31］最早提出了需求的多級(jí)分配策略，并且給出旅客對(duì)設(shè)施訪問(wèn)次序的假設(shè)。Berman等［31］提出的服務(wù)策略可以看作本研究中策略的特殊情形之一，因此基于所提出的模型，引入?yún)?shù)Rijew。當(dāng)dje＜djw時(shí)，則Rijew=1，即：當(dāng)節(jié)點(diǎn)e與j的距離小于節(jié)點(diǎn)w與j的距離時(shí)（e，j，w∈Bih，a），則處于節(jié)點(diǎn)j的旅客將選擇節(jié)點(diǎn)e作為下一個(gè)訪問(wèn)樞紐，將此策略稱(chēng)作最近距離原則。旅客訪問(wèn)樞紐的次序按照最近距離原則，添加如下約束：

表3列出上述3種模型費(fèi)用的對(duì)比。從表3可以發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)模型，在考慮樞紐失效情形后，所提出方案的總費(fèi)用增加。這主要是因?yàn)樗岢龇桨笧榱吮苊馐樾蜗螺^高的懲罰費(fèi)用，通過(guò)建設(shè)新的樞紐設(shè)施增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性，雖然城際出行費(fèi)用和接駁費(fèi)用有所降低，有利于減少旅客的出行總費(fèi)用，但是選址方案中的樞紐數(shù)量增加，導(dǎo)致建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用上升23%，同時(shí)還存在可能的懲罰費(fèi)用。與Berman模型對(duì)比，所提出模型的樞紐選址方案并無(wú)變化，建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用保持不變。所提出模型的城際出行費(fèi)用和接駁費(fèi)用均低于Berman模型，這表明優(yōu)化樞紐訪問(wèn)次序有利于降低旅客的出行總費(fèi)用。由于選址方案并無(wú)變化，因此懲罰費(fèi)用并無(wú)改變。最后，與Berman模型相比，所提出模型產(chǎn)生的總費(fèi)用降低。

表3 3種模型費(fèi)用對(duì)比Tab.3 Comparison of cost between three models 單位：元

為更詳細(xì)地對(duì)比上述模型結(jié)果，將傳統(tǒng)模型與所提出模型的選址方案進(jìn)行比較。如圖4所示，所提出模型的選址方案增加了6個(gè)一級(jí)和1個(gè)二級(jí)樞紐設(shè)施，樞紐設(shè)施分布的密度增加。這是由于傳統(tǒng)模型下接駁范圍內(nèi)需求點(diǎn)可利用的樞紐設(shè)施數(shù)量較少，可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施數(shù)量限制將會(huì)導(dǎo)致懲罰費(fèi)用的產(chǎn)生，因此增加樞紐設(shè)施的數(shù)量。此外，對(duì)于三級(jí)需求而言，選址方案中只有一個(gè)三級(jí)樞紐設(shè)施。雖然這意味著所有的三級(jí)需求只存在一個(gè)可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施，但是由于三級(jí)樞紐設(shè)施的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用較高，產(chǎn)生的懲罰費(fèi)用不足以新建一個(gè)三級(jí)樞紐，說(shuō)明模型存在著對(duì)建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用以及懲罰費(fèi)用的考慮。因此，各需求點(diǎn)可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施數(shù)量嚴(yán)重影響旅客接受到出行服務(wù)的可靠性，也決定了樞紐失效情形下可能產(chǎn)生的懲罰費(fèi)用大小。

圖4 所提出模型與傳統(tǒng)模型的選址方案對(duì)比Fig.4 Comparison of location planning between the proposed model and traditional model

