周群益，周麗麗，莫云飛，侯兆陽

(1. 廣州理工學(xué)院 通識教育學(xué)院，廣東 廣州 510540；2. 贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000；3. 長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長沙 410022；4. 長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064)

文獻(xiàn)[1]研究了有限長帶電導(dǎo)體直線的電荷分布規(guī)律.作者首先利用帶電導(dǎo)體橢球面的面電荷分布公式，將其轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)橢球面的面電荷公式，再在直線上用投影的方法證明了電荷線密度公式：

(1)

其中，Q是所帶電量(默認(rèn)Q>0)，a是帶電線段的半長，x是導(dǎo)體上的點(diǎn)到中心的距離.第2種方法就是利用帶電橢圓面的電荷在直線上投影推導(dǎo)第2個電荷線密度公式：

(2)

第3種方法就是用圓環(huán)帶電導(dǎo)線在直線上的投影推導(dǎo)出第3個電荷線密度公式：

(3)

3個公式都在分母中出現(xiàn)根函數(shù)，可稱之為根式分布規(guī)律.但是各式系數(shù)不同，說明推導(dǎo)過程有瑕疵.有文獻(xiàn)[2]證明：圓形導(dǎo)體薄板的電荷遵守根函數(shù)分布規(guī)律.我們也證明：無限長導(dǎo)體薄板的電荷也遵守根函數(shù)分布規(guī)律[3].我們曾經(jīng)猜想：導(dǎo)線線段還是遵守根函數(shù)分布規(guī)律的.后來證明，這種猜想是錯誤的.通過等勢線和電場線圖形說明式(1)是錯誤的，因而式(2)和(3)也是錯誤的.

本文用多種方法推導(dǎo)了同一個線密度公式，證明了帶電導(dǎo)體線段的電荷是均勻分布的.有文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了均勻帶電線段的等勢線是橢圓，電場線是雙曲線，但是過程不詳細(xì)，也沒有說明均勻帶電線段是導(dǎo)體.本文詳細(xì)地推導(dǎo)了等勢線的方程和電場線的方程，通過等勢線方程的極限情況，證明了均勻帶電線段是等勢線.通過電場線與線段垂直，證明了均勻帶電線段就是導(dǎo)體.文本最后說明了電荷之外拉普拉斯方程成立，進(jìn)而證明了均勻帶電線段是導(dǎo)體.

1 用導(dǎo)體橢球面電荷分布公式求導(dǎo)體線段的電荷分布

帶電導(dǎo)體橢球面電荷分布的面密度公式為[5-6]

(4)

其中，上標(biāo)E表示橢球面，a、b和c分別是橢球面的3個半軸.橢球面方程為

(5)

設(shè)b=c=R，則橢球面變成旋轉(zhuǎn)橢球面，電荷面密度為

(6)

上標(biāo)R表示旋轉(zhuǎn)橢球面.將旋轉(zhuǎn)橢球面的方程變

形為

將其代入式(6)可得

(7)

文獻(xiàn)[1]根據(jù)電荷等量關(guān)系認(rèn)為λdx=σ2πRdx，σ=σ(R)，當(dāng)R→0時(shí)求得式(1).這種關(guān)系將y誤作R，就是將旋轉(zhuǎn)橢球面變成了旋轉(zhuǎn)圓柱面，因而推導(dǎo)出錯誤的結(jié)果.嚴(yán)格說來，dx應(yīng)該改為孤元ds，只是當(dāng)R→0時(shí)，ds→dx.

旋轉(zhuǎn)橢球面在Oxy平面的截面如圖1所示，R是橢圓縱半軸，橢圓的參變量方程是

圖1 旋轉(zhuǎn)橢球面在Oxy平面的截面

x=acosθ，y=Rsinθ

(8)

微分為

dx=-asinθdθ，dy=Rcosθdθ

(9)

弧元是

(10)

弧元ds繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的面積元是

(11)

其所帶的電荷量為

dq=σ(R)dS=

(12)

當(dāng)R→0時(shí)，旋轉(zhuǎn)橢球面退化為一條長為2a的線段，電荷投影在線段上，其線密度為

(13)

可見帶電導(dǎo)體線段的電荷分布是均勻的.

