王 瑞，瞿佳偉，張春雷,

(1.四川大學機械工程學院，成都 610065；2.成都樂創(chuàng)自動化技術有限公司，成都 510107)

0 引言

隨著現代制造業(yè)的不斷發(fā)展革新以及精密復雜產品的層出不窮，對封裝加工技術的要求不斷提高，手機電腦等電子產品對零部件的封裝精度要求更甚，因此五軸點膠機在封裝加工領域大放異彩。但如果點膠機各聯動軸之間存在幾何誤差，會導致點膠軌跡的偏移、點膠不均、軌跡不連貫等問題，因此想要提高點膠軌跡的完整度和精度，就必須對機床的各項誤差進行精準的檢測[1]。

現有五軸機床誤差比較常用的測量方法主要有試件加工測量和儀器測量兩種[2]。試件加工測量的方法主要是通過對標準試件進行切削加工，通過標準試件的加工誤差來體現機床的幾何誤差。常用的儀器測量儀有激光干涉儀、球桿儀、R-test測量儀等，通過安裝測量儀進行機床加工運動，從而直接測量出運動軸在各個方向上的誤差[3-4]。

傳統的測量方法奠定了現代五軸機床旋轉軸誤差的基礎，為相關五軸機床誤差測量實驗提供了成熟的思路，但無論是標準試件加工測量、球桿儀、接觸式探頭還是改進球桿儀測量的6圈法測量，這些方法需要昂貴的測量儀器和繁雜的測量步驟，對測量儀的安裝和測量的操作都有較高的要求，對于周期性機床誤差檢測來說，費時費力，影響加工效率[5-8]。

機器視覺本質是基于工業(yè)相機和圖像處理技術模擬實現人眼的識別功能，應用該項技術能完成既定環(huán)境的特定任務,并提高機器自動化、智能化[9]。當前機器視覺已經在各個領域得到有效的應用，包括自動識別生成點膠加工軌跡，實現對刀點坐標的提取和精準對刀，實現對在載玻片點膠位置的實時監(jiān)測和校正。這些應用的核心都是通過機器視覺獲取圖像信息，提取圖像特征信息，從而建立相機像素坐標和現實空間的轉換關系，最終得到高效的位置評估和校準手段[10-12]?，F有的基于機器視覺的機床幾何誤差辨識方法和理論，大部分需要自定義的圖案或設備，并且在轉軸位姿已知的情況下對包括轉軸轉角的定位誤差在內的機床幾何誤差進行辨識[13-15]。

在上述背景下，在未知轉軸位姿并且適用于雙轉臺的前提下，提出一種利用機器視覺來求解機床旋轉軸位姿的方法。利用工業(yè)CCD相機拍攝不同機床坐標下的標準標定板照片，提取特征點坐標，通過機床幾何誤差模型和L-M優(yōu)化得到最終的誤差矩陣和轉軸位姿。最后通過加工點跟隨實驗(即選取一個特征MARK點，將加工針閥對準該點，并獲取此時的機械坐標，通過求得的轉軸位姿對其進行坐標變換，最終對比計算所得機械坐標和實際對準MARK點的機械坐標坐標之差)來驗證此方法的可行性和準確性。

1 建立運動學模型

五軸機床可分為單轉臺-單擺頭、雙擺頭和雙轉臺3類，方案研究的五軸點膠機屬于雙轉臺類型五軸機床，即轉軸C固連在轉軸A上，如圖1所示。由于五軸點膠機的機械特性，存在著不可避免的幾何誤差，包括平動軸的3項垂直度誤差，C軸相對于A軸的旋轉和平移誤差；A軸相對于Y軸的2項位置誤差，A軸兩項平行度誤差，A軸的初始角度誤差，共11項誤差[16-17]。

圖1 五軸點膠機結構圖

五軸點膠機各運動軸之間通過移動副或旋轉副相連接，形成一條加工運動鏈，用{V}表示相機坐標系，其他如圖2所示。由于工件坐標系會隨A軸旋轉而改變，引入一個輔助坐標系{S}，來表示AC軸未旋轉狀態(tài)下的初始工件坐標系。將五軸點膠機的運動軸、針閥、工件以及基座均視為剛體，以加工過程中點膠點為分界點，從而將包括上述所有剛體在內的五軸點膠機機械結構劃分為兩條加工運動鏈[18]。

圖2 五軸點膠機運動鏈

(1)

同理得到運動鏈中其他相鄰兩坐標系間的變換矩陣。建立如下兩個方程式分別用于表征相機坐標系{V}到初始工件坐標系{S}中的實際刀具位置和刀具方向的變換關系：

(2)

