趙錚陽(yáng)，周詩(shī)韻

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海 200433)

隨著現(xiàn)代半導(dǎo)體行業(yè)的快速發(fā)展，經(jīng)典計(jì)算機(jī)中的晶體管尺寸不斷變小，量子效應(yīng)凸顯，影響原有器件的功能. 此外，經(jīng)典計(jì)算在本質(zhì)上是不可逆的，熱耗散難以避免. 在這兩方面，基于量子力學(xué)原理、通過(guò)可逆的幺正量子門進(jìn)行操作[1]的量子計(jì)算機(jī)具有明顯優(yōu)勢(shì). 同時(shí)，由于能對(duì)疊加態(tài)進(jìn)行操作，量子計(jì)算在算法上具有并行加速的優(yōu)勢(shì)，其中典型例子有大數(shù)分解算法[2]和量子搜索算法[3]等.

近年來(lái)，量子計(jì)算相關(guān)的量子科技發(fā)展迅速，成為新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的前沿領(lǐng)域，而量子科技研究相關(guān)的人才亟待培養(yǎng). 為此，復(fù)旦大學(xué)在本科教學(xué)中開(kāi)設(shè)了與量子計(jì)算相關(guān)的實(shí)驗(yàn)課程，能夠讓學(xué)生開(kāi)拓眼界、了解前沿技術(shù)，并在動(dòng)手實(shí)踐中綜合應(yīng)用所學(xué)的理論知識(shí)，從而對(duì)量子科技產(chǎn)生更深入的理解.

量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)理論內(nèi)容豐富，操作難度較大，順利完成實(shí)驗(yàn)并不代表學(xué)生真正理解其內(nèi)涵. 因此，討論量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)與拓展十分必要. 本文以國(guó)儀量子生產(chǎn)的基于金剛石NV色心的量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)儀為基礎(chǔ)開(kāi)展量子計(jì)算教學(xué)實(shí)驗(yàn)，包含2部分內(nèi)容：a.學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的量子調(diào)控，了解量子計(jì)算基本知識(shí)，如量子比特的初始化、操控和讀出等；b.進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生通過(guò)實(shí)現(xiàn)經(jīng)典的量子D-J算法，理解量子算法的優(yōu)越性[4-5]. 基于復(fù)旦大學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，著重討論該實(shí)驗(yàn)的第一部分，即量子調(diào)控部分的教學(xué)內(nèi)容與方法.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 量子計(jì)算簡(jiǎn)介

經(jīng)典計(jì)算機(jī)的單比特為|0〉或|1〉，但是量子單比特具有疊加態(tài)，可以用|0〉和|1〉進(jìn)行線性組合，形式為

|ψ〉對(duì)應(yīng)單位球(Bloch球)面上的點(diǎn)(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)，其中|0〉和|1〉分別沿z軸的正半軸和負(fù)半軸，θ為|ψ〉與z軸的夾角，φ為|ψ〉與x軸的夾角.對(duì)該量子態(tài)|ψ〉進(jìn)行測(cè)量時(shí)，將會(huì)以概率|a|2測(cè)得|0〉，以概率|b|2測(cè)得|1〉.

典型的量子二能級(jí)系統(tǒng)可以看成量子單比特，比較熱門的研究體系有光子體系[6]、量子點(diǎn)[7]、離子阱[8]、超導(dǎo)[9]和金剛石[10]等. 金剛石NV色心是室溫、常壓下即可進(jìn)行量子計(jì)算的實(shí)驗(yàn)體系，適合本科教學(xué)，本文使用的是基于金剛石NV色心的量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)儀.