2 用導(dǎo)體平面電荷分布公式求導(dǎo)體線段的電荷分布

2.1 利用橢圓的面電荷公式

在式(4)中，當(dāng)c→0時(shí)，三維橢球面就退化為二維橢圓面，由于一個橢圓面是一個橢球面上下兩部分重疊的結(jié)果，所以電荷的面密度為

(14)

上標(biāo)P表示平面.將橢球面方程變形為

將上式代入式(14)可得

(15)

文獻(xiàn)[1] 根據(jù)電荷等量關(guān)系認(rèn)為λdx= 2σbdx，σ=σ(P)/2，從而求得式(2).這種關(guān)系將y誤作b，就是將橢圓變成了矩形，因而推導(dǎo)出錯誤的結(jié)果.

橢圓面如圖2所示，上半橢圓的方程為

圖2 橢圓面上的面積元

(16)

由式(15)可得電荷的面密度為

(17)

在橢圓面中取一個面積元dxdy，其所帶的電荷量為

d2q=σ(P)dxdy

寬為dx的條形面積元所帶的電荷量為

(18)

這些電荷投影在x軸上，電荷的線密度為

(19)

結(jié)果與式(13)的結(jié)果完全相同.

2.2 利用圓的面電荷公式

在式(15)中，令b=a，橢圓就變成了圓，利用圓的方程x2+y2=ρ2，可得導(dǎo)體圓面電荷分布公式:

(20)

上標(biāo)C表示圓面.這是圓形導(dǎo)體薄板電荷面密度的根式分布規(guī)律，與均勻球面電荷在平面上投影的面密度公式是完全相同的[2].

利用式(20)也能證明式(19).上半圓的方程為

(21)

式(20)可化為

(22)

在圓面中取一個面積元dxdy，其所帶的電荷量為

d2q=σ(C)dxdy

寬為dx的條形面積元所帶的電荷量為

這個積分的形式和結(jié)果與式(18)相同，因而電荷的線密度就是式(19).

3 用導(dǎo)體球面電荷分布公式求導(dǎo)體線段的電荷分布

由于均勻帶電圓環(huán)不是封閉的等勢面，所以不能用文獻(xiàn)[1]的第3種方法通過投影法求得導(dǎo)體線段的電荷分布公式.

設(shè)導(dǎo)體球面半徑為a，帶電荷量為Q，均勻分布在球面上，電荷的面密度為

(23)

上標(biāo)S表示球面.在式(2)中，令b=c=a，并利用球面方程x2+y2+z2=a2也可以得到上式.

球面在Oxy平面的截面如圖3所示，圓的參變量方程為

圖3 球面在Oxy平面的截面

x=acosθ，y=asinθ

(24)

弧元ds=adθ繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的面積元是

dS=2πyds=2πyadθ

其所帶電荷量為

結(jié)果完全相同而方法更簡單.再次證明：帶電導(dǎo)體線段的電荷分布是均勻的.

其實(shí)，作者最初就是用這種方法證明了均勻帶電線段是導(dǎo)體，因而對文獻(xiàn)[1]的結(jié)果提出了質(zhì)疑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了錯誤，從而得出正確的結(jié)論.當(dāng)然，這個結(jié)論還需要通過多方面驗(yàn)證.