旅客訪問(wèn)樞紐的次序也對(duì)出行費(fèi)用產(chǎn)生了很大影響。圖4b 顯示了所提出模型下需求點(diǎn)35 的一級(jí)不可選需求和需求點(diǎn)4 的二級(jí)可選需求的訪問(wèn)次序。對(duì)于需求點(diǎn)35而言，可訪問(wèn)的一級(jí)樞紐設(shè)施為30、31 和33，所提出模型給出的訪問(wèn)次序?yàn)?5→30→31→33，總接駁距離為86.7 km；而根據(jù)Berman模型的最近距離原則，訪問(wèn)次序?yàn)?5→31→30→33，總接駁距離為92.9 km。這表明所提出模型的樞紐訪問(wèn)次序產(chǎn)生的接駁費(fèi)用更低。對(duì)于需求點(diǎn)4 而言，可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施為24、26和34，所提出模型給出的訪問(wèn)次序?yàn)?→26→24→34，先訪問(wèn)二級(jí)樞紐，再訪問(wèn)三級(jí)樞紐；而B(niǎo)erman 模型的訪問(wèn)次序?yàn)?→26→34→24，此種次序下的接駁費(fèi)用更低，但是由于旅客先訪問(wèn)了三級(jí)樞紐，導(dǎo)致其城際出行費(fèi)用的期望值增大，總出行費(fèi)用隨之增大，因此仍是所提出模型的訪問(wèn)次序更優(yōu)。

根據(jù)以上分析，確定最優(yōu)樞紐訪問(wèn)次序時(shí)需要考慮后續(xù)產(chǎn)生的交通費(fèi)用，包括接駁費(fèi)用和城際出行費(fèi)用，而不能只考慮當(dāng)前距離最近的樞紐設(shè)施。

與以往研究不同，根據(jù)交通出行特點(diǎn)，限制旅客只能訪問(wèn)接駁范圍內(nèi)的樞紐設(shè)施。由于接駁范圍的限制，導(dǎo)致部分需求點(diǎn)可分配的樞紐設(shè)施數(shù)量有限，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)多級(jí)分配策略。實(shí)際情況中，如果旅客尋找樞紐設(shè)施的范圍越小，產(chǎn)生懲罰費(fèi)用的概率就越大，相應(yīng)地，懲罰費(fèi)用也會(huì)上升。因此，通過(guò)逐步提高各級(jí)需求可接受的最大出行距離Rh，觀察系統(tǒng)費(fèi)用的變化。

以二級(jí)不可選需求為例，只接受二級(jí)樞紐提供的出行服務(wù)。表4列出每種接駁范圍下需求點(diǎn)可訪問(wèn)二級(jí)樞紐數(shù)量| |Ji2，N的頻數(shù)。由表4 發(fā)現(xiàn)，在接駁范圍較小時(shí)，一半以上需求點(diǎn)的二級(jí)不可選需求類(lèi)別的旅客只能訪問(wèn)一個(gè)二級(jí)樞紐，意味著這類(lèi)旅客無(wú)法接受到出行服務(wù)的概率為0.1。隨著接駁范圍的擴(kuò)大，可訪問(wèn)的二級(jí)樞紐數(shù)量逐漸增大。當(dāng)接駁范圍達(dá)到最大時(shí)，超過(guò)30個(gè)需求點(diǎn)的二級(jí)不可選需求類(lèi)別的旅客可以訪問(wèn)至少3 個(gè)二級(jí)樞紐，這類(lèi)旅客無(wú)法接受到出行服務(wù)的概率低于0.001，因此產(chǎn)生懲罰費(fèi)用的可能性也很低。

表4 不同接駁范圍下需求點(diǎn)可訪問(wèn)二級(jí)樞紐數(shù)量的頻數(shù)Tab.4 Frequencies of the number of secondary hubs accessible by the demand point under different access ranges

表5 列出不同接駁范圍下的系統(tǒng)費(fèi)用。由表5可知，隨著接駁范圍的擴(kuò)大，總費(fèi)用隨著懲罰費(fèi)用的降低而逐漸降低，最終趨于穩(wěn)定。當(dāng)接駁范圍擴(kuò)大時(shí)，旅客可以前往更遠(yuǎn)的樞紐設(shè)施，那么可訪問(wèn)的樞紐設(shè)施數(shù)量增多。對(duì)比表中前兩組算例或者后四組算例可以發(fā)現(xiàn)，即使在選址方案不變時(shí)，懲罰費(fèi)用會(huì)隨著分配樞紐數(shù)量的增加而減少，同時(shí)由于可訪問(wèn)樞紐設(shè)施數(shù)量的增多，旅客的城際出行費(fèi)用和接駁費(fèi)用也隨之增大。當(dāng)接駁范圍擴(kuò)大至（70，140，280）時(shí)，選址方案新增了一級(jí)樞紐，進(jìn)一步提高了旅客可訪問(wèn)的樞紐數(shù)量，費(fèi)用變化趨勢(shì)保持不變。當(dāng)接駁范圍持續(xù)增大時(shí)，懲罰費(fèi)用趨于穩(wěn)定，這是由于選址方案中仍然只有一個(gè)三級(jí)樞紐，這使得三級(jí)需求的懲罰費(fèi)用始終存在，但不足以新建一個(gè)三級(jí)樞紐，因此各部分費(fèi)用不再變化。

