徐 東, 賈旭杰, 姚兆勝, 王 琦

(1.中央民族大學 理學院統(tǒng)計學系,北京 100081; 2.北京理工大學 管理與經(jīng)濟學院,北京 100081)

0 引言

系統(tǒng)損害過程通?？梢猿橄鬄橥嘶^程(例如磨損、腐蝕)或者沖擊過程(例如機械沖擊、電流負載沖擊)，并且系統(tǒng)生命周期內(nèi)二者常會同時存在，例如發(fā)動機、機床、滾動軸承、微機電系統(tǒng)等。因此在系統(tǒng)可靠性建模時同時考慮退化和沖擊損害以及它們間的相互依賴關系是很有必要的，這也成為了目前可靠性工程領域的研究熱點。早前的沖擊、退化過程依賴關系被簡單地假設為沖擊的發(fā)生會導致退化損害累積量的突增，這一假設被后來學者廣泛采用，卻又漸漸無法滿足日益復雜的系統(tǒng)可靠性建模，因此更多更加嚴格、復雜的相互依賴關系陸續(xù)被學者們提出。Che et al.[1]假設沖擊發(fā)生強度為退化損害累積量和當前系統(tǒng)已發(fā)生沖擊數(shù)目的函數(shù)，以此描述沖擊過程對退化過程的依賴關系，但忽略了退化過程的參數(shù)往往也會隨著系統(tǒng)損害的累積而改變[4]。Wang et al.[2]提出的模型中，給出了退化路徑對當前非致命沖擊發(fā)生的數(shù)量和沖擊損害總和的函數(shù)關系，但沒有分析沖擊過程會隨著系統(tǒng)損害的累積而變化。

沖擊過程中還存在著依賴性，系統(tǒng)處于更健康的狀態(tài)下對沖擊損害具有更高的耐性[3]。一方面，同樣大小的沖擊損害往往對更健康的系統(tǒng)有著較小的損害，而對損害較嚴重的系統(tǒng)甚至可能是致命的；另一方面，系統(tǒng)處于較為健康的狀態(tài)時，某些較小的沖擊屬于無效沖擊，它對系統(tǒng)的退化損害累積過程無貢獻，這等價于此時沖擊發(fā)生過程的強度更小。

許多學者逐漸揭露了系統(tǒng)退化中所存在的多階段現(xiàn)象，例如描述軸承退化的二階段跳躍退化模型[8]中階段轉換點被假設為一個固定或隨機的時間點，階段轉換伴隨著損害突增，且不同階段下退化過程的參數(shù)不同[4～8]。另一方面，類似折線逼近曲線，描述復雜非線性退化的變退化率退化模型[5,9]也可以用多階段模型來處理。

引起沖擊和退化過程參數(shù)連續(xù)或階段性改變的因素有很多，但當前的研究主要研究其中的某一個或幾個特征，缺少對復雜的沖擊、退化參數(shù)間依賴關系和呈現(xiàn)出的多階段特征的廣義的模型，本文提出一種廣義的沖擊和退化過程具有依賴關系的多階段模型，模型的特征關系如圖1。

圖1 沖擊、退化間依賴關系

1 模型建立與假設

系統(tǒng)的工作環(huán)境同時存在沖擊和退化兩種損害機制，系統(tǒng)的損害程度由退化累積過程來度量，沖擊發(fā)生會對退化過程產(chǎn)生貢獻，造成退化過程中的損害突增。單純的退化過程是連續(xù)的，設系統(tǒng)退化損害累積過程存在常數(shù)閾值記為c，達到c視為系統(tǒng)失效，系統(tǒng)進入吸收態(tài)。為了構建離散狀態(tài)空間[0,c]將損害區(qū)間均分K-1份，利用離散系統(tǒng)狀態(tài)空間S={1,2,…,K}劃分系統(tǒng)的K個階段，其中各個系統(tǒng)狀態(tài)分別對應如下退化損害量級，{[0,c/(K-1)],(c/(K-1),2c/(K-1)],…,((K-2)c/(K-1),c],(c,∞)}。

當i,j∈S且i

Xi(t)=αi+βit

(1)

式(1)表示系統(tǒng)在狀態(tài)i中持續(xù)時長t所累積的退化損害量，其中退化率βi為正值隨機變量用來描述隨機波動，常數(shù)αi為階段i的初始損害。系統(tǒng)在狀態(tài)i∈SW中持續(xù)時長t累積的損害總量等于退化累積量加上沖擊損害對退化過程的貢獻量，即

(2)

對于系統(tǒng)階段轉換點，當系統(tǒng)在某個狀態(tài)i∈SW中累積的退化總量Di(t)首次達到閾值c/(K-1)時，系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)轉換進入更差的狀態(tài)。由于存在沖擊造成的損害突增，系統(tǒng)存在一步躍升多個狀態(tài)的可能。將c/(K-1)記為C，系統(tǒng)在狀態(tài)i的持續(xù)時長記為τi，從系統(tǒng)進入狀態(tài)i開始計時，顯然τi也就是階段i下閾值C的首達時間(FPT)。因此系統(tǒng)從狀態(tài)i∈SW轉入狀態(tài)j=i+ω∈SW當且僅當Di(t)滿足如下兩個事件的交，

(3)

前一個事件意味著系統(tǒng)在工作狀態(tài)i∈SW下持續(xù)時長小于τi時累積的損害量始終小于C，后一個事件表示系統(tǒng)在狀態(tài)i下經(jīng)歷時長τi所累積的損害量Di(τi)達到下一個狀態(tài)j=i+ω∈SW對應的損害量級從而進入工作狀態(tài)j。另一方面，系統(tǒng)從工作狀態(tài)i∈SW轉入吸收態(tài)K當且僅當Di(t)滿足如下兩個事件的交，

