李恒鑫

（中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司 線路站場設(shè)計研究院，湖北 武漢 430063)

0 引言

城軌列車運行計劃決定了各線路在各運營時段內(nèi)開行列車交路及其開行頻率等，是城軌企業(yè)組織列車運行的基礎(chǔ)。同時，城軌列車運行計劃不僅決定列車運行成本，還直接影響著旅客出行服務(wù)水平，其與列車票價的結(jié)合很大程度上影響著旅客出行選擇，從而也決定選擇城軌出行客流量。

目前關(guān)于城市軌道交通列車運行計劃與票價制定等方面已開展許多相關(guān)研究。Jamili等[1]研究城市軌道交通跨站停運營模式下列車運行計劃的魯棒優(yōu)化。陳維亞等[2]提出了城市軌道交通快慢車與多站限流協(xié)同優(yōu)化方法，Canca等[3]提出基于多交路運營模式的列車運行計劃優(yōu)化方法。Gkritza等[4]考慮多種交通方式的博弈構(gòu)建不同的公共交通定價方法。鄧連波等[5]基于彈性需求、票價率偏差最小化等構(gòu)建城軌線路票價優(yōu)化方法。劉清琰[6]實現(xiàn)了城軌網(wǎng)絡(luò)快慢車開行優(yōu)化方法。Larrain、王琳等[7-8]以乘客總出行時間最短和軌道交通運營企業(yè)運營成本最低為目標，建立非站站停列車開行方案的多目標優(yōu)化方法。Vuchic[9]根據(jù)區(qū)域停、跨站停等快慢車停站特征，分析快慢車組合運行的適用性及運營效果。Mignone等[10]提出設(shè)計運營周期內(nèi)各時段快慢車運行計劃的優(yōu)化模型。Lee等[11]將乘客根據(jù)出行起終點、換乘選擇等分類，進而構(gòu)建快慢車停站方案的優(yōu)化方法。孫元廣等[12]分別研究了城軌快慢車與Y型交路列車開行方案優(yōu)化問題。周曉昭等[13]構(gòu)建了考慮停運策略的城際列車運行計劃調(diào)整雙層規(guī)劃優(yōu)化方法。

雖然目前關(guān)于城軌列車運行計劃與票價優(yōu)化方面的研究較多，但是這些研究普遍將城軌系統(tǒng)作為一個封閉系統(tǒng)進行研究，即假定各OD出行需求不受城市內(nèi)其他交通出行方式出行服務(wù)水平的影響，會一直采用城軌列車出行。顯然，這種假設(shè)與實際存在一定差距，實際上OD出行需求交通方式選擇會受到各種交通方式服務(wù)水平變化而發(fā)生改變，故需考慮城市常規(guī)公交線路及其服務(wù)水平對整個城市居民出行方式選擇與出行路線選擇的影響，優(yōu)化軌道交通網(wǎng)絡(luò)列車運行計劃與票價。為此，結(jié)合客流多方式出行選擇研究城軌列車運行計劃與票價組合優(yōu)化問題，在分析各交通方式出行費用的基礎(chǔ)上，構(gòu)建兩者優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，并設(shè)計模擬退火-遺傳算法進行求解。

1 各交通方式出行費用分析

通常擁有私家車客流可選私家車、常規(guī)公交和軌道交通出行，而非擁有私家車客流僅選常規(guī)公交、軌道交通出行。記c，b，r分別代表私家車、常規(guī)公交和軌道交通出行方式，3種出行方式費用構(gòu)成如下。

（1）私家車出行費用。選擇私家車出行時不僅需要承擔產(chǎn)生的各類時間費用，還需承擔燃油費、折舊費、以及在起點與終點可能存在的停車費等，但無在出發(fā)點的步行與等待產(chǎn)生的費用。記為從出發(fā)點r駕車以路徑p到達目的點s的成本，其計算公式為