1.2 金剛石NV色心的特性

NV色心是金剛石中的氮-空位點(diǎn)缺陷，指1個(gè)氮原子取代了金剛石晶格中的1個(gè)碳原子，并與臨近的1個(gè)空位缺陷相結(jié)合形成的結(jié)構(gòu). NV色心結(jié)構(gòu)中的未成對(duì)電子表現(xiàn)出自旋為1的特性. 基態(tài)3A2是自旋三重態(tài)，由晶格導(dǎo)致的零場(chǎng)劈裂1.19×10-5eV, 對(duì)應(yīng)微波頻段(頻率為2.87 GHz). 外加磁場(chǎng)進(jìn)一步使簡(jiǎn)并的|ms=±1〉 態(tài)發(fā)生塞曼分裂，在實(shí)驗(yàn)室磁場(chǎng)(約1.7 mT)下形成的能級(jí)差約為2.1×10-7eV,對(duì)應(yīng)頻率為50 MHz.第一激發(fā)態(tài)中，三重態(tài)記作3E，與基態(tài)的能級(jí)差約為1.95 eV，對(duì)應(yīng)零聲子線熒光波長(zhǎng)為637 nm. 此外，還有2個(gè)單態(tài)亞穩(wěn)態(tài)1A1和1E，其壽命分別小于1 ns和250 ns，有實(shí)驗(yàn)觀察到零聲子線為1 042 nm的輻射躍遷[11-12]. NV色心的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 金剛石NV色心的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖

室溫下常用的非共振激發(fā)方法采用波長(zhǎng)為520 nm的綠色激光將NV色心從基態(tài)激發(fā)到激發(fā)態(tài)的聲子邊帶. 在室溫大氣環(huán)境，NV色心的零聲子線會(huì)展寬，難以實(shí)現(xiàn)選擇性的光學(xué)激發(fā)[12]. 從激發(fā)態(tài)回到基態(tài)有2種途徑：一種途徑是輻射躍遷，發(fā)出零聲子線637 nm的熒光，如圖1中紅色線所示，該過(guò)程滿足自旋守恒. 由于聲子邊帶的影響，實(shí)際上熒光范圍為637～750 nm；另一種途徑如圖1中虛線所示，是由于自旋-軌道耦合導(dǎo)致的內(nèi)部交叉弛豫過(guò)程. 這種方式的躍遷概率依賴于自旋的狀態(tài)，是NV色心可以被激光初始化和讀出的本質(zhì)原因. 對(duì)于|ms=0〉的自旋態(tài)，輻射躍遷為主導(dǎo)，灰色虛線所示的非輻射躍遷概率較低；而|ms=±1〉的自旋態(tài)，傾向于通過(guò)藍(lán)色虛線所示的內(nèi)部交叉弛豫，經(jīng)亞穩(wěn)態(tài)1A1和1E回到|ms=0〉，該過(guò)程相當(dāng)于削弱了熒光強(qiáng)度.由于非輻射躍遷的影響，自旋|ms=0〉和|ms=±1〉的熒光對(duì)比度最高可達(dá)30%[11-12]. 因此，收集激光作用后的熒光強(qiáng)度，能夠反映激光作用前的體系狀態(tài). 如果激光持續(xù)作用，上述過(guò)程將持續(xù)進(jìn)行，|ms=±1〉的自旋態(tài)不斷翻轉(zhuǎn)到|ms=0〉的自旋態(tài)，可以實(shí)現(xiàn)高達(dá)90%的自旋極化效率[12].

把|ms=0〉和|ms=-1〉的自旋態(tài)編碼為量子比特|0〉和|1〉，則可認(rèn)為當(dāng)激光作用一段時(shí)間后，體系被初始化到|0〉態(tài).而施加合適頻率的微波，自旋將在|ms=0〉與|ms=-1〉的狀態(tài)間切換，該過(guò)程稱為拉比振蕩，相當(dāng)于對(duì)量子態(tài)施加了量子門操作，從而實(shí)現(xiàn)量子調(diào)控.同理，把|ms=0〉和|ms=+1〉的自旋態(tài)編碼為|0〉和|1〉，其結(jié)果也是類似的.

1.3 拉比振蕩原理

(1)

at=a0eiω0t/2,bt=b0e-iω0t/2.

