鄒 倩

（淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

為探索更有效的曲面造型方法，Bloor 等研究用偏微分方程（Partial Differential Equation.簡稱PDE）構(gòu)造曲面的方法，并將其引入CAD/CAM（Computer Aided Design/Computer Aided Manufacturing）領(lǐng)域，曾用PDE方法構(gòu)造過渡曲面、自由曲面、N邊域曲面[1-5].

過渡曲面構(gòu)造在CAD/CAM中具有重要的地位.其目的是在相關(guān)曲面之間生成光滑的過渡曲面.過渡曲面的構(gòu)造可以看作為如下問題：給定邊界為?Ω的有界區(qū)域Ω，求解該區(qū)域上滿足給定邊界條件的曲面X(u,v).典型的邊界條件是以X和它的一些導(dǎo)數(shù)在?Ω上的值的形式給出，給定導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取決于過渡曲面與原曲面的連續(xù)階.

PDE 方法在幾何造型中的最初應(yīng)用就是構(gòu)造過渡曲面[6-15].過渡曲面可以由橢圓型偏微分方程的邊值問題得到，以一階連續(xù)（G1或C1）的過渡曲面為例，只要給定邊界曲線和一個(gè)跨界導(dǎo)矢，就可以構(gòu)造出一張光滑的過度面.實(shí)際應(yīng)用中，通常在三維歐氏空間構(gòu)造一張曲面X=X(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ，x=x(u,v)是參數(shù)u,v的函數(shù)，參數(shù)(u,v)可以視作平面區(qū)域Ω中的點(diǎn).X可以視作由Ω到三維空間R3中的映射X:Ω→R3，當(dāng)u,v分別為常數(shù)時(shí)的v線，u線就定義為曲面上的坐標(biāo)系[9].到目前為止，PDE幾何造型方法主要針對(duì)調(diào)和方程和類雙調(diào)和方程進(jìn)行研究.

文獻(xiàn)［7］給出四階橢圓形偏微分方程一類周期問題（對(duì)一個(gè)自變量是周期函數(shù)）的差分解法及在帶狀過渡曲面、自由曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并通過實(shí)例討論通過調(diào)整定解問題的參數(shù)以修改曲面形狀的方法.文獻(xiàn)［8］給出Helmholtz 方程的擴(kuò)展方程：

并將其命名為bi-Helmholtz 方程.受文獻(xiàn)［8］啟發(fā)，由于偏微分方程組中的形狀控制參數(shù)對(duì)PDE曲面的形狀影響很大，而現(xiàn)有文獻(xiàn)除對(duì)邊界曲線控制和修改偏微分方程的系數(shù)外，對(duì)于直接交互式PDE曲面的設(shè)計(jì)技術(shù)較少，且常規(guī)的PDE 技術(shù)控制整個(gè)參數(shù)域，局部控制較弱.基于以上幾點(diǎn)原因，為進(jìn)一步提高PDE曲面造型的能力，本文對(duì)文獻(xiàn)［8］提出的bi-Helmholtz 方程用譜配點(diǎn)法求解其邊值問題來構(gòu)造過渡曲面，并討論形狀控制參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響.

二階bi-Helmholtz 方程：

及周期邊界條件

四階bi-Helmholtz 方程

及周期邊界條件

其中X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))為三維空間中的PDE曲面，u,v為曲面參數(shù)，F(xiàn)(u,v)是力源函數(shù)，其中力源函數(shù)常取為零，a,b,c為常數(shù)[8].

求解區(qū)域Ω={0 ≤u≤1,0 ≤v≤2π}，g0(v)和g1(v)為給定的邊界曲線，s0(v)和s1(v)為對(duì)應(yīng)邊界曲線處的跨界導(dǎo)矢.

1 偏微分方程邊值問題的譜配點(diǎn)法

在矩形域Ω=[0,1]×[0,2π]上，考慮如下的二階bi-Helmholtz 方程.

在x方向上取Chebyshev 點(diǎn)，在y方向上取等距節(jié)點(diǎn)為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)集上的指數(shù)多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式可寫為： 上的Lagrange 多項(xiàng)式，為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)集

把式（5）帶入式（6）可得

用Dx表示二階的Chebyshev 微分矩陣，Dy表示二階的Fourier 微分矩陣，U和F為如下(N-1)×(M+1)階矩陣：

則式（8）可寫成矩陣的形式：

標(biāo)準(zhǔn)線性方程組為

其中：I1為M+1 階單位矩陣，I2為N-1 階單位矩陣，和ˉ是從F和U的矩陣按列形式展開得到的長度為(N-1)×(M+1)的向量，?表示矩陣的張量積.

