熊志豪， 鄧 濤， 鄭宇惟， 周 鑫， 吳玉澤

(1.重慶交通大學，a.機電與車輛工程學院； b.航空學院，重慶 400000； c.綠色航空技術研究院，重慶 401000；2.綠色航空能源動力重慶市重點實驗室，重慶 401000)

0 引言

近年來，隨著微處理器、傳感器等電子元件的小型化以及生產(chǎn)成本的不斷降低，小型無人機的發(fā)展得到了越來越多的關注和研究。其中，四旋翼無人機憑借結(jié)構(gòu)簡單、可懸停以及機動性強等優(yōu)勢在環(huán)境監(jiān)測、基礎設施監(jiān)管、軍事偵察、航空攝影、農(nóng)業(yè)植保等領域得到了廣泛的應用[1]。

為保證四旋翼無人機按計劃完成指定任務，需要對其進行高精度的軌跡跟蹤控制。然而，四旋翼無人機具有非線性、欠驅(qū)動、強耦合、多變量等特性，并且容易受到地面效應、陣風等外界干擾的影響，使得高品質(zhì)飛行控制器的設計與實現(xiàn)面臨較大的挑戰(zhàn)。針對四旋翼無人機的飛行控制問題，已有許多學者使用不同的控制方法進行了大量的研究，如線性二次調(diào)節(jié)器[2]、反步控制[3]、模型預測控制[4]、自適應控制[5]、滑模控制[6]等。盡管以上方法能在一定程度上改善四旋翼無人機的飛行性能，但仍然存在對系統(tǒng)模型的精度要求高、對系統(tǒng)未建模動態(tài)的適應性不強、工程實踐性較差或者在仿真時未考慮電機的動態(tài)特性、對四旋翼無人機的姿態(tài)角進行了小擾動假設等問題。

對此，本文提出一種基于狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑?？刂扑惴☉糜谒男頍o人機的軌跡跟蹤控制。其中，全局快速終端滑模控制引入了帶有非線性函數(shù)的終端滑模面，使得系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂，并且其控制律中不含有不連續(xù)的切換項，從而能夠避免抖振現(xiàn)象的發(fā)生；擴張狀態(tài)觀測器可以實時觀測系統(tǒng)的“總擾動”并在線補償，以觀測器的估計值來替代控制律中的系統(tǒng)模型信息以及傳感器的線速度和角速度信號，可以有效地增強控制器對四旋翼無人機模型不確定性以及外部干擾的魯棒性能。最后，本文通過對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析以及數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所提控制算法的有效性。

1 四旋翼無人機模型建立

本文選取的研究對象為“X”型結(jié)構(gòu)的四旋翼無人機，即機頭與機架之間的夾角為45°。為了描述四旋翼無人機的姿態(tài)和位置，需要建立與地球中心固連的地球坐標系(oexeyeze)和與四旋翼無人機固連的機體坐標系(obxbybzb)，如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機的結(jié)構(gòu)及坐標系

假設1 四旋翼無人機是均勻?qū)ΨQ的剛體。

假設2 四旋翼無人機的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量為常量。

假設3 四旋翼無人機的幾何中心即其重心。

1.1 動力學及運動學模型

(1)

1.2 控制效率模型

控制效率模型描述的是四旋翼無人機在螺旋槳轉(zhuǎn)速輸入下產(chǎn)生的拉力和力矩。對于“X”型結(jié)構(gòu)的四旋翼無人機，螺旋槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的總拉力f和總力矩τ與螺旋槳轉(zhuǎn)速的關系可表示為

(2)

式中：cT為螺旋槳拉力系數(shù)；CM為螺旋槳扭矩系數(shù)。

1.3 電機模型

一般情況下，四旋翼無人機所使用的無刷直流電機的動態(tài)響應過程可以簡化為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示為

(3)

2 控制器設計

本文采用的控制策略是由位置控制器和姿態(tài)控制器串聯(lián)而成的兩級串級控制器結(jié)構(gòu)，外環(huán)為位置控制器，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制器。其中，外環(huán)位置控制器的輸入為期望軌跡Pd=[xdydzd]T，輸出為期望拉力fd以及期望的滾轉(zhuǎn)角φd和俯仰角θd；內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器的輸入為φd,θd以及期望的偏航角ψd，輸出為期望的力矩τd=[τxdτydτzd]T。接下來基于擴張狀態(tài)觀測器以及全局快速終端滑?？刂扑惴▽λ男頍o人機的軌跡跟蹤控制器進行設計，控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 四旋翼無人機串級控制結(jié)構(gòu)