(4)

2 馬爾可夫更新過程建模

記Ti(i=1,2,…)為第i次狀態(tài)轉移時刻，T0=0，顯然Ti,i=1,2,…為具有馬爾可夫性的再生點。記Zn為系統(tǒng)在時刻Tn,n=0,1,…進入的狀態(tài)，則時齊馬爾可夫更新過程{(Zn,Tn),n=0,1,…}可以用來描述本文中的系統(tǒng)狀態(tài)演化過程。記{Qi,j(t),i,j∈S}為{(Zn,Tn),n=0,1,…}對應的半馬爾可夫核，接下來分類討論半馬爾可夫核Qi,j(t)的具體形式。

半馬爾可夫核Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}過程齊次，若系統(tǒng)在第n步進入狀態(tài)i，則此時系統(tǒng)在狀態(tài)i下的持續(xù)時長τi=Tn+1-Tn。由沖擊和退化構成的復合過程Di(t)知，本文系統(tǒng)損害累積的過程為單調(diào)遞增，因此當j≤i,i∈SW時

Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}=0,j≤i,i∈SW

(5)

當j=i+ω,ω>1;i,j∈SW，將Ni(τi)記為狀態(tài)i下系統(tǒng)在時間區(qū)間(Tn,Tn+1]內(nèi)發(fā)生的沖擊次數(shù)，系統(tǒng)在狀態(tài)i下是(Tn,Tn+1]內(nèi)的最后一次沖擊，即第Ni(τi)次沖擊，使得系統(tǒng)累積損害總量從小于C跳躍到損害區(qū)間[ωC,(ω+1)C]。結合狀態(tài)轉換規(guī)則式(3)，利用全概率公式，此時的半馬爾可夫核可以表示為

Qi,j+ω(t)=P{Zn+1=i+ω,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(6)

由假設知(從系統(tǒng)進入狀態(tài)i后開始計時)狀態(tài)i下第m次沖擊發(fā)生的時刻被記為ti,m，此時若狀態(tài)i下的第m次沖擊導致了系統(tǒng)狀態(tài)轉移，則系統(tǒng)在狀態(tài)i的持續(xù)時間τi=ti,m，因此Ni(τi)=Ni(ti,m)=m，上式可以化簡為，

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(7)

fi,m-1|u(η|u)=fαi(η)*fβiu(η)*

fYi,1(η)*…*fYi,m-1(η)

號代表卷積運算

式(7)中fti,m(u)為ti,m的概率密度函數(shù)，由假設知ti,m服從伽馬分布如下

(8)

將式(8)代入(7)得

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(9)

當i∈SW,i≠K-1,j=K，即系統(tǒng)從某個不為K-1的工作狀態(tài)直接轉入吸收態(tài)，前后狀態(tài)不相鄰，根據(jù)假設的狀態(tài)轉換規(guī)則式(4)，

Qi,K(t)=P{Zn+1=K,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,i≠K-1,j=K

(10)

當i∈SW,j=i+1時，即系統(tǒng)在退化和沖擊環(huán)境共同作用下轉入下一個相鄰的狀態(tài)，狀態(tài)轉移既可能是退化導致的也可能是沖擊導致的，

Qi,i+1(t)=P{Zn+1=i+1,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,j=i+1

(11)

P{Tn+1-Tn≤t|Zn=i}

(12)

將(5)(9)(10)(12)代入(11)即得，

(13)

3 可靠度分析

馬爾可夫更新過程對應的半馬爾可夫核Qi,j(t)為可靠度求解的基礎，將時齊馬爾可夫更新過程{(Zn,Tn),n=0,1,…}所對應的半馬爾可夫過程記為{H(t),t≥0}，H(t)為時刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)。K為吸收態(tài)，將系統(tǒng)壽命記為TL，它滿足TL=inf{t≥0,H(t)=K}，假設系統(tǒng)在時刻0進入工作狀態(tài)i∈SW，此時系統(tǒng)可靠度記為Ri(t)，系統(tǒng)失效當且僅當系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)轉移進入吸收態(tài)，因此系統(tǒng)壽命TL必然不小于首次狀態(tài)轉移時刻T1，此時P{TL>t,T1>t}=p{T1>t}，則

Ri(t)=P{TL>t|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+P{TL>t,T1>t|Z0=i}

=P{TLt|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+1-P{T1≤t|Z0=i}

(14)

其中P{TL>t|Z1=j,T1=u,Z0=i}=P{TL>t-u|Z0=j}=Rj(t-u)。式(14)中得到的馬爾可夫更新方程可以表示為，

(15)

對上式做Laplace(L)變換和Laplace-Stieltjes(L-S)變換得，

(16)

其中“～”代表L變換，“^”表示L-S變換。解線性方程組(16)，再拉普拉斯逆變換得到系統(tǒng)可靠度。

4 總結

論文建立了多階段沖擊和退化過程的復合模型，提出了一種更加廣義的沖擊和退化過程依賴關系模型，每個階段下沖擊過程和退化過程同時對系統(tǒng)損害累積過程產(chǎn)生貢獻，系統(tǒng)損害累積到一定程度從而導致系統(tǒng)狀態(tài)的轉移也即階段改變，狀態(tài)轉移又反饋性地改變沖擊和退化過程所服從的各種參數(shù)。該模型可用來分析沖擊和退化具有依賴關系的多階段可靠性系統(tǒng)。