(2)

在XY平面上施加頻率為ω的圓偏振磁場(chǎng)

B=[B1cos (ωt),-B1sin (ωt),0],

(3)

代入初態(tài)|ψ0〉=|0〉，可以解出|ψt〉.此時(shí)|ψt〉的演化可看成是量子態(tài)在Bloch球上既以頻率ω0繞著z軸進(jìn)動(dòng)，又以頻率ω1(ω1=γB1，其中γ為旋磁比)做章動(dòng).在t時(shí)刻進(jìn)行測(cè)量時(shí)，量子態(tài)|ψt〉處于|0〉態(tài)和|1〉態(tài)的概率[13]分別為

(4)

(5)

當(dāng)滿足共振條件ω=ω0時(shí)，量子態(tài)|ψ〉處于|0〉態(tài)和|1〉態(tài)的概率分別為

(6)

(7)

共振條件下拉比振蕩的物理意義可理解為：|0〉態(tài)表示自旋沿z軸向上，|1〉態(tài)表示自旋沿z軸向下.當(dāng)外加頻率等于ω的圓偏振磁場(chǎng)B1時(shí)，初態(tài)|ψ0〉=|0〉隨著微波作用的時(shí)長(zhǎng)t演化到疊加態(tài)|ψt〉.對(duì)|ψt〉進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得其處于|0〉態(tài)的概率|at|2是時(shí)長(zhǎng)t的余弦函數(shù)，振蕩頻率δ=ω1，與微波場(chǎng)的大小B1成正比.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2所示為國(guó)儀量子教學(xué)機(jī)的光路模塊. 520 nm的激光通過(guò)透鏡會(huì)聚在金剛石NV色心上，產(chǎn)生的熒光經(jīng)過(guò)透鏡會(huì)聚，經(jīng)濾光片濾掉激光后，被光電探測(cè)器收集. 微波裝置能夠發(fā)射頻率ω可調(diào)的線偏振微波，被微波開(kāi)關(guān)調(diào)制成方波脈沖，經(jīng)功率放大器放大后，通過(guò)微波輻射結(jié)構(gòu)作用到金剛石上. 通過(guò)電腦軟件控制激光和微波的脈沖作用，進(jìn)行信號(hào)采集，并同步時(shí)序[5].

(a)實(shí)物圖

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及討論

3.1 拉比振蕩實(shí)驗(yàn)

1)施加一段時(shí)間的激光，初始化NV色心.

2)打開(kāi)微波，調(diào)節(jié)ω和t.拉比振蕩實(shí)驗(yàn)中，保持ω=ω0不變，調(diào)節(jié)t；連續(xù)波實(shí)驗(yàn)中，固定t，調(diào)節(jié)ω.

3)再次打開(kāi)激光并進(jìn)行熒光測(cè)量.

在實(shí)驗(yàn)中，為了避免不同信號(hào)開(kāi)關(guān)的延遲，各脈沖序列間一般會(huì)等待5 μs.

圖3 拉比振蕩和連續(xù)波實(shí)驗(yàn)脈沖序列圖

在準(zhǔn)共振頻率附近進(jìn)行拉比振蕩實(shí)驗(yàn)，其他參量設(shè)置為：微波功為率-10 dBm，小磁鐵位置為-5.25 cm(出廠位置).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(藍(lán)色數(shù)據(jù))所示，對(duì)應(yīng)顏色的實(shí)線為擬合結(jié)果，擬合公式為y=y0+Ae-t/τcos [δ(t-t0)]，考慮到微波場(chǎng)的不均勻性，加入了e-t/τ項(xiàng)[14-15].

圖4 偏共振拉比振蕩實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 微波頻率對(duì)拉比振蕩的影響

改變?chǔ)?ω0，重復(fù)拉比振蕩實(shí)驗(yàn)，可以得到熒光強(qiáng)度隨微波作用時(shí)間t的變化(以2 848 MHz作用時(shí)，熒光光強(qiáng)的最大值和最小值進(jìn)行歸一)，并進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4所示.可見(jiàn)微波頻率2 848 MHz最接近共振頻率，對(duì)應(yīng)的熒光極小值最小.相應(yīng)地，2 844 MHz和2 840 MHz的拉比振蕩頻率更高，熒光極小值也更高.

