閆琦隆， 歐陽武， 劉祺霖

(1.武漢理工大學(xué) 船海與能源動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430063； 2.武漢理工大學(xué) 交通與物流工程學(xué)院, 湖北 武漢 430063； 3.國家水運安全工程技術(shù)研究中心 可靠性工程研究所，湖北 武漢 430063)

艉軸承是艦船推進軸系的重要組成部分，在軸系校中和動力分析中通常需要將軸承簡化為等效支撐點(指距軸承后端面的距離)[1-2]。艦船尾軸承等效支點一般參照相關(guān)標準和規(guī)定選取，其中，國內(nèi)的推進軸系校中計算主要是參照標準CB/Z 338-2005和《鋼質(zhì)海船入級規(guī)范》。根據(jù)標準CB/Z 338-2005，對于白合金軸承襯、鐵梨木軸承襯和橡膠軸承襯，尾管后軸承的等效支點取值范圍分別為(1/7～1/3)L、(1/4～1/3)L和(1/3～1/2)L，L為軸承長度；推進軸系其他徑向軸承的等效支點均取1/2L[3-4]。有限元建模研究方法在船舶及軸承應(yīng)用廣泛[5]，劉亮[6]基于此方法對后尾軸承支點位置進行研究并計算得到的軸承支點位置在(1/4～1/3)L之間。等效支點的取值對艦船推進軸系動力性能預(yù)測有較大影響。劉正林等[7]分析了船舶尾軸末端在螺旋槳集中載荷作用下的撓曲特性，研究結(jié)果表明尾軸傾角的增大使得軸承末端液膜壓力急聚增加，軸承邊緣效應(yīng)明顯。在螺旋槳懸臂作用下，艦船推進軸系撓曲變形明顯，等效支點在軸承中間的假設(shè)誤差較大[8-9]。

尾軸彎曲程度、尾軸承結(jié)構(gòu)和材料均會影響其等效支點的取值。余華軍[10]利用多點支承模型，通過數(shù)值計算確定賽龍尾管軸承的等效支點位置，仿真發(fā)現(xiàn)隨著尾管軸承剛度的增加，尾管后軸承的等效支點向后移動，而尾管前軸承的等效支點向前移動?，F(xiàn)有的標準多根據(jù)前期應(yīng)用最多的丁腈橡膠尾軸承建立，該軸承彈性模量小(約6 MPa)，軸承很長(長徑比達4∶1)[11-13]。隨著材料科學(xué)和軸承設(shè)計理論的發(fā)展，尾軸承材料和結(jié)構(gòu)正在發(fā)生顯著變化。例如，目前國內(nèi)外艦船大量采用的賽龍和飛龍材料彈性模量約300～500 MPa，英國ACM公司L2、英國Trelleborg公司Orkot和荷蘭w?rtsil?公司的高分子復(fù)合材料彈性模量約2 300～3 000 MPa。這些變化使尾軸承承載能力有了顯著提升，隨著當(dāng)代艦船噸位的提升，螺旋槳作為推進器[14]其重量不斷增大，尾軸懸臂撓曲狀態(tài)也在改變。這些因素導(dǎo)致艦船尾軸承等效支點位置隨之變化[15-17]。

現(xiàn)有的尾軸承等效支點相關(guān)標準主要存在不足：1)取值范圍不夠準確，且有待更新；2)研究人員主要根據(jù)經(jīng)驗取值，缺乏對具體尾軸承結(jié)構(gòu)和軸系彎曲狀態(tài)的準確考慮。為此，本文首先給出基于有限元的艦船尾軸承等效支點計算方法，然后通過數(shù)值計算得到不同軸線傾角、長徑比和彈性模量的等效支撐點位置數(shù)據(jù)集，最后建立尾軸承等效支點計算式，為艦船水潤滑尾軸承設(shè)計提供較準確的計算方法。

1 尾軸承接觸模型建立及仿真

一般可以采用接觸理論或流體動壓潤滑理論來計算尾軸承等效支點位置[18]，2種都是根據(jù)壓力分布(水膜壓力分布或接觸應(yīng)力分布)計算力矩平衡時的等效支點。鑒于服役狀態(tài)的艦船水潤滑后尾軸承常處于混合潤滑狀態(tài)，且具有時變性，本文采用不考慮水膜的純接觸模型進行研究。其中，有限元法在尾軸承接觸模型計算和軸系校中有著廣泛的應(yīng)用[19-21]。

