移動載荷作用下浮冰的非線性動力學響應1)

2022-06-13 11:42:38孟洋涵王展

力學學報 2022年4期

關鍵詞：冰層三階黏性

孟洋涵王展 ,**,2)

* (中國科學院力學研究所流固耦合實驗室,北京 100190)

? (中國科學院大學工程科學學院,北京 100049)

** (中國科學院大學未來技術學院,北京 100049)

引言

作為經典水波理論的擴展,水彈性波考慮了自由面的彈性效應,可用于描述彈性薄板與流體之間的相互作用.對水彈性波的研究起源于對高緯度地區(qū)大型冰蓋的利用,這些冰蓋常被作為季節(jié)性的交通通道供車輛行駛及小型飛機起飛降落.當車輛或小型飛機在冰蓋上行駛時,移動的壓力源會激發(fā)一系列在冰層和流體界面處傳播的波,稱之為水彈性波,其涉及的回復力包括重力和冰層變形對流體施加的彈性.與重力毛細波不同,水彈性波的波長可達到數十米甚至上百米,因此在實驗中更易觀測.Takizawa[1]和Squire等[2]分別在Lake Saroma 和McMurdo Sound 對移動載荷作用下的冰層響應進行了測量,得到了不同運動速度下的冰層撓度及應變.

為了更好地理解運動載荷下的冰層響應問題,許多研究者從理論上對水彈性波進行了細致的研究,但早期的研究多基于線性理論.Kheisin[3]在研究點載荷及線載荷作用下的冰層位移時發(fā)現線載荷存在兩個臨界速度,在臨界速度下冰層撓度趨于無窮.Nevel[4]擴展了Kheisin 的分析方法以處理分布在圓形區(qū)域上的均勻載荷,發(fā)現點載荷也存在對應的臨界速度.進一步的分析表明這個臨界速度就是自由水彈性波的最小相速度[5].接著文獻[6]運用漸近傅里葉展開研究了勻速運動載荷激發(fā)的遠場穩(wěn)定波形,發(fā)現臨界速度恰巧為水彈性波的群速度,由此給出了臨界速度處冰層響應趨于無窮的物理解釋.與此同時,他們還在不同的系統(tǒng)參數下得到了各類復雜的波形包括焦散和零波響應區(qū).Babaei等[7]以及van der Sanden 和Short[8]利用衛(wèi)星觀測了車輛在冰面上行駛時所激發(fā)的波形,觀測結果驗證了文獻[6]對遠場波形的理論預測.Schulkes等[9]在文獻[6]工作的基礎上,進一步考慮了冰層壓應力,均勻流以及流體分層對冰層響應的影響.對于臨界速度處所出現的奇性,Kheisin[10]意識到可以從瞬態(tài)冰層動力學響應入手,分析結果表明,當線載荷以最小相速度cmin運動時水彈性波振幅與t1/2成正比,t為時間參數.Schulkes 和Sneyd[11]則在研究勻速線載荷作用下的時間依賴響應時得到了第二個臨界速度(g為重力加速度,H為水深),當載荷以此速度運動時水彈性波振幅與t1/3成正比.然而Nugroho等[12]的研究結果卻發(fā)現在三維情況下,當載荷運動速度為時仍然可以得到穩(wěn)態(tài)有界波形,并不會出現水彈性波振幅無限增長的情況,因此并不能稱之為臨界速度.Miles 和Sneyd[13]探究了加速載荷作用下的冰層響應,研究結果顯示將載荷從靜止逐漸加速到兩個臨界速度可以避免冰層響應在臨界速度處的奇異.

在對冰層動力學響應的實驗研究中,Wilson[14]最早發(fā)現了觀測點處冰層最大垂直位移對應的時刻與載荷經過觀測點的時刻之間的差異.隨后Beltaos[15],Takizawa[1]以及Squire等[2]在他們的實驗中證實了這種滯后效應的存在.同時Takizawa[1]在控制方程中引入耗散項對實驗中出現的滯后效應進行了解釋,但其所考慮的僅是穩(wěn)態(tài)冰層響應而無法得到冰層響應的時歷曲線.Hosking等[16],Wang等[17]利用記憶函數在線性理論中引入黏彈性得到了臨界速度V=cmin處的有界冰層響應以及滯后行為.