式中，pW為刀具在工件坐標系下的齊次坐標；vW為刀具在工件坐標系下的向量。

采用的誤差處理方法是將所有誤差耦合成一個整體的變換矩陣，引入矩陣RVW來表示這種變換關系，此時工件坐標系到相機坐標系的變換關系可以用下式表示：

pV=RVWpW

(3)

(4)

式中，pV為相機坐標系某一點的齊次坐標，變換矩陣RVW∈R4，將矩陣RVW分為4個部分，其中矩陣RVS∈R3，向量MT∈R3×1。將各項誤差符號代入，通過符號計算得出其形式表達如下：

(5)

2 初始解求解

根據第1節(jié)建立的五軸點膠機運動學模型如圖3所示。把機床的運動分為兩個階段，平動軸的移動和轉動軸的轉動。

圖3 五軸點膠機運動學模型

2.1 平移狀態(tài)

當機床A、C軸保持0°初始狀態(tài)，坐標系{S}與坐標系{W}重合,則pS=pW，pS為坐標系{S}下一點。

則此時式(4)中表示旋轉狀態(tài)的子矩陣RVS為常數矩陣，可將表達式轉化為：

(6)

根據標定板得出的相機內參，獲得每張照片對應外參，得到工件坐標系{W}和相機坐標系{V}間的轉換關系：

(7)

式中，R、t為相機外參參數；0T和1分別表示3×3的旋轉矩陣和3×1的平移向量。

根據式(6)和式(7)，可以得到：

(8)

式中，RVS的物理意義為輔助坐標系平面到相機坐標系平面轉換的旋轉矩陣，理論上來說所有僅平移XYZ三軸得到的工件坐標，其對應的RVS是相等的，采集n組僅平移的圖片的數據，通過獲取所有平移圖片的外參旋轉矩陣，對其取平均值：

(9)

式中，Ri為第i張圖片的外參旋轉矩陣。

根據前文可以知道MT是機床坐標與各項誤差映射得到，引入一個HVSM∈R3×4矩陣來表示這種映射關系：

HVSM(XiYiZi1)T=ti

(10)

式中，ti為第i張圖片外參平移向量；Xi、Yi、Zi為第i組機床坐標，由此可建立線性方程組，根據式(9)、式(10)求解出矩陣RVS、HVSM，由此給定任意機械坐標，即可知道此時該點從坐標系{S}到坐標系{V}的變換關系。

2.2 旋轉狀態(tài)

當A軸轉動時，可以得到輔助坐標系上一點和工件坐標系之間的轉換關系：

PW=RA(PS-ta)+ta

(11)

(12)

式中，ta為A軸上一點；va為A軸的轉軸向量；θ為A軸旋轉角度；RA為坐標系繞A軸旋轉的旋轉矩陣，由羅德里格斯公式可得。

由式(7)、式(11)可求得僅A軸旋轉下{Y}到{V}的表達式：

pV=R·RA·pY+R·(E-RA)·ta+t

(13)

根據第2.1節(jié)的結果，令機械坐標為pM可以得到：

pV=RVS·pS+HVSM·pM

(14)

聯立式(13)、式(14)可以得到：

(15)

根據上式可求解出va、ta的初始解；同理可求得C軸在坐標系{C}下的向量vc，和軸上一點tc。

3 L-M優(yōu)化

通過對初始解進行實驗驗證，機床運動后的坐標位置誤差超出可接受范圍，因此需要對解值進行優(yōu)化。L-M算法是對Gauss-Newton算法的改進[19-20]，通過添加阻尼因子，使得迭代收斂的魯棒性更好，參考宋占峰等人的優(yōu)化方案[21]，通過L-M算法來對轉軸位姿進行優(yōu)化。

3.1 優(yōu)化模型

將第2節(jié)求得的轉換矩陣和轉軸位姿視為優(yōu)化目標，目標函數為n張標定板照片上的m個點在相機坐標系下的理論值和測量計算值之差的模的和最小，表達式為：

(16)

(17)

根據L-M算法的數學推導可知：

(18)

式中，Jk、ΔXk為第k次迭代自變量的雅克比矩陣和搜索步長。

對其進行求導并令結果為0，可以得到搜索步長的表達式：

(19)

第k次迭代自變量的雅克比矩陣表達形式為：

(20)

3.2 參數設置

(21)

對于某一步的迭代求解值ΔXk不一定是有效的，為了篩選和調整搜索步長，引入增益比ρ表示實際優(yōu)化量和預測優(yōu)化量的比值：

(22)

只有當當前迭代的搜索步長和方向使得代價函數下降時，搜索步長才是有效性的，通過以下判斷：

(23)