1.1 尾軸承等效支點位置計算方法

艦船尾軸與尾軸承之間形成圓柱體與圓柱內(nèi)孔之間接觸。接觸時，一方面由于垂向擠壓會在垂向方向產(chǎn)生垂向接觸力，另一方面由于切向方向的相對滑動會產(chǎn)生切向摩擦力。接觸過程中接觸狀態(tài)會隨著時間不斷變化，為此，需要注意接觸問題的方程應(yīng)寫成增量迭代形式，并在求解方程中引入接觸定解條件。

接觸區(qū)邊界有關(guān)單元的控制方程可通過虛功原理給出，虛功原理指出：外力在虛位移中所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所做虛功。外力和內(nèi)力虛功如下：

(1)

(2)

基于虛功原理的外力虛功與內(nèi)力虛功相等，且接觸問題邊界條件不斷改變，將該表達式改寫成增量形式，即在時間t+Δt位形內(nèi)與平衡條件相等效的有限元控制方程為：

(3)

根據(jù)有限元法求解尾軸承接觸模型，得到接觸應(yīng)力分布，然后根據(jù)力矩平衡求解尾軸承等效支點位置。首先將尾軸承沿著軸向等分為若干單元，然后將每個單元Zi中所有節(jié)點的支反力FYij累加得到該單元的總支反力FYi，最后根據(jù)力矩平衡原理，計算尾軸承的等效支點位置Zc：

(4)

式中Zc和Zi分別表示等效支點和單元中點距軸承后端面的距離。

如圖1等效支點示意圖所示，O為軸承幾何中點，O1為等效支點的位置。軸承在實際工作時易受到如兩端受力不均等因素的影響導(dǎo)致軸線傾斜，從而使等效支點的位置與軸承的幾何中點位置不重合。本文對等效支點的定義采用無量綱形式，即等效支點離軸承后端面距離與軸承長度的比值Zc/L。

圖1 等效支點示意

1.2 研究對象及有限元計算流程

關(guān)于尾軸承接觸壓力分布仿真，首先建立尾軸承的三維模型，然后利用有限元軟件建立尾軸承接觸模型(如圖2所示)，仿真計算得到軸承內(nèi)襯接觸壓力分布。

圖2 基于有限元的尾軸承接觸模型

由于幾種水潤滑尾軸承內(nèi)襯材料的泊松比相差不大，且仿真發(fā)現(xiàn)泊松比對軸承等效支點位置影響較小，因此本文重點研究軸線傾角、軸承的長徑比和軸承內(nèi)襯材料的彈性模量對尾軸承等效支點位置的影響。采用控制變量法，保證其他因素不變的情況下改變其中一個因素逐一研究。幾種尾軸承內(nèi)襯材料如表1所示。

表1 幾種尾軸承內(nèi)襯材料的物性參數(shù)

通過在尾軸承兩端軸上施加不同的載荷來模擬軸傾斜狀態(tài)，改變兩端載荷的大小來得到不同的傾角，從而得到不同傾角下的尾軸承接觸壓力分布，不同傾角下軸承總載荷不變，為10 kN，載荷F1和F2距各自軸承端面的距離為D1和D2，如式(5)所示：

(5)

式中：D1和D2為力作用點距端面距離，mm；L/D為長徑比。

尾軸承的直徑為350 mm，尾軸承的長徑比取值范圍為在2～4；尾軸承內(nèi)襯材料的彈性模量取值包括：7、400、1 000、1 600、2 300 MPa。

2 尾軸承載荷分布和等效支點的影響因素分析

軸承主要設(shè)計參數(shù)包括：直徑、長徑比、間隙、內(nèi)襯彈性模量和泊松比，研究表明，長徑比和內(nèi)襯彈性模量對軸承載荷分布以及應(yīng)變分布影響較大，而其他因素影響較小，因此本文選擇這2個參數(shù)為主要變量。軸承內(nèi)襯彈性模量為1 000 MPa，軸承兩端分別施加6 kN和4 kN的力時，得到不同長徑比下軸承內(nèi)部的應(yīng)變分布曲線，如圖3所示。