黏性項的引入能夠合理地解釋實驗中所出現的滯后效應,但利用線性理論對臨界速度附近的大振幅冰層動力學響應進行探究仍然存在較大的局限,因此非線性對于描述移動載荷作用下的冰層效應同樣重要.P?r?u 和Dias[18]在考慮線性理論中的兩個共振(奇點)情況時首次引入非線性效應并得到了臨界速度附近的有界冰層位移.Dinvay等[19]考慮非線性、黏性以及慣性效應,利用Dirichilet-Neumman 算子建立了能夠描述各類運動載荷下冰層響應的完全色散弱非線性模型并通過數值計算結果與實驗結果之間的對比驗證了模型的有效性.但是需要指出的是由于非線性項僅保留至二階,該模型對應的非線性薛定諤方程是不準確的.在利用二階模型計算臨界速度附近的冰層動力學響應時所得到的數值結果可能會與實驗結果存在較大差異.除此之外,他們所關注的實驗均為水深較小的情況,而未對Squire等[2]在深水中的實驗進行討論.因此仍需要發(fā)展更為準確的非線性黏彈性理論來描述不同水深情況下臨界速度cmin附近的冰層大幅度撓曲.

通過對相關的擬微分算子進行展開并將非線性項保留到三階,本文將完全非線性二維問題轉化為僅與自由面上變量相關的一維系統(tǒng),即三階截斷模型.為驗證三階截斷模型的準確性及其相對于二階模型[19]的優(yōu)勢,本文從理論和數值上對波包型孤立波解進行了探究.理論上不考慮黏性和外加載荷的作用,采用多重尺度方法推導三階非線性Schr?dinger 方程,基于此方程預測不同水深下孤立波解的存在性以及三階截斷模型的準確性.數值上仍然暫不考慮黏性和外加載荷,計算完全歐拉方程、三階截斷模型以及二階截斷模型在兩個典型水深下的孤立波解及分岔曲線.數值結果表明,三階截斷模型能夠較好地與歐拉方程吻合,其精度遠高于二階截斷模型.最后將黏性和外加載荷考慮在內,基于發(fā)展的三階截斷模型對兩個工況中移動載荷作用下的浮冰動力學響應進行數值模擬并將數值結果與實驗記錄進行對比.

1 數學模型及數值方法

考慮密度為 ρ,水深為h的不可壓縮、無黏流體,其頂部自由面覆蓋密度為 ρi,厚度為d的無限大冰層,可通過彈性形變對流體施加回復力.假設冰層在受到移動載荷作用前沒有受到壓縮或拉伸.流體底部為剛性邊界,不可穿透.建立二維笛卡爾坐標系,使x軸與未發(fā)生形變時的冰層重合,y軸垂直向上,與重力加速度g的方向相反,冰層位移為 η (x,t) .流體運動無旋,因此引入速度勢函數 ?,其滿足Laplace方程

自由面上的運動學及動力學條件為

其中,P為冰層彈性變形引起的回復力,p(x,t) 表示施加的外力載荷.采用Toland[20]提出的水彈性模型,同時考慮冰層的慣性及黏性,于是自由面上的法向應力平衡方程為

其中Pa為大氣壓,恒為常數,為冰層的彈性剛度,κ 為冰層曲率,s為弧長參數,黏性參數b＞0.本文將冰層視為各向同性材料,一方面是由于各向異性材料所涉及的彈性參數過于復雜,在建立數學模型描述法向應力突變時會存在較大的困難;另一方面,Takizawa[1]在實驗中測量了冰層在橫向和縱向上的彈性模量,兩者之間差異不大.Squire等[2]也指出真實彈性模量與冰層響應并不直接相關,更為重要的是實驗中的有效彈性模量,因此本文采用了簡化的各向同性假設[6,19,21,22]并使用了實驗測量得到的有效彈性模量.此外底部邊界處滿足不可穿透條件 ?y=0,y=-h.

1.1 三階截斷模型

為了計算載荷作用下的冰層響應并將數值結果與已有的實驗結果進行對比,引入Dirichilet-Neumman (DtN)算子對原始歐拉方程進行近似處理.利用該算子可避免求解自由邊界上的Laplace 方程,將自由面處的邊界條件轉化為以正則變量表達的形式,消去邊界條件對y坐標的依賴,將原始的二維問題轉換為一維系統(tǒng).同時可對慣性項所引入的二階時間導數項進行處理,便于進行后續(xù)的時間依賴計算.令自由面處的速度勢函數 ξ (x,t)=?(x,η(x,t),t),定義DtN 算子

Craig 和Sulem[23]已經證明當 η 的范數小于一個確定的值,G (η) 是解析的并且可以展開為級數形式

其前三項可寫為

其中 D=(-?xx)1/2.深水情況下 G0=D,其他兩項形式不變.由此,慣性項 ηtt可用DtN 算子表示

這里保留至關于 ξ 的三階項.將用DtN 算子表示的各項代入自由面的運動學和動力學條件,可得

算子F 定義為

將1 +αG0記為K.對算子F 取逆算子可得

則動力學邊界條件可進一步寫為

這里將式(5)和式(7)稱為三階截斷模型.