式中：tα()為路段α的行駛時間，min，其采用美國道路局函數(shù)(Bureau of Public Roads，BPR)公式計算；b0為擁有私家車客流出行時間價值，min；b1，b2分別為私家車單位里程燃油費與折舊費，元；dα為路段α里程，km；為路段-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量，若路段α在路徑p上，則= 1，否則為0；cp為使用路徑p私家車出行的平均停車費用，元。

（2）常規(guī)公交出行費用。常規(guī)公交出行費用包括步行時間、站點等待時間、在車時間、換乘費用以及票價。定義，分別為擁有與非擁有私家車客流從出發(fā)點r以常規(guī)公交路徑p到達目的點s的總出行費用，計算公式為

式中：，分別為公交路徑p上的乘客步行總時間與公交站點平均等車時間，min；為公交路徑p上的乘客換乘總時間，min；Pp為公交路徑p上總票價，元。

計算公式為

式中：為非擁有私家車客流出行時間價值，元/min。

（3）軌道公交出行費用。軌道交通出行費用包括步行時間、站點等待時間、在車時間、舒適性懲罰以及票價。和分別表示擁有與非擁有私家車客流在區(qū)間e出行成本，其計算公式分別為

式中：we為區(qū)間e票價率，元/人公里，若e屬于快車運行區(qū)間，則為快車票價率，否則為慢車票價率；te(de)為區(qū)間旅行時間，min；Fe(ve)為舒適性懲罰成本，元，其可視為軌道交通車輛內(nèi)部擁擠造成的額外費用，隨區(qū)間客流量增加而大幅增加，其計算公式為

式中：λ為懲罰水平調(diào)整系數(shù)；Le與ve分別為列車區(qū)間e的最大載客能力與實際客流量，人。

類似地，定義，分別為擁有和非擁有私家車客流的從出發(fā)點r乘坐軌道交通以路徑p到達目的點s的出行成本，其計算公式分別為

式中：，，為以城軌路徑p出行需要的步行時間、等車時間以及在線路間換乘時間，min；為路段-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量；為車站-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量。

2 模型構(gòu)建

考慮由城市軌道交通線網(wǎng)、道路路網(wǎng)、公交線網(wǎng)三者構(gòu)成的城市綜合出行網(wǎng)絡(luò)，每條軌道交通線路均可組織開行快車、慢車2類列車，且慢車為必開行列車。城軌快慢車組合運行計劃及其票價在很大程度上決定了城軌出行服務(wù)水平與服務(wù)能力，進而影響客流出行方式與出行路徑的選擇；反過來，客流出行方案選擇又直接影響城軌列車運營效益等。以上決策過程可描述為一種“一主多從”主從博弈關(guān)系，基于該主從博弈關(guān)系，便可構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，其中將城軌列車運行計劃與票價優(yōu)化模型作為上層模型，將多類客流多方式混合交通均衡變分模型作為下層模型。

2.1 城軌列車運行計劃與票價優(yōu)化

模型在各城軌線路方向均開行長交路、站站停列車(以下簡稱“慢車”)的基礎(chǔ)上，進一步優(yōu)化確定研究運營時段內(nèi)各城軌線路方向是否開行快車、開行快車停站以及開行快慢車數(shù)量；同時，在規(guī)定慢車票價率固定不變的基礎(chǔ)上，優(yōu)化確定各線路方向開行快車的票價率。記0-1決策變量xl表示城軌線路方向l是否開行快車，若開行，則xl= 1，否則xl= 0；記0-1決策變量yli表示城軌線路方向l開行快車在經(jīng)由站i是否停車，若停車，則yli= 1，否則yli= 0；記非負整數(shù)決策變量αl，βl分別表示城軌線路方向l開行快、慢車數(shù)量；非負決策變量ωl表示城軌線路方向l開行快車的票價率。