3.3 連續(xù)波實(shí)驗(yàn)

通過(guò)上述討論可知，只有頻率ω=ω0的微波作用后熒光強(qiáng)度最低.從圖4中也可以看出，盡管拉比振蕩的頻率有差異，但熒光取極小值對(duì)應(yīng)的微波時(shí)長(zhǎng)比較接近.因此，采用“連續(xù)波實(shí)驗(yàn)”，即連續(xù)地改變微波頻率測(cè)量熒光強(qiáng)度的方法來(lái)測(cè)量共振頻率ω0.

該實(shí)驗(yàn)中，熒光信號(hào)的測(cè)量方法與拉比振蕩類似，脈沖序列如圖3所示，此時(shí)改變微波頻率ω，而作用時(shí)長(zhǎng)t不變(軟件中t不可調(diào))，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示.由于磁場(chǎng)作用，|ms=±1〉的能級(jí)去簡(jiǎn)并，因此熒光強(qiáng)度出現(xiàn)2個(gè)低谷，分別為(2 848±2) MHz和(2 896±2) MHz，對(duì)應(yīng)|ms=0〉和|ms=-1〉以及|ms=+1〉之間的共振頻率ω0i/(2π)(i=1,2).

圖5 連續(xù)波實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

3.4 微波時(shí)長(zhǎng)對(duì)共振頻率判斷的影響

在連續(xù)波實(shí)驗(yàn)中，微波的作用時(shí)長(zhǎng)t不可調(diào).而從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，熒光值隨t振蕩變化.固定t，將導(dǎo)致所測(cè)熒光強(qiáng)度大于等于真實(shí)π脈沖下的熒光強(qiáng)度. 下面，討論這種測(cè)量方法對(duì)測(cè)量ω0的影響.

在ω0=2 848 MHz 附近，每改變0.5 MHz測(cè)量1次拉比振蕩，并從拉比振蕩曲線中讀取特定t所對(duì)應(yīng)的熒光強(qiáng)度，做熒光強(qiáng)度與微波頻率的關(guān)系，如圖6(a)所示. 其中t選取2 848 MHz對(duì)應(yīng)的π脈沖時(shí)長(zhǎng)115 ns，以及(115±25) ns這3個(gè)不同的時(shí)長(zhǎng). 可以看到，3條曲線的相似度較高，極小值均在(2 846.5±0.5) MHz范圍內(nèi). 因此，可猜測(cè)在實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的熒光強(qiáng)度不確定度范圍內(nèi)，t的選取對(duì)共振頻率的確定影響不大.

用Mathematica進(jìn)一步驗(yàn)證上述猜測(cè). 對(duì)NV色心的2個(gè)共振頻率ω0i(i=1,2)，分別考慮微波頻率偏離共振頻率的影響，根據(jù)式(4)，并乘以衰減項(xiàng)e-t/τ，得到相對(duì)熒光強(qiáng)度Ii(i=1,2)

(8)

總熒光強(qiáng)度

I=I1+I2-1.

(9)

將ω01/(2π)=2 846.5 MHz，ω02/(2π)=2 896.0 MHz代入式(8)，參考圖4中的擬合結(jié)果，取ω1/(2π)=5.2 MHz，τ=276 ns，t=90 ns，115 ns和140 ns，t0為時(shí)間零點(diǎn)矯正，得到ω01附近熒光強(qiáng)度隨f的變化，如圖6(b)所示.從模擬結(jié)果可見(jiàn)，不同的t會(huì)影響熒光強(qiáng)度的數(shù)值，但不會(huì)改變峰的位置.峰的位置只與ω01有關(guān).時(shí)間零點(diǎn)矯正項(xiàng)t0的作用與t是類似的.

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從圖(6)中可以看出，連續(xù)波實(shí)驗(yàn)中，固定微波作用時(shí)長(zhǎng)t是可行的，因?yàn)閠不會(huì)影響共振峰的位置. 由于t的取值會(huì)改變熒光的相對(duì)大小，因而熒光測(cè)量精度的限制更可能是導(dǎo)致共振峰測(cè)量誤差的主要原因.