1.2 數值方法

本文將通過擬譜法在周期域上對三階截斷模型進行數值求解,所有的導數項均在傅里葉空間中計算,而非線性項則在物理空間中進行計算.首先對方程式(5)和式(7)進行傅里葉變換

由于 ξ 和 η 均為實數,關于p,q的兩方程實際上是等價的,因此對三階截斷模型的求解可以簡化為對下式的求解

在數值求解方程式(8) 后,可以進一步得到ξ和η

2 模型驗證及數值結果

2.1 孤立波解及模型驗證

本節(jié)從自由波包型孤立波解入手,通過比較完全歐拉方程、三階截斷模型和二階截斷模型的孤立波解,驗證三階截斷模型的準確性,說明三階截斷模型相比于二階截斷模型[19]更為合理.在弱非線性理論中,波包型孤立波存在的條件是:群速度與相速度在非色散點相等且在此波數下對應波包方程為焦聚型.在不考慮慣性項的情況下,水彈性波所對應的三階非線性薛定諤方程(NLS) 的性質會在臨界水深hc=233發(fā)生變化[22].當水深小于臨界深度時,NLS是焦聚型,波包型孤立波從振幅無限小的周期波分岔而來.而當水深大于臨界深度時,NLS 變?yōu)榻股⑿?此時只存在有限振幅的波包型孤立波解.為了更好地理解自由波包型孤立波解的存在性并對三階截斷模型的準確性進行驗證,首先令三階截斷模型中的黏性系數 β=0,在無外力作用下推導考慮冰層慣性的三階NLS 方程.對弱非線性水彈性波,假設η～O(ε),?～O(ε),這里 ε 是用來衡量波陡的小參數.由此,自由面上的勢函數可在y=0 處展開為

因此自由面上的運動學和動力學條件在y=0 處展開為

為了得到波包的控制方程,引入慢變量X=εx,T=εt和 τ=ε2t.設解的形式為

這里 θ=kx-ωt,c.c.代表復共軛,i 為虛數單位.將解式(9)和式(10)代入運動學和動力學邊界條件中,在O(ε) 階得到

從上式可知 φ11=?11/cosh(kh) .同時要使上述方程存在非零解需要滿足可解性條件

上式為水彈性波的色散關系式.

在O(ε2) 階,可以得到

其中

為水彈性波的群速度.在O(ε3) 階時,由可解性條件經過繁復的計算最終可以得到波包的控制方程,即三階非線性薛定諤方程

D0,D1和D2的具體表達式見附錄.為了后文討論方便,分別將色散項和非線性項的系數記作 λ,γ .令慣性項系數為0,得到的三階NLS 與Milewski 和Wang[25]所推導的方程退化到二維情形下的形式是一致的.考慮深水情況h→∞,則此時色散項和非線性項的系數變?yōu)?/p>

需要指出的是,二階截斷模型[19]保留了原始歐拉方程的色散關系,對應三階NLS 方程的色散項系數與本文所推導的是一致的,但其在對原始方程進行近似時僅將非線性項保留至二階,因此對應的NLS 中非線性項的系數是不準確的.