模型選擇以最大化城軌列車總票價收益為目標來優(yōu)化城軌快慢車組合運行計劃與票價方案，其目標函數(shù)為

式中：，分別表示OD對(r，s)間軌道路徑p上擁有私家車客流和非擁有私家車客流的出行量，其取值需通過求解以下下層模型獲得。Lp為路徑p里程，km；ωp為路徑p票價率，元/人公里；，分別表示在城軌線路l上組織開行1列快車與慢車的成本，元。

模型相關(guān)決策變量必須同時滿足以下5組約束條件。

（1）快車開行數(shù)量約束，即線路方向l在不組織開行快車時，其開行快車數(shù)量必為0；否則，開行快車數(shù)量不高于線路在研究運營時段最大通行能力Cαpl，該約束表示為

（2）快車停站設(shè)置約束，即線路方向l在組織開行快車時，也就是xl= 1時，停站數(shù)量應(yīng)不小于2，但少于線路車站數(shù)nl；否則該線路方向快車不在任何車站停車，該約束表示為

（3）快車票價率約束，即線路方向l若開行快車，其票價率應(yīng)不低于慢車的票價率，同時也不能高于政府設(shè)置的最高指導(dǎo)價，該約束表示為

式中：與分別為線路l開行慢車的票價率及其上限值，元/人公里。

（4）區(qū)間通過能力約束，即在研究運營時段內(nèi)，線路任意區(qū)間方向運行列車數(shù)不得高于該區(qū)間最大通行能力，該約束表示為

式中：為線路方向l所開行快車是否經(jīng)由區(qū)間e。

（5）車站發(fā)車服務(wù)頻率約束，即在研究運營時段內(nèi)，線路任意區(qū)間方向運行列車數(shù)不得高于該區(qū)間最大通行能力；另一方面，也不得低于保證最低服務(wù)頻率所需要運行的列車數(shù)，記ζmin為保證最低車站服務(wù)頻率所需最小列車數(shù)，該約束表示為

2.2 多類客流多方式混合交通均衡變分模型

基于上層模型所確定的城軌列車運行計劃與票價，結(jié)合城市道路與公交網(wǎng)絡(luò)便可構(gòu)建乘客綜合出行網(wǎng)絡(luò)，在該網(wǎng)絡(luò)上實現(xiàn)客流的多方式出行選擇均衡分配，來評估當前城軌列車運行計劃與票價方案實施的收益，即上層目標值。假設(shè)客流按Logit分離模型選擇各交通方式與路徑出行，則可將擁有與非擁有私家車2類客流在綜合出行網(wǎng)絡(luò)上的出行選擇描述為一個多類客流多方式混合交通均衡分配問題，其等價于以下變分不等式。

模型以最小化各類出行旅客總出行費用為優(yōu)化目標，即

模型還需考慮以下3類約束。

（1）需求守恒約束，即對于任意OD，擁有與非擁有私家車客流選擇各種交通出行方式的客流量總和應(yīng)分別等于該OD相應(yīng)的出行需求量，該約束可分別表示為

（2）流量守恒約束，即對于選擇任意出行方式的擁有私家車客流而言，其在該出行方式不同出行路徑上的客流量之和應(yīng)該為其總量，同理選擇任意出行方式的非擁有私家車客流量也應(yīng)該等于其在該出行方式不同出行路徑上的流量之和，該約束可分別表示為

（3）變量非負約束，即選擇各交通出行方式的OD流量以及各出行路徑上流量必須非負，該約束可表示為

3 算法設(shè)計

為了實現(xiàn)以上雙層規(guī)劃模型的求解，設(shè)計一種模擬退火-遺傳算法和Method of Successive Averages(MSA)算法相結(jié)合的混合算法，其中，模擬退火-遺傳算法用于求解上層規(guī)劃模型，即城軌列車運行計劃與票價優(yōu)化模型以得到軌道交通網(wǎng)絡(luò)各線路列車運行計劃、快車票價方案(若開行快車)；而MSA算法用于求解基于給定城軌列車運行計劃與票價組合方案的下層規(guī)劃模型，即多類客流多方式出行交通均衡分配。下層規(guī)劃模型求解出客流分配結(jié)果后，又反作用于上層規(guī)劃模型作為評估種群個體適應(yīng)度的輸入數(shù)據(jù)。通過上下層規(guī)劃間的交替調(diào)整，直至目標函數(shù)值在很小的范圍內(nèi)變化，即得到最優(yōu)軌道交通各線路列車開行方案和快車票價方案。設(shè)計得到求解算法框架如圖1所示。