4 電荷線密度根式分布的電勢和場強(qiáng)以及可視化

4.1 電勢和場強(qiáng)的表達(dá)式

用(x,y)表示二維空間場點(diǎn)的坐標(biāo)，電荷線密度根式分布式(1)可表示為

(25)

如圖4所示，建立坐標(biāo)系，在線段上取一線元dl，其所帶電荷量為dq=λdl，線元到場點(diǎn)P的距

圖4 帶電線段的電勢

(26)

產(chǎn)生電勢為

其中k為靜電力常數(shù).取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，線電荷產(chǎn)生的電勢為

注意：上式是收斂的瑕積分.設(shè)l=asinθ，則dl=acosθdθ，上式化為

(27)

當(dāng)y=0時(shí)，可得

(28)

在|x|

E(x,y)=-U(x,y)

(29)

(30)

場強(qiáng)也可以求數(shù)值解.

4.2 電勢和場強(qiáng)的無量綱化和可視化

取U0=kλ0為電勢單位，則根式分布電荷的無量綱電勢為

其中x*=x/a，y*=y/a是無量綱的坐標(biāo).

設(shè)E0=U0/a=kλ0/a，取E0為電場強(qiáng)度單位，則無量綱的電場強(qiáng)度為

E*(x*,y*)=-*U(x*,y*)

根據(jù)數(shù)值電勢可以求數(shù)值電場強(qiáng)度.

將公式無量綱化之后即可用MATLAB梯形求和函數(shù)trapz求電勢的數(shù)值積分之值，用梯度函數(shù)gradient求電場的兩個分量，用等高線指令contour畫等勢線，用流線指令streamline畫電場線[7].

1) 當(dāng)電荷線密度按式(1)分布時(shí)，其電勢U(x,y)的曲面和三維等勢線如圖5所示，電勢在線段端點(diǎn)有兩個尖銳的“峰”，這是因?yàn)閮蓚€端點(diǎn)的電勢為無窮大.當(dāng)電勢比較低時(shí)，三維等勢線是同時(shí)包圍兩個“峰”的對稱的封閉曲線；當(dāng)電勢比較高時(shí)，三維等勢線是分別包圍兩個“峰”的兩條封閉曲線.兩“峰”之間電勢的變化十分顯著.三維等勢線在Oxy平面上的投影就是二維等勢線.

圖5 根式分布線電荷的電勢面和三維等勢線

2) 當(dāng)電荷線密度按式(1)分布時(shí)，二維等勢線和電場線如圖6所示，當(dāng)電勢比較低時(shí)，等勢線是包圍線段的凸形曲線；當(dāng)電勢比較高時(shí)，等勢線是靠近帶電線段的凹形曲線；當(dāng)電勢很高時(shí)，等勢線變成分別繞端點(diǎn)的曲線，這種曲線穿過了線段.后面兩種情況是因?yàn)榫€段兩端的電荷線密度比較大所造成的.電場線與等勢線正交，但是明顯不垂直于帶電線段，說明線段不是導(dǎo)體，因此式(1)不可能是帶電導(dǎo)體線段的線密度公式.由于式(2)和式(3)與式(1)只有系數(shù)不同，所以也是錯誤的.

圖6 根式分布線電荷的等勢線和電場線

5 電荷線密度均勻分布的電勢和場強(qiáng)以及可視化

5.1 等勢線方程

電磁學(xué)教材通常都會推導(dǎo)均勻帶電線段的電勢和電場強(qiáng)度的公式，有的教材還畫出了電場線和等勢線[7].如圖4所示，當(dāng)電荷線密度是均勻分布時(shí)，電荷元產(chǎn)生電勢為

線電荷產(chǎn)生的電勢為

(31)

無窮遠(yuǎn)處是電勢零點(diǎn).當(dāng)|x|

當(dāng)電勢為常數(shù)時(shí)，設(shè)c=exp(U/kλ0)，c>1，則

兩邊平方后，化簡可得

移項(xiàng)可得

再平方后，化簡可得

(32)

這是橢圓方程，兩個半軸分別為

(33)

(34)

其中，c是由電勢決定的無量綱參數(shù).當(dāng)U→+∞時(shí)，可得c→+∞，因此A→a，B→0，這時(shí)，等勢線的橢圓退化為一條長為2a的線段，可見：均勻帶電線段就是一條等勢線.