首先分析長徑比對軸承應(yīng)變分布和等效支點位置的影響。從圖3可以看出，在內(nèi)襯彈性模量和施加載荷一致的情況下，隨著長徑比增大，軸承內(nèi)部應(yīng)變值逐漸減小，長徑比為4.0的尾軸承內(nèi)部應(yīng)變值相比長徑比2.0的數(shù)據(jù)減小了約98%，且應(yīng)變分布更加均勻，應(yīng)變的變化范圍也更加小。綜合圖4可得，在傾角和彈性模量不變時，尾軸承長徑比對等效支點位置的影響較為復(fù)雜，并非簡單的正相關(guān)或者負相關(guān)關(guān)系。當(dāng)長徑比處于2.5～4的區(qū)間內(nèi)，隨著長徑比的增大，等效支點位置的無量綱坐標呈減小的趨勢，且各彈性模量下變化趨勢具有一致性；當(dāng)長徑比小于2.5時，不再服從此變化趨勢。

圖3 彈性模量為1 000 MPa時軸承應(yīng)變分布

此外，在尾軸承內(nèi)襯彈性模量一致時，各個長徑比下的尾軸承等效支點位置隨傾角的變化趨勢一致。例如在長徑比為2.5，彈性模量為1 000 MPa時，隨著軸線傾角的增大，尾軸承等效支點位置值呈線性減小。

進一步改變水潤滑尾軸承內(nèi)襯彈性模量的軸承等效支點位置仿真結(jié)果如圖4所示，可以看出，當(dāng)軸承長徑比和軸線傾角不變時，軸承等效支點的值隨其內(nèi)襯彈性模量的增大而減小，即等效支點的位置距離軸承中點越來越遠，距離軸承端面越來越近，結(jié)合有限元模型可知，尾軸承等效支點位置靠近受力較大的軸承端面一側(cè)。而且，3個因素對尾軸承等效支點位置的耦合影響較弱，幾乎相互獨立。

圖4 不同長徑比及彈性模量下等效支點位置隨傾角的變化曲線

3 尾軸承等效支點位置計算式

3.1 等效支點位置計算式擬合

根據(jù)上述仿真結(jié)果，針對線性材料的水潤滑尾軸承等效支點位置與3個因素的關(guān)系可用函數(shù)式表示為：

Z=f(θ,E,L/D)

(6)

由于這3個影響因素之間幾乎相互獨立，可以分別擬合后進行組合。長徑比取2～4、彈性模量取7～2 300 MPa以及不同軸線傾角可組合共形成125組軸承方案，對這些方案對應(yīng)的尾軸承等效支點位置數(shù)據(jù)進行曲線擬合，可得到水潤滑尾軸承無量綱等效支點位置計算式如下：

Z=f(θ,E,L/D)=[g1(L/D)+g2(L/D)×

Eg3(L/D)]×θ+0.5 2.5≤L/D≤4

(7)

其中：

(8)

對125組數(shù)據(jù)進行反算驗證，當(dāng)長徑比不小于2.5時，軸承等效支點位置擬合公式解與有限元仿真解的相對誤差平均值約1%，最大值為6%(只有一個)，表明該擬合方法具有很高精度。

3.2 計算式的應(yīng)用驗證

重新設(shè)計7種算例，對應(yīng)的軸承參數(shù)如表2所示，分別利用上述擬合計算式和有限元法計算軸承等效支點位置，開展式(7)、(8)的應(yīng)用驗證?？芍?，當(dāng)水潤滑尾軸承長徑比為950/350，軸承內(nèi)襯彈性模量為400 MPa，軸傾角為2.189×10-4(°)時，代入式(7)可得軸承等效支點位置為0.204 9，與有限元仿真解的相對誤差為1.8%。其他6個算例的計算誤差均小于4%，再次驗證了本文給出的尾軸承等效支點擬合計算式具有較高的計算精度。

表2 尾軸承算例的參數(shù)和計算結(jié)果

4 融合軸承支點位置預(yù)測的推進軸系校中迭代計算方法

三彎矩法是用解平面力系靜不定問題的方法，它將軸系視為放置在各個剛性鉸支座上的連續(xù)梁，而在梁的各截面變化處和集中力作用點都假定有一個虛支座。傳統(tǒng)的三彎矩法假設(shè)尾軸承等效支點為固定值，比如1/3或1/4。迭代計算方法的核心在于尾軸承等效支點位置根據(jù)軸傾斜狀態(tài)不斷迭代調(diào)整，這與實際軸系狀態(tài)更相符。校中迭代計算方法的基本步驟為：給出尾軸承等效支點的初始值Z(0)，例如1/3，利用三彎矩法進行軸系校中計算，獲得尾軸承處的軸線轉(zhuǎn)角；利用尾軸承等效支點計算式，將軸線轉(zhuǎn)角帶入，計算得到新的等效支點位置Z(k)，k為迭代次數(shù)；對比前后2次迭代計算中的等效支點位置，當(dāng)兩值相差較大時，需修正等效支點位置后重新上2步的操作；當(dāng)2值足夠接近時，認為此時的等效支點位置正確，然后代入三彎矩法計算得到最終的校中計算結(jié)果，迭代收斂的判據(jù)如式(9)所示，b為迭代收斂系數(shù)，本文取0.001：