圖1 求解算法框架Fig.1 Framework of solving algorithm

模擬退火-遺傳算法中每個個體解采用二維二進制編碼方式，每一行對應(yīng)一個線路方向，其編碼內(nèi)容包括5部分：是否開行快車、快車停站方案、快車發(fā)車數(shù)量、慢車發(fā)車數(shù)量、快車票價，其中每一行5部分內(nèi)容二進制編碼長度分別為1，K，6，6，4。在模擬退火-遺傳算法種群進化過程中，選擇操作采用輪盤賭方式，即按照個體被選中的可能性與該個體適應(yīng)值成正比的方式進行選擇，對選擇的個體分別進行交叉與變異操作。

（1）遺傳交叉算子。交叉操作采用兩點交叉方式，在交叉過程中引入模擬退火思想以一定概率接收劣解，即根據(jù)兩父代i，j的適應(yīng)度fi，fj以及交叉后產(chǎn)生的兩子代i′，j′的適應(yīng)度fi′，fj′，計算父代與子代之間的適應(yīng)度差值 Δf=fi′+fj′-fi-fj。若Δf＞ 0，則將兩子代替代兩父代加入到種群中；否則以概率eΔf/Tk(Tk為當前溫度)接受兩子代，并替換兩父代。

（2）遺傳變異算子。變異操作采用多點變異方式，同樣期間以一定概率接收劣解，即根據(jù)父代i的適應(yīng)度fi和通過變異產(chǎn)生的子代i′的適應(yīng)度fi′計算適應(yīng)度差值 Δf=fi′-fi。若 Δf＞ 0，則接受子代i′代替父代i加入種群；否則以概率eΔf/Tk接受子代。

（3）MSA算法。為了計算每個個體的適應(yīng)度，采用MSA客流分配方法確定客流在由常規(guī)公交網(wǎng)絡(luò)、道路網(wǎng)絡(luò)與城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的綜合網(wǎng)絡(luò)的出行方式與路徑選擇，具體實現(xiàn)步驟如下：①為綜合網(wǎng)絡(luò)上每個OD客流，生成候選出行路徑集合；②搜索各OD出行最短路徑，將其客流量分配到各出行方式及其相應(yīng)路徑上，并計算各出行方式最短路徑包含路段或者區(qū)間的客流量；③基于當前路段與區(qū)間客流量更新下相應(yīng)出行費用，重新計算各出行方式出行效用，并計算其分擔量，并分配到各出行方式最短路徑上；④更新路徑、路段、區(qū)間客流量，判斷前后迭代流量差是否滿足收斂條件，或者迭代次數(shù)達到最大值，若是，則停止迭代輸出各出行方式分擔客流量及其各路徑出行量，否則跳至步驟③。

4 算例分析

選擇由道路網(wǎng)絡(luò)、9條常規(guī)公交網(wǎng)絡(luò)以及3條城軌線路網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的城市綜合出行網(wǎng)絡(luò)作為算例分析，算例示意圖如圖2所示。3條城軌線路的起點站分別為1，4，13；終點站分別為33，35，22。假定該3條城市軌道交通線路均僅開行長交路列車，即從線路一端點站開往另一端點站，且每條線路均允許開行快慢車，但其票價并不相同。通過開行高服務(wù)的快車有利于吸引擁有私家車客流選擇城軌出行，并通過提高票價來避免非擁有私家車客流(期望其優(yōu)先選擇慢車出行)來擠占快車能力。