表5 不同接駁范圍下的系統(tǒng)費(fèi)用Tab.5 System costs under different access ranges 單位：元

3.3 敏感性分析

樞紐設(shè)施的失效概率q會(huì)影響系統(tǒng)的可靠性，而懲罰費(fèi)率πih，a會(huì)影響樞紐設(shè)施建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用以及旅客出行總費(fèi)用，進(jìn)而影響選址-分配方案。選取q和πih，a作為敏感性分析參數(shù)，研究其對(duì)系統(tǒng)費(fèi)用的影響。

（1）失效概率的敏感性分析

將通過(guò)逐步提高樞紐設(shè)施失效概率q的取值，觀察系統(tǒng)費(fèi)用的變化。懲罰費(fèi)率πih，a的取值保持不變，接駁范圍設(shè)定為（100，200，400）。

圖5a 顯示了失效概率對(duì)系統(tǒng)費(fèi)用的影響，建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用曲線上標(biāo)注了3 個(gè)等級(jí)樞紐設(shè)施的數(shù)量。由圖5a可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)失效概率從0.1增長(zhǎng)至0.2時(shí)，新增了1個(gè)三級(jí)樞紐，三級(jí)需求可訪問(wèn)的樞紐數(shù)量增多，懲罰費(fèi)用也隨之下降。當(dāng)失效概率增長(zhǎng)至0.5時(shí)，共增加了2個(gè)一級(jí)樞紐、1個(gè)二級(jí)樞紐和1個(gè)三級(jí)樞紐。失效概率的增加使得樞紐設(shè)施的可靠性降低，旅客接受到正常服務(wù)的可能性降低，而系統(tǒng)產(chǎn)生的懲罰費(fèi)用增大。方案中樞紐設(shè)施的數(shù)量不斷增加，建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用隨之增加，也提高了總費(fèi)用。特別地，隨著失效概率的進(jìn)一步提高，如達(dá)到0.4 或0.5，懲罰費(fèi)用快速增長(zhǎng)，但是樞紐選址方案并未變化，這說(shuō)明當(dāng)失效概率過(guò)高時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)無(wú)法通過(guò)增加樞紐設(shè)施的數(shù)量降低懲罰費(fèi)用。

圖5 失效概率和懲罰費(fèi)率的取值倍數(shù)對(duì)系統(tǒng)費(fèi)用的影響Fig.5 Effect of failure probability and multiple of penalty rate on system costs

實(shí)際中對(duì)于可靠性較低（q值較大）的樞紐設(shè)施系統(tǒng)，需求無(wú)法得到服務(wù)的可能性較高，僅僅增加設(shè)施數(shù)量已經(jīng)無(wú)法有效提高系統(tǒng)的可靠性。因此，在城市群客運(yùn)樞紐的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)中，應(yīng)當(dāng)提高每個(gè)設(shè)施的可靠性，防止失效情形的發(fā)生。

（2）懲罰費(fèi)率的敏感性分析

前文中將各個(gè)類(lèi)別旅客產(chǎn)生城際出行費(fèi)用ηihj，a的10 倍作為旅客無(wú)法接受到出行服務(wù)后的懲罰費(fèi)率πih，a的取值。逐步提高ηihj，a取值倍數(shù)，觀察系統(tǒng)費(fèi)用的變化。失效概率q設(shè)定為0.1，接駁范圍設(shè)定為（100，200，400）。

圖5b顯示了懲罰費(fèi)率πih，a的取值倍數(shù)對(duì)系統(tǒng)費(fèi)用的影響，同樣在建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用曲線上標(biāo)注了3個(gè)等級(jí)樞紐設(shè)施的數(shù)量。隨著懲罰費(fèi)率提高，因樞紐失效而造成的懲罰費(fèi)用期望值的上升，促使選址方案考慮新建設(shè)施，增加旅客訪問(wèn)樞紐的數(shù)量，從而降低懲罰費(fèi)用出現(xiàn)的概率。然而，這導(dǎo)致了建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用的增大，也使得旅客出行總費(fèi)用增加。