(9)

推進軸系校中迭代計算方法的流程圖如圖6所示?？梢钥闯?，該方法的本質(zhì)在于解決尾軸承軸線彎曲狀態(tài)與尾軸承等效支點位置關(guān)系的自恰，避免主觀假設(shè)的尾軸承支點位置與實際服役軸系狀態(tài)不符的問題。

通過將本文等效支點位置計算式應(yīng)用于推進軸系校中迭代計算法的結(jié)果與基于有限元校中算法的結(jié)果進行對比，驗證本文等效支點位置計算式的實用性。計算對象為4根軸組成的軸系，該軸系為實船的縮比尺寸軸系，從艉部往艏部看，依次為尾軸、2根中間軸和一根推力軸，共有6個徑向軸承，校中軸系參數(shù)和各軸承安裝位置如圖7和表4所示。在推進軸系校中計算有限元模型中，螺旋槳可簡化為剛性質(zhì)量單元；而軸段的長度與截面直徑之比通常較大，可采用梁單元模型模擬；為簡便起見忽略軸承油膜和水膜的影響，將軸承簡化為線性彈簧單元。有限元法計算的物理參數(shù)與三彎矩法相同，兩端也設(shè)置為自由端，不進行約束，在實支撐區(qū)域進行約束，虛支撐處不加任何約束，施加的載荷為簡化的集中載荷。

表3 3種方法的支反力計算結(jié)果

圖6 3種方法軸承支反力計算結(jié)果

圖7 軸系校中三維模型

表4 校中軸系參數(shù)

將有限元法、普通三彎矩法、迭代校中三彎矩法得到的各軸承支反力結(jié)果進行對比，如表3和圖6所示?？芍诘龔澗胤ǖ?#后尾軸承支反力計算結(jié)果與有限元法非常接近，相比普通三彎矩法，相對誤差減小了約60.22%，其余軸承處的支反力計算結(jié)果也均比普通三彎矩法更接近于有限元法，證明迭代校中法具有較高的預(yù)測精度，也反映了本文提出的軸承等效支點位置計算式具有良好的可用性。軸承等效支點計算式和迭代校中法的建模和仿真計算速度比有限元法快，計算精度優(yōu)于傳統(tǒng)三彎矩法，可以在艦船推進軸系方案設(shè)計階段快速、準確的設(shè)計軸承。

圖5 推進軸系校中迭代計算流程

5 結(jié)論

1)軸線傾角、尾軸承長徑比和內(nèi)襯彈性模量對尾軸承等效支點位置影響非常顯著。當(dāng)兩個因素固定，隨著軸線傾角的增大，軸承等效支點位置呈線性減?。婚L徑比越大，軸承接觸應(yīng)變分布越均勻，應(yīng)變值變化幅度更小，軸承等效支點的位置先增大后減小；尾軸承等效支點位置隨內(nèi)襯彈性模量的增大而減小，彈性模量從7 MPa增大到2 300 MPa，等效支點位置減小。

2)給出了考慮上述三因素的艦船水潤滑尾軸承等效支點位置擬合計算式。擬合公式解與原有限元仿真解的平均誤差約1%，只有一個算例的誤差為6%，表明擬合精度較高。

3)7種新算例的應(yīng)用驗證表明，尾軸承等效支點位置擬合公式解與有限元解的最大相對誤差小于4%，表明本文的計算式具有較高的預(yù)測精度。

4)提出了融合等效支點位置計算的推進軸系迭代校中算法，算例表明，相比普通三彎矩法，后尾軸承支反力的迭代校中計算結(jié)果與有限元結(jié)果的相對誤差減小了約60.22%，驗證了該方法的預(yù)測精度，可以在艦船推進軸系方案設(shè)計階段快速、準確的設(shè)計軸承支反力。