為了驗證三階截斷模型的準確性,本文重點關注了水深h=6.8 m和h=250 m 時的NLS 方程性質及孤立波解.在不考慮慣性項影響時,水深h=6.8 m對應焦聚型NLS,水深h=250 m 對應焦散型NLS.現在在方程中加入慣性項,在水深較小的情形下(h=6.8 m ＜hc)參考Takizawa[1]實驗中冰層的物理參數取慣性系數 α=0.069,考慮慣性后的NLS 仍然為焦聚型但非線性項的系數有所增大,孤立波由振幅無限小的周期波分岔而來,理論上此時的三階截斷模型會具有較高的精度.進一步地,數值計算波包型孤立波解以證明這一點.對于完全歐拉方程,采用保形映射將原不規(guī)則物理域映射為規(guī)則的矩形區(qū)域再結合牛頓迭代求解(關于此算法的詳細介紹可見文獻[22]).將由數值計算得到的二階截斷模型和三階截斷模型的分岔曲線與完全歐拉方程的分岔曲線進行對比(圖1).在較大振幅范圍內,三階截斷模型所對應的分岔曲線均與完全歐拉方程的分岔曲線吻合得很好,充分說明了三階截斷模型在該水深情況下具有較高的精度,是一個好的近似模型.而二階截斷模型的分岔曲線在分岔點附近與完全歐拉方程的分岔曲線相比仍然具有較為明顯的差異,這表明二階截斷模型的精度較差.同時對相同波速下二階截斷模型、三階截斷模型以及完全歐拉方程的孤立波解進行比較后發(fā)現,三階截斷模型的解與完全歐拉方程的解基本吻合,兩者之間的相對振幅差異約為10-2,而二階截斷模型的解則與完全歐拉的解相差較大.

圖1 (a) 水深 h=6.8 m,慣性系數 α=0.069 時,孤立波解分岔圖.實線:完全歐拉方程的分岔曲線,短劃線:三階截斷模型的分岔曲線,點線:二階截斷模型的分岔曲線.(b) 波速 c=1.287 8 時,歐拉方程、三階截斷模型和二階截斷模型的孤立波解.實線:完全歐拉方程,短劃線:三階截斷模型,點線:二階截斷模型Fig.1 (a) Bifurcation curves of wavepacket solitary waves for h=6.8 m and α=0.069 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model.(b) The typical profiles for c=1.287 8 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model

對水深較大的情況(h=250 m ＞hc),在參照Squire等[2]實驗中的冰層參數后取慣性系數α=0.069.此時由于慣性項的影響,NLS 方程由焦散型變?yōu)榻咕坌?因此三階截斷模型在水深較大的情況下仍然會具有較高的準確性.同樣地,數值計算了該水深下二階截斷模型、三階截斷模型及完全歐拉方程的孤立波解及分岔曲線(圖2).從圖中可以看出,當孤立波振幅較小時三階截斷模型與完全歐拉方程的分岔曲線基本吻合,但在中等振幅時兩者會出現一定的差異,這與水深h=6.8 m 時的情況略有不同.產生這種現象的原因在于三階NLS 方程非線性項的系數:當h=250 m 時,雖然由于慣性項的加入使得方程由焦散型變?yōu)榻咕坌?但此時的非線性項系數γ是一個非常接近于0 的正數,焦聚的特點表現得不明顯,這導致三階截斷模型的準確性相比于水深h=6.8 m時略有下降.但在此水深情況下,二階截斷模型與完全歐拉方程之間的差距較水深h=6.8 m 時更大,完全無法反映出完全歐拉方程在對應波速處的波高,其精度遠小于三階截斷模型,因此在水深較大的情況下使用二階截斷模型是不合適的.圖2(b)進一步展示了波速c=1.287 8 時,二階截斷模型、三階截斷模型和完全歐拉方程的孤立波解波形比對比.因此綜合兩種水深下三階截斷模型和二階截斷模型與歐拉方程之間的對比,三階截斷模型顯然具有較高的準確性,是一個更為合理的簡化模型.

圖2 (a) 水深 h=250 m,慣性 α=0.069 時,孤立波解分岔圖.實線:完全歐拉方程的分岔曲線,短劃線:三階截斷模型的分岔曲線,點線:二階截斷模型的分岔曲線.(b) 波速 c=1.287 8 時,歐拉方程、三階截斷模型和二階截斷模型的孤立波解.實線:完全歐拉方程,短劃線:三階截斷模型,點線:二階截斷模型Fig.2 The bifurcation curves of wavepacket solitary waves for h=250 m and α=0.069 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model.(b) The typical profiles for c=1.287 8 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model