圖2 算例示意圖Fig.2 Schematic diagram of examples

選取早高峰小時7 : 00—8 : 00為作為本算例優(yōu)化時段，共有29×29個OD對出行客流，假定各OD擁有與非擁有私家車客流需求比例關(guān)系為1 : 3，其中擁有私家車客流的出行時間價值為80元/h，而非擁有私家車客流的出行時間價值為50元/h。對于任意OD采用私家車出行而言，其單位里程燃油費與折舊費分別為1元與0.8元，平均停車費用為10元。對于采用公交車出行，旅客的平均等車時間與票價分別為10 min與2元，若存在換乘，其平均換乘時間為15 min。對于地鐵出行而言，其平均步行到站點的時間為10 min，而等待時間、換乘時間等取決于待優(yōu)化的線路列車運行計劃。

根據(jù)以上輸入數(shù)據(jù)與參數(shù)，利用計算機編程實現(xiàn)上述求解算法，獲得各線路列車運行計劃與票價方案如表1所示。由表1數(shù)據(jù)可知，3條城軌線路均開行快車，但其開行數(shù)量相對較少，這主要是客流選擇中私家車客流量相對較少，不應(yīng)開行過多快車。另外，每條線路上下行快車的停站也存在很大差異，主要是因為在早高峰上下行OD客流并不對稱。

表1 各線路列車運行計劃與票價方案Tab.1 Train operation plan and fare plan of each line

為了分析城軌各條線路的開行列車數(shù)量以及票價率大小對城市出行客流選擇私家車、常規(guī)公交以及城軌出行的影響，得到3條線路方向平均開行列車數(shù)量對各交通方式客流分擔率影響如圖3所示，平均票價率對各交通方式客流分擔率影響如圖4所示。

圖3 線路方向平均開行列車數(shù)量對各交通方式客流分擔率影響Fig.3 Influence of the average train number of rail lines on the passenger flow sharing rate of different travel modes

由圖3和圖4所展示的分擔率變化規(guī)律來看，在道路與常規(guī)公交服務(wù)水平不變的前提下，隨著城軌線路方向平均開行列車數(shù)量從15列增加到30列，選擇常規(guī)公交與私家車出行的分擔率都有不同趨勢的下降，降低幅度均為10%左右，而選擇城軌出行的客流分擔率有明顯的上升，從0.5上升到0.7左右，上升幅度達到20%。值得說明的是私家車客流出行分擔率在前部分變化不大，主要是因為服務(wù)的提高還不足以吸引私家車客流選擇城軌出行。同樣，當票價水平從0.025增加到0.1時，由于城軌服務(wù)水平的下降，將導(dǎo)致更多客流選擇私家車與常規(guī)公交出行，導(dǎo)致城軌客流分擔率從0.7降低至0.5左右，相應(yīng)地常規(guī)公交與私家車客流分擔率將分別從0.19與0.09上升到0.28與0.19。由此可見，城軌列車運行計劃與票價水平對城市客流出行方式選擇具有較大影響，能夠顯著影響軌道交通、常規(guī)公交以及私家車出行分擔率。

圖4 平均票價率對各交通方式客流分擔率影響Fig.4 Influence of the average fare rate of rail lines on the passenger flow sharing rate of different travel modes

5 結(jié)束語

通過分析擁有與非擁有私家車客流選擇各出行方式出行費用的基礎(chǔ)上，構(gòu)建城軌列車運行計劃與票價組合的雙層規(guī)劃模型，并設(shè)計一種模擬退火-遺傳算法和MSA算法相結(jié)合的混合算法進行求解，研究表明城軌線路列車開行數(shù)量增加與城軌票價率的降低均能大幅度影響到選擇城軌、常規(guī)公交與私家車出行客流量。由于研究中假定常規(guī)公交的服務(wù)能力與服務(wù)水平固定不變，后續(xù)可將公交線路與發(fā)車頻率優(yōu)化與城軌列車運行計劃優(yōu)化相結(jié)合，以更好改善城市多種交通方式出行服務(wù)。