2 過渡曲面的構(gòu)造

用偏微分方程邊值的方法來構(gòu)造過渡曲面，其具體步驟如下.

（1）首先根據(jù)過渡曲面與原曲面之間的連續(xù)階來確定合適的偏微分方程.例如：若考慮兩曲面之間進(jìn)行GC0拼接，可采用二階偏微分方程

若兩曲面之間進(jìn)行GC1拼接則需要四階偏微分方程

（2）確定所需要的過渡曲線，把過渡曲線作為過渡曲面的邊界，然后根據(jù)偏微分方程的階數(shù)以及原曲面來確定應(yīng)采用什么樣的邊界條件以及邊界條件值.

（3）通過數(shù)值方法求解偏微分方程生成過渡曲面.

下面用實(shí)例來說明如何通過譜配點(diǎn)方法來求解bi-Helmholtz 方程構(gòu)造所需的過渡曲面.

2.1 構(gòu)造GC0 連續(xù)的過渡曲面

考慮(u,v)平面上一個(gè)圓與其上方一個(gè)球面的零階過渡，假設(shè)(u,v)在區(qū)域Ω={0 ≤u≤1,0 ≤v≤2π}內(nèi)，(x,y)平面上的圓以原點(diǎn)為圓心，半徑為R；球的半徑為r，球心在(0,0,z0)；取某與平面z=H(0 ≤H≤z0)的交線為過渡線，則其邊界條件如下：

選擇二階bi-Helmholtz 方程式（10），其邊界條件由式（12）給出，當(dāng)r=2，R=3，z0=4 ，H=3，通過譜配點(diǎn)方法式（9）得到上述問題的解.由于Helmholtz 方程具有很好的光滑性，所得過渡曲面也具有很好的光滑性.如圖1所示，比較圖1（c）和圖1（d）可得，當(dāng)參數(shù)a增大時(shí)，曲面的形狀由上往下向外部膨脹，但整體曲面還是向內(nèi)凹曲面；比較圖1（b）和圖1（c）可得，當(dāng)參數(shù)b增大的時(shí)候，曲面的形狀向內(nèi)部收縮；比較圖1（b）和圖1（f）可得，當(dāng)參數(shù)c增大時(shí)，曲面的形狀向外膨脹，并且曲面由內(nèi)凹曲面變成外凸曲面.因此可以調(diào)節(jié)參數(shù)a,b,c來控制過渡曲面的形狀.

圖1 過渡曲面

由上分析可知，不同的參數(shù)選取，曲面的形狀有著明顯的變化.因此可以通過改變形狀參數(shù)的取值來改變過渡曲面的形狀，而且可以通過3個(gè)形狀參數(shù)a,b,c來調(diào)控過渡曲面的形狀，因而可以更加靈活地調(diào)控過渡曲面.

2.2 兩圓柱面間過渡面的構(gòu)造

要求在2 個(gè)互相垂直的圓柱面之間構(gòu)造一階連續(xù)的過渡面，不妨設(shè)兩圓柱面的表達(dá)式分別為x2+y2=r2和y2+z2=R2.

過渡線分別為x2+y2=r2，z=H和y2+z2=R2,x=h.其參數(shù)化方程為：

依據(jù)一階連續(xù)過渡條件，可得切矢邊界條件如下：

式中S1,S2分別為沿邊界z(0,v)和z(1,v)的跨界導(dǎo)矢.

使用四階bi-Helmholtz 方程式（11），通過譜配點(diǎn)法式（9）可以得到問題的解，當(dāng)r=3，h=5，H=3，R=3，S1=-2，S2=3 時(shí)，所得曲面如圖2所示.

圖2 兩圓柱面間的過渡面

3 結(jié)論

本文闡述二階和四階bi-Helmholtz 方程的一類周期邊界問題的譜配點(diǎn)法解法及其在過渡曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，它不同于傳統(tǒng)的PDE方法中的二階和四階的偏微分方程，比傳統(tǒng)的二階和四階偏微分方程有更多的形狀參數(shù)，有3個(gè)形狀參數(shù)a,b,c來調(diào)控過渡曲面的形狀.因此在曲面設(shè)計(jì)時(shí)，可以更加靈活控制過渡曲面的形狀，這樣設(shè)計(jì)者可以更加方便地設(shè)計(jì)出想要的過渡曲面，對(duì)曲面設(shè)計(jì)具有重要意義.