5.2 電場線方程

電場強(qiáng)度的兩個分量分別為:

(35)

(36)

(37)

將式(35)和式(36)代入上式，用湊微分法可得微分方程為

積分可得電場線的代數(shù)方程為

再平方后化簡可得

(38)

這是雙曲線族.實(shí)半軸和虛半軸分別為

(39)

(40)

其中，c是由電場線的起點(diǎn)決定的參數(shù).令c=0，則得x=0，雙曲線退化為一條豎直線，這就是y軸；令c=±a，則得y=0，雙曲線退化為x軸上除了帶電線段之外的左右兩條水平射線.

5.3 電場的可視化

取a為坐標(biāo)單位，可以將橢圓的參變量方程無量綱化.在MATLAB中取無量綱的電勢為向量，計(jì)算無量綱的常數(shù)c向量，將參變量θ也取為向量，用meshgrid函數(shù)化為矩陣，即可計(jì)算兩個坐標(biāo)，用plot指令畫出橢圓曲線族.同理，取a為坐標(biāo)單位，可以將雙曲線的參變量方程無量綱化，c/a是無量綱的常數(shù)，用同樣的方法繪制雙曲線族.

均勻帶電線段的等勢線和電場線如圖7所示，等勢線是包圍線段的閉合的對稱曲線族，等勢線的電勢U從外到內(nèi)依次取為(1,2,…,7)kλ0，電勢越高，橢圓就越扁平，當(dāng)電勢U趨于無窮大時(shí)，等勢線趨于線段.電場線是雙曲線族，與橢圓等勢線族處處正交，也垂直于帶電線段，說明場強(qiáng)在線段表面只有垂直分量，帶電線段就是導(dǎo)體.

圖7 均勻帶電線段的等勢線和電場線

6 均勻帶電線段電勢的拉普拉斯方程證明

帶電導(dǎo)體之外的電勢應(yīng)該滿足拉普拉斯方程：

(41)

手工計(jì)算電勢對坐標(biāo)的二階偏導(dǎo)數(shù)十分麻煩，借助于MATLAB的符號計(jì)算，可大大提高計(jì)算效率.

6.1 二維拉普拉斯方程問題

(42)

式(31)可化為

U(x,y)=kλ0[u1(x,y)-u2(x,y)]

(43)

其中

(44)

u1(x,y)對坐標(biāo)的兩個二階偏導(dǎo)數(shù)分別為

(45)

(46)

同理可得

(47)

6.2 三維拉普拉斯方程問題

由于均勻帶電線段是在三維空間激發(fā)電場的，電勢應(yīng)該表示為

(48)

(49)

式(48)可化為

U(x,y,z)=kλ0[u1(x,y,z)-u2(x,y,z)]

(50)

其中

(51)

u1(x,y,z)對x和y的二階偏導(dǎo)數(shù)在形式上就是式(45)，u1(x,y,z)對z的二階偏導(dǎo)數(shù)為

(52)

7 結(jié)束語

本文指出了文獻(xiàn)[1]中的錯誤和發(fā)生錯誤的原因，用多種電荷投影法證明：導(dǎo)體線段所帶的電荷是均勻的.本文求出了均勻帶電線段的等勢線方程和電場線方程，證明均勻帶電線段是等勢線，電場線與線段垂直，利用等勢線和電場說明均勻帶電線段是導(dǎo)體.

畫圖是檢驗(yàn)公式正確與否的最直觀的方法.通過電勢曲面和等勢線與電場線說明根式分布的電荷不可能是導(dǎo)體，也通過畫圖顯示均勻帶電線段是導(dǎo)體.掌握MATLAB的符號計(jì)算方法可以大大提高計(jì)算和研究效率.在這類問題中最好將電勢公式分解為最簡形式，然后計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)的和，最后化簡.這種方法可以檢驗(yàn)電勢是否滿足拉普拉斯方程，從而判斷帶電體是否導(dǎo)體.