從式（8）可以看出，懲罰費(fèi)用的期望值隨失效概率q的增長(zhǎng)呈指數(shù)型增長(zhǎng)，但隨懲罰費(fèi)率πih，a的增長(zhǎng)呈線性增長(zhǎng)，因此提高懲罰費(fèi)率對(duì)系統(tǒng)費(fèi)用的影響較小。從圖5b 可以看出，通過(guò)新建樞紐設(shè)施，懲罰費(fèi)用迅速降低直至穩(wěn)定，系統(tǒng)的總費(fèi)用也保持穩(wěn)定。當(dāng)懲罰費(fèi)率πih，a的取值倍數(shù)達(dá)到70 后，選址方案中已經(jīng)有足夠多的樞紐設(shè)施，因此系統(tǒng)處于穩(wěn)定的狀態(tài)。繼續(xù)提高懲罰費(fèi)率πih，a，對(duì)選址方案和系統(tǒng)總費(fèi)用的影響已經(jīng)十分微小。

實(shí)際中當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)保持較高的可靠性時(shí)，即使樞紐失效產(chǎn)生的懲罰費(fèi)率較高，對(duì)系統(tǒng)的影響也很低。這也表明維持樞紐設(shè)施的高可靠性，有利于增強(qiáng)對(duì)可能造成高損失事件的彈性。

4 結(jié)語(yǔ)

基于混合式服務(wù)模式，提出不完全信息條件下旅客因樞紐失效而依次訪問(wèn)備選樞紐的服務(wù)策略，并建立可靠性層級(jí)選址模型。在不完全信息條件下，將旅客的出行過(guò)程分為3個(gè)階段，針對(duì)每個(gè)階段建立相應(yīng)的出行費(fèi)用和懲罰費(fèi)用的期望表達(dá)式，并以樞紐設(shè)施的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，給出混合服務(wù)模式下各個(gè)需求類(lèi)別選擇樞紐設(shè)施服務(wù)的可用性約束和期望服務(wù)需求量的容量限制約束，從而構(gòu)建線性整數(shù)規(guī)劃模型。結(jié)合算例對(duì)模型進(jìn)行求解。新建樞紐設(shè)施或者優(yōu)化樞紐的訪問(wèn)次序可以提高城際出行服務(wù)的可靠性，而最優(yōu)樞紐訪問(wèn)次序的確定應(yīng)當(dāng)考慮出行過(guò)程中的所有交通費(fèi)用，并非基于最近原則僅考慮當(dāng)前階段的出行費(fèi)用；擴(kuò)大接駁范圍可以提高旅客可訪問(wèn)的樞紐數(shù)量，從而降低產(chǎn)生懲罰費(fèi)用的可能性；對(duì)于失效概率過(guò)高的樞紐設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，僅僅增加樞紐數(shù)量已無(wú)法提高系統(tǒng)的可靠性，而對(duì)于保持較高可靠性的樞紐設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，其應(yīng)對(duì)可能造成高損失事件的彈性較強(qiáng)。

與以往研究相比，引入基于不完全信息假設(shè)下的旅客訪問(wèn)策略，提出更貼近實(shí)際的接駁范圍內(nèi)的訪問(wèn)樞紐限制，給出旅客城際出行期望費(fèi)用的表達(dá)式，并考慮樞紐服務(wù)期望需求量的容量限制約束，進(jìn)一步增強(qiáng)了模型的實(shí)用性。然而，假定旅客的需求量固定、樞紐設(shè)施失效概率相同且相互獨(dú)立，這與實(shí)際有一定的偏差。未來(lái)可針對(duì)旅客需求的不確定性、樞紐設(shè)施失效概率不相同以及樞紐設(shè)施相互影響進(jìn)行拓展研究，以期獲得更加符合實(shí)際的結(jié)果。

作者貢獻(xiàn)聲明：

閆 黃：算法設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)分析。

張小寧：學(xué)術(shù)指導(dǎo)與論文修改。