2.2 運動載荷下的冰層非線性響應

基于三階截斷模型式(5)和式(7),接下來將重點對勻速載荷作用下的冰層響應進行計算,并將數值結果分別與實驗結果進行對比.實驗中各物理參數的單位及具體取值如表1 所示.首先關注Takizawa[1]的實驗結果.該實驗是在日本北海道的L a k e Saroma 完成的,根據實驗中所記錄的參數可確定慣性項系數 α=0.069 2,而外加載荷p(x-Ut) 則通過數值擬合靜止載荷下的冰層撓度來確定.在實驗中Takizawa 觀察并記錄了載荷經過監(jiān)測點的時間與監(jiān)測點處冰層最大垂直位移出現時間的差異,這種滯后效應一般考慮是由于黏性效應造成的.在實驗中黏性的來源是多樣的,包括冰層本身的黏性,覆蓋在冰層上的積雪的影響以及冰層與流體界面處的邊界層效應等.Hosking等[16]及Wang等[17]引入雙參數記憶函數建立黏彈性模型對運動載荷下的浮冰動力學響應進行研究.基于V＜cmin時滯后時間基本保持不變的特點,Hosking等[16]通過對多組數據進行試驗并與實驗記錄進行對比確定了最佳的記憶函數參數A0和a0.Dinvay等[19]假設阻尼與垂直速度成正比,利用耗散項 -bηt擬合黏性效應,并將黏性系數視為待定參數,在數值計算中通過反復試驗優(yōu)化滯后時間來確定b.除此之外,這類確定待定系數的方法也在毛細重力波問題中得到了應用.Cho等[26]等在考慮黏性耗散對穩(wěn)定及瞬時波形的影響時也將耗散項系數作為一個待定參數并通過將數值與實驗結果進行擬合對比來確定具體取值.本文采用較為簡化的線性耗散模型 -βηt描述實驗中的黏性效應,β 的確定與上述參數的確定方法類似[16,19,26]:選取多組黏性系數并數值計算同一黏性系數下不同載荷速度對應的波形和滯后時間,將數值結果與實驗記錄對比直至兩者能夠較好吻合從而確定最佳黏性系數 β .經過反復實驗確定黏性系數 β=0.4,此時數值結果與Takizawa[1]的實驗結果吻合得最好.

表1 淺水[1]及深水[2]實驗中各物理參數的取值及單位Table 1 Values and units of the physical parameters in the shallow-water[1] and deep-water[2] experiments

圖3 展示了不同運動速度的載荷作用下的冰層動力學響應,總體而言數值結果較為準確反映了實驗結果的主要特征.在準靜態(tài)情形下,即U=2.2 m/s和U=4.2 m/s,數值結果與實驗結果吻合得非常好.當載荷移動速度增大至U=5.5 m/s,此時速度接近于最小相速度,載荷兩側開始有波形成的趨勢.載荷速度為 6 .2 m/s 時,載荷前后出現明顯的波動,位于載荷前端的波長較短而后側的波長較長,三階截斷模型的數值計算結果較好地捕捉到了這兩類波.這說明三階截斷模型能夠準確地反映出以最小相速度為分界點,不同速度下冰層響應的差異.進一步增大載荷移動速度至U=8.9 m/s,此時載荷速度大于淺水中的重力波速度,載荷后側的重力波消失,出現“聲影區(qū)”[6].圖3(c)～圖3(e)中的冰層最大撓度與實驗結果基本一致,但載荷兩側的波形與實驗記錄存在一些差異.這可能是因為在數值計算中所采用的黏性項較為簡單而實驗中黏性來源相對復雜,隨著載荷運動速度的增大,-βηt與實際黏性項產生的效果有所差異.除此之外,本文在建模時假設冰層厚度均勻,但在實驗中冰層厚度不均.這些因素都可能會對載荷作用下產生的水彈性波波形造成影響.除了對比不同載荷速度下的冰層垂直位移,實驗中出現的滯后效應在數值模擬中也得到了關注.實驗中Takizawa[1]記錄了不同速度下載荷經過測量點的時刻及該時刻下載荷在y方向上的位置,在圖3 中以紅點表示.在數值計算中選取任意一點為觀測點后可得到該點處冰層垂直位移的時歷曲線,同時記錄移動載荷通過該點的時間及對應的垂向位置并在圖3中以藍點表示,從圖中可以看出數值計算得到的滯后時間在各個速度下都與實驗結果較為吻合.