μk依據增益比來進行調整：

(24)

L-M算法的參數設置和流程如圖4所示。

圖4 L-M算法流程

4 實驗驗證

4.1 實驗場景布置

實驗選用大恒圖像IMAVISION的MER-132-30UM-L工業(yè)相機，LED光源，7×7圓點標定板。利用雙轉臺五軸點膠機來驗證求解方法，將工業(yè)相機安裝在Z軸上，標定板放置于跟隨C軸旋轉的工作臺中心位置，實驗現場如圖5所示。

圖5 實驗現場

4.2 實驗設置及結果分析

在保持照片清晰度的前提下拍攝標定板離相機不同Z軸距離的3組照片，每組Z軸相差5 mm，按照九宮格排布拍攝9張不同XY軸坐標下的照片，總共27張平動標定板照片；A軸在[-20,20]區(qū)間每旋轉4°采集一次，C軸在[-180,180]區(qū)間每旋轉30°采集一張，總共22張旋轉標定板照片。圖6為實驗采集的部分不同角度標定板照片。

圖6 拍攝的標定板照片

采集轉軸轉動的標定板照片，應當遵循光源良好，圖片清晰，照片位置分布均勻的原則。所有拍攝的標定板保持在照片的中心位置附近，以此來避免相機鏡頭的畸變帶來的像素點坐標誤差。

表1 L-M迭代過程的參數指標

由上表可以看出迭代次數在10次之后迭代殘差就沒有了明顯的下降趨勢，所以可以通過設置迭代的上限來提高L-M迭代的效率，將迭代次數k的閾值設置為20次。

4.3 方案魯棒性驗證結果及分析

為了驗證L-M優(yōu)化使用不同的搜索步長對迭代過程和結果的影響，設置了8組對照的搜索步長對照試驗，獲取不同的迭代優(yōu)化解值，得到實驗結果如表2所示。

表2 不同搜索步長的L-M優(yōu)化

由表2可知，雖然不同的迭代步長會影響初次迭代的結果，這某種意義上代表了不穩(wěn)定的初始解值輸入，但最終都解出幾乎相同的優(yōu)化解值。

最后為了驗證L-M優(yōu)化是否可以獲得更準確的結果以及標定采集的照片對實驗結果的影響，在采集標定照片時，將標定板放置在工作臺的中心，左上角，右下角，3種不同位置，通過相同流程采集標定照片，得到初始解，具體實驗分組如表3所示。

表3 采圖實驗分組信息

為了簡化實驗流程，直接在標定板上進行結果驗證，選取標定板上的唯一特征點作為MARK點，將相機十字光心對準MARK點，記錄當前機械坐標格式為[X,Y,Z,A,C]，利用求得的轉軸位姿參數計算得到旋轉后的機械坐標，將針閥移動到對應的機械坐標，如圖7a所示，對準MARK實際坐標，如圖7b所示。

(a) 對準坐標前 (b) 對準坐標后圖7 MARK坐標誤差對比

6組對照實驗得出的最終解依次用于24組加工點跟隨實驗，得到最終MARK點機械坐標的歐氏距離平均誤差結果如圖8所示。

圖8 對照實驗誤差圖

由圖8可知，將標定板安裝在工件臺中心位置進行照片采集，最終得出的結果誤差最小。并且優(yōu)化解值相對于未優(yōu)化解值，得出的結果誤差也更小，證明優(yōu)化算法有效。最終采圖方案遵循標定板位于工件臺中心，并且位于照片的像素中心，得出初始解，再進行L-M優(yōu)化，得到24組實驗數據的誤差平均值。數據表明此方案求解的轉軸位姿，用于實際加工后的歐氏距離平均誤差為0.066 mm，部分數據如表4所示。

表4 計算坐標與實際坐標對比表

5 結論

(1)基于機器視覺求解五軸點膠機轉軸位姿的方法是可行的。經過采圖對照實驗驗證，將標定板安裝在工件臺中心、保持良好光源、標定板位于照片的像素中心可以獲得最準確的轉軸位姿解值，滿足了五軸點膠機的實際加工需求。通過L-M迭代步長對照實驗，證明算法具有良好的魯棒性。

(2)本文算法可以通過編程將其模塊化，嵌入機床操作軟件中，簡化機床轉軸位姿標定的過程，提高加工效率。

(3)目前視覺采用的是二維圖像，對深度信息的獲取不夠準確，未來可以借助3D相機來獲取圖像的深度信息，得到精度更高的空間坐標，并利于算法優(yōu)化，進一步提升求解的轉軸位姿精度。