3.5 靜磁場(chǎng)對(duì)連續(xù)波實(shí)驗(yàn)的影響

在本實(shí)驗(yàn)中，靜磁場(chǎng)導(dǎo)致了|ms=±1〉能級(jí)的去簡(jiǎn)并，即塞曼效應(yīng). 改變磁場(chǎng)會(huì)使熒光強(qiáng)度-微波頻率圖中的共振峰間距發(fā)生改變，然而在實(shí)驗(yàn)裝置中，靜磁場(chǎng)是由1塊可以在底座上左右平移的小磁鐵提供(見(jiàn)圖2). 磁鐵的移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致金剛石處的磁場(chǎng)大小和方向同時(shí)改變.

左右移動(dòng)磁鐵，共振峰的位置發(fā)生了對(duì)稱移動(dòng)，如圖7所示. 更特別的是，當(dāng)小磁鐵距離金剛石較遠(yuǎn)(-6 cm和-5.25 cm)時(shí)，熒光曲線只有1組對(duì)稱峰；當(dāng)磁鐵靠近金剛石時(shí)，在位置-4 cm處出現(xiàn)2組對(duì)稱峰，在位置-3 cm處，產(chǎn)生最多4組對(duì)稱峰. 該現(xiàn)象容易給學(xué)生造成困擾.

圖7 小磁鐵位置的影響

事實(shí)上，上述分析均只考慮單個(gè)(或者單一取向)NV色心. 由于單個(gè)NV色心的熒光信號(hào)非常弱，也較難制備，因此實(shí)驗(yàn)中所用的金剛石為多個(gè)NV色心的系綜. NV色心有4個(gè)可能的取向，外磁場(chǎng)在這4個(gè)方向上的投影大小不同，導(dǎo)致能級(jí)產(chǎn)生不同程度的劈裂[16].

通過(guò)該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的定性解釋，學(xué)生能夠理解在實(shí)驗(yàn)前應(yīng)如何調(diào)節(jié)磁場(chǎng)參量：使磁場(chǎng)在某個(gè)NV色心取向上的投影最強(qiáng)，表現(xiàn)為連續(xù)波實(shí)驗(yàn)中只觀察到2個(gè)共振峰. 這樣，可以近似認(rèn)為實(shí)驗(yàn)符合單一取向的NV色心模型，降低對(duì)之后量子計(jì)算的影響. 科研中一般使用單自旋的NV色心[5]，可以避免此問(wèn)題. 同時(shí)，基于外磁場(chǎng)和4個(gè)不同取向的NV色心間的相互作用，NV色心系綜還可以用于磁場(chǎng)的精密測(cè)量[17].

4 結(jié)束語(yǔ)

介紹了基于金剛石NV色心體系進(jìn)行量子計(jì)算的基礎(chǔ)內(nèi)容，即量子比特的初始化、調(diào)控及讀出. 為更好地幫助學(xué)生理解，設(shè)計(jì)并拓展了拉比振蕩相關(guān)教學(xué)內(nèi)容：通過(guò)拉比振蕩實(shí)驗(yàn)，了解微波與自旋的相互作用，熟悉量子態(tài)的初始化及讀出方法；討論拉比振蕩實(shí)驗(yàn)中微波頻率的影響，從而引出測(cè)量共振頻率的方法；通過(guò)連續(xù)波實(shí)驗(yàn)測(cè)量共振頻率，并討論測(cè)量過(guò)程中微波時(shí)長(zhǎng)參量對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響；改變磁鐵位置，定性展示了NV色心的系綜特性，讓學(xué)生了解實(shí)際儀器中如何進(jìn)行參量?jī)?yōu)化. 通過(guò)該教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，幫助學(xué)生對(duì)量子調(diào)控的原理和技術(shù)理解得更加全面，為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算打下良好的基礎(chǔ).