圖3 三階截斷模型的數值結果與文獻[1]實驗中所記錄的冰層形變對比.其中虛線代表Takizawa 的實驗結果,紅點代表實驗中的運動載荷經過冰層形變測量儀的垂直位置.實線表示三階截斷模型式(5)和式(7)的數值結果,藍點代表數值計算中載荷經過監(jiān)測點的垂向位置Fig.3 Comparisons of the numerical results of Eq.(3) the numerical results of cubic-truncation model and the experimental records of Ref.[1].The dashed lines represent the experimental data,and the red dots indicates the position of the load as it passed the deflectometer.The solid lines shows the numerical results of Eqs.(5) and (7),and the blue dots indicates the z-position of the load as it passes the point where the time series are obtained

在Squire等[2]的實驗中,冰層厚度d=1.6 m,冰層彈性剛度D=1.8×109N·m,移動載荷重量為2100 kg.與Takizawa[1]不同的是,Squire等[2]在實驗中將多個應變計安裝在載荷運動軌道兩側,測量的是移動載荷作用下的冰層應變.因此需要對數值計算得到的冰層垂直位移 η 進一步處理以得到冰層線應變

其中,d為冰層厚度,κ*為無量綱前的冰層曲率[27].

考慮要與Squire 的實驗進行對比,在基于三階截斷模型進行數值計算時,取 G0=(-?xx)1/2以對應于深水情形.圖4 展示了三階截斷模型的數值計算結果與Squire等[2]實驗結果之間的對比,載荷速度分別為 4 .5 m/s,1 7.5 m/s,1 8.4 m/s,2 0.8 m/s,前兩個載荷速度為亞臨界,后兩個速度為超臨界速度.在亞臨界速度下,數值結果與實驗結果吻合得比較好,不僅能夠擬合冰層應變的幅值,而且能夠反映出隨著載荷速度的增大應變曲線寬度逐漸變窄的趨勢.當載荷以較為接近最小相速度的速度 1 7.5 m/s 運動時,載荷兩側逐漸升高并形成凹槽.在圖4(c)和圖4(d)中,數值預測的最大應變值略大于實驗結果,尤其是應變曲線中載荷前端的波形.造成差異的原因除了以上在淺水實驗中所提及的兩個因素外,也可能是由于本文所采用的是二維模型,但在實驗中所測得的應變是三維情形下冰層的應變,從而導致兩者所得到的結果存在差別.但在超臨界速度下,數值計算仍然較為有效地捕捉到了載荷前后所形成的彈性波和重力波.在數值計算中同樣觀察到了最大應變值點與載荷通過點之間的時間差異,但由于Squire等[2]只是指出了滯后效應的存在,沒有明確記錄差異時間,因此無法對滯后的時間進行對比.

圖4 三階截斷模型的數值結果與文獻[2]實驗中所測量的冰層應變對比,圖中應變值量級為 1 0-6 .虛線代表Squire 的實驗結果,實線表示三階截斷模型式(5)和式(7)的數值結果Fig.4 The comparison of microstrain between the numerical results of cubic-truncation model and numerical records of Ref.[2].The microstrain is of 1 0-6 .Dashed lines:experimental records,solid lines:numerical approximation of the cubic-truncation model Eqs.(5) and (7)

3 結論

本文主要考慮非線性,慣性及黏性效應的影響,研究了移動載荷作用下的浮冰動力學響應.通過對Dirichilet-Neumman 算子進行展開將原始的完全非線性問題簡化為僅與自由面上的變量相關的三階截斷模型.接著重點關注了此二維水彈性問題中的自由孤立波解以驗證三階截斷模型的準確性.在不考慮黏性和外力載荷下,由多重尺度方法推導了三階NLS 方程并基于此方程對波包型孤立波解的存在性和三階截斷模型的準確性進行了探究.慣性項的引入使得三階NLS 方程在淺水和深水中均表現為焦聚型,因此理論上三階截斷模型在任意水深下都能夠較好地近似完全歐拉方程.另一方面,對二階截斷模型、三階截斷模型和完全歐拉方程的分岔曲線和孤立波解進行數值求解并對比.數值結果表明任意水深下三階截斷模型在一定振幅范圍內都能夠與完全歐拉方程較好地吻合,是一個好的近似模型,而二階截斷模型則在任意水深下都與完全歐拉方程存在較大的差異,精度較差.進一步地,利用所得到的三階截斷模型對勻速運動載荷作用下的冰層響應進行了計算,并將數值結果與Takizawa[1](淺水情況)和Squire等[2](深水情況)實驗分別進行了對比,結果表明此三階截斷模型能夠較好地擬合移動載荷作用下冰層的垂直位移及應變情況.

附錄

在推導考慮慣性項的三階非線性薛定諤方程中,將解式(9)和式(10)代入原始歐拉方程中,得到各階方程.這里給出推導的大致思路以及最終得到的三階非線性薛定諤方程的系數表達式.首先解Laplace 方程,可以得到