2.1 擴張狀態(tài)觀測器設計

以滾轉(zhuǎn)角通道為例設計擴張狀態(tài)觀測器，其余通道的設計方法類似。假設四旋翼無人機的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角都很小，根據(jù)式(1)，滾轉(zhuǎn)角φ的微分方程可表示為

(4)

(5)

利用式(5)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，可設計三階線性ESO在線估計系統(tǒng)狀態(tài)變量[8]，即

(6)

(7)

式中，ωo為觀測器帶寬。

2.2 位置控制器設計

位置控制可分為高度控制通道和水平控制通道兩個通道。位置系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為

(8)

(9)

以水平通道x為例，定義水平位置跟蹤誤差

ex=xd-x

(10)

設計全局快速終端滑動模態(tài)為[10]

(11)

式中：α0,β0∈R+；p0>q0>0，且都為奇數(shù)?；贓SO的滑模控制律為

(12)

同理可得水平通道y以及高度通道z的虛擬控制律為

(13)

(14)

(15)

由式(9)可以反解出期望的總拉力fd、期望的滾轉(zhuǎn)角φd以及期望的俯仰角θd分別為

(16)

(17)

(18)

2.3 姿態(tài)控制器設計

姿態(tài)控制通道的控制信號指令來源于位置控制器輸出的期望滾轉(zhuǎn)角φd和期望俯仰角θd，以及期望偏航角ψd。根據(jù)式(12)可得姿態(tài)控制通道的控制律為

(19)

(20)

3 穩(wěn)定性分析

本章以姿態(tài)控制器中滾轉(zhuǎn)角φ的控制回路為例對閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，其余通道的穩(wěn)定性分析過程與其類似。首先應保證滾轉(zhuǎn)角控制回路中擴張狀態(tài)觀測器觀測系統(tǒng)狀態(tài)的速度足夠快，之后再根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)來證明滾轉(zhuǎn)角控制回路的穩(wěn)定性。

定理1存在足夠大的觀測器帶寬ωo，使得對式(4)被控對象所構(gòu)建的式(6)線性擴張狀態(tài)觀測器的觀測誤差是漸近收斂的。

定理2由式(4)被控對象、式(6)ESO以及式(19)控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明 取閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

V=Vs+Vo

(21)

式中，Vs，Vo分別表示滾轉(zhuǎn)角控制器和觀測器的Lyapunov函數(shù)。選取控制器的Lyapunov函數(shù)為

(22)

根據(jù)式(11)全局快速終端滑動模態(tài)可得

(23)

將滾轉(zhuǎn)角微分方程式(4)以及式(19)滾轉(zhuǎn)角通道的控制律代入可得

(24)

(25)

(26)

則有

(27)

(28)

式中，α為任意常數(shù)。

(29)

取φ>1/2，則有

(30)

由式(30)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差有界，且隨著φ取值的增大而減小。

4 仿真分析

為驗證本文提出的控制策略在四旋翼無人機軌跡跟蹤控制中的有效性，在Matlab/Simulink環(huán)境下對四旋翼無人機進行了數(shù)值仿真實驗，四旋翼無人機的模型參數(shù)如表1所示[12]。

表1 四旋翼無人機模型參數(shù)

為了對比驗證本文提出的控制算法在四旋翼無人機軌跡跟蹤控制中的抗外部干擾性能，分別使用串級PID控制算法、串級滑模控制(SMC)算法以及本文提出的基于擴張狀態(tài)觀測器的串級全局快速終端滑模控制(以下稱TSMC-ESO)算法的控制結(jié)果進行對比。表2所示為TSMC-ESO控制算法的控制參數(shù)。

表2 控制器參數(shù)

仿真實驗中要求四旋翼無人機做螺旋上升運動，其參考路徑設置為

Pd=[0.5cos(t/2)0.5cos(t/2)2+t/10]T。

(31)

考慮到四旋翼無人機在實際飛行過程中經(jīng)常受到地效干擾以及陣風擾動的影響，分別在6個狀態(tài)變量x，y，z，φ，θ和ψ中加入以下時變函數(shù)來模擬外部的干擾：d1=0.5sin(πt/10)，d2=0.5cos(πt/10)，d3=0.5cos(πt/10)，d4=0.5sin(πt/10)+0.1，d5=0.5cos(πt/10)+0.1，d6=0.5sin(πt/10)+0.2。

此外，為了對3種控制算法的控制效果進行定量比較，分別計算了四旋翼無人機在每一種控制算法下位置變量x，y，z的平方誤差積分(ISE)，以此來衡量四旋翼無人機軌跡跟蹤控制的精度。ISE值越小，說明累計誤差越小，跟蹤精度越高。ISE的計算方法如下

(32)

式中：ts和tf分別代表仿真開始時間和結(jié)束時間；e(t)為狀態(tài)變量的跟蹤誤差。

圖3～5所示為PID,SMC以及TSMC-ESO控制算法下的四旋翼無人機軌跡跟蹤仿真結(jié)果對比圖，表3所示為3種控制算法的ISE值。

表3 3種控制算法的ISE值

圖3 軌跡跟蹤仿真結(jié)果

從圖3和圖4中可以看出，在基于擴張狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑模控制算法下的四旋翼無人機跟蹤軌跡最為平滑且無明顯的波動現(xiàn)象，而在PID控制算法和滑?？刂扑惴ㄏ碌乃男頍o人機跟蹤軌跡出現(xiàn)了較為明顯的波動。

圖4 位置通道跟蹤對比

這一點可以從3個位置變量的ISE值得到印證。從表3中的ISE值可以看出，在水平位置變量x和y中，在TSMC-ESO控制算法下的四旋翼無人機的ISE值最低。相較于PID算法和SMC算法，在TSMC-ESO算法下的ISE值在x方向分別下降了52.30%和4.47%，在y方向分別下降了99.64%和60.61%。這說明使用TSMC-ESO算法的四旋翼無人機軌跡跟蹤精度最高，跟蹤誤差最小，即具有更好的抗干擾性能；同時也說明了本文提出的控制算法具有良好的解耦性能，這得益于擴張狀態(tài)觀測器實時在線估計并補償系統(tǒng)“總擾動”的功能。

四旋翼無人機滾轉(zhuǎn)角、俯仰角以及偏航角的跟蹤效果如圖5所示。結(jié)果表明，在有時變干擾的情況下，由于傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ㄖ写嬖谇袚Q項，串級SMC中位置控制器輸出的期望滾轉(zhuǎn)角信號φd和期望俯仰角信號θd出現(xiàn)了嚴重的抖振現(xiàn)象，這為執(zhí)行器的工作帶來了巨大的挑戰(zhàn)，其在仿真開始5 s后的波動范圍均為±0.16 rad。與之相比，全局快速終端滑模控制算法中無切換項，因此φd和θd的抖振現(xiàn)象得以消除，其5 s后的波動范圍均為±0.07 rad，與串級SMC算法相比振幅下降了56.25%。串級PID下的φd，θd在5 s后的波動范圍均為±0.04 rad。與串級PID相比，TSMC-ESO控制算法的性能仍然還有改進空間。此外，在串級PID、串級SMC以及串級TSMC-ESO控制算法下，四旋翼無人機偏航角ψ的波動范圍分別為±0.012 rad，±0.010 rad和±0.002 rad，這說明串級TSMC-ESO算法下的四旋翼無人機偏航角跟蹤精度優(yōu)于另外兩種算法。

圖5 姿態(tài)通道跟蹤對比

5 結(jié)束語

針對四旋翼無人機的軌跡跟蹤控制問題，本文設計了一種基于擴張狀態(tài)觀測器的全局快速終端滑模控制算法。該算法具有以下特點：1)通過引入擴張狀態(tài)觀測器來實現(xiàn)實時觀測并補償系統(tǒng)內(nèi)外擾動的功能，較好地解決了四旋翼無人機姿態(tài)控制回路中存在的非線性、多變量、強耦合問題，提高了四旋翼無人機控制系統(tǒng)對內(nèi)外部干擾的魯棒性；2)通過采用帶有非線性函數(shù)的終端滑模面，使得系統(tǒng)跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂，并且其控制律中不含有不連續(xù)的切換項，從而能夠避免抖振現(xiàn)象的發(fā)生。該算法為四旋翼無人機的飛行控制算法設計提供了一種新的思路。在下一步研究中，將進一步改善所提控制算法的輸出抖振現(xiàn)象并將其部署至四旋翼無人機平臺上以驗證其實際性能。