葛敏輝 馬金亞

[摘 要]“重復(fù)的奧妙”一課是綜合實(shí)踐活動課，重在幫助學(xué)生在主題討論中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。文章呈現(xiàn)了學(xué)生在發(fā)現(xiàn)重復(fù)的模式、表征重復(fù)的模式、關(guān)聯(lián)重復(fù)的模式與現(xiàn)實(shí)的模型、創(chuàng)造重復(fù)的模式的過程中感悟重復(fù)現(xiàn)象的價(jià)值與數(shù)學(xué)表達(dá)的意義，從而形成思維能力、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]重復(fù)的奧妙;規(guī)律;模式;素養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0023-03

一、課前思考

“重復(fù)的奧妙”是北師大版教材二年級下冊的綜合實(shí)踐活動課，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、表征、思考和交流，體會“重復(fù)”的規(guī)律（情境圖如圖1）。那么，這節(jié)綜合實(shí)踐活動課究竟要帶給學(xué)生什么？教師又該怎么教呢？

（一）學(xué)習(xí)主題——體會重復(fù)

主題情境圖中蘊(yùn)含了多個(gè)簡單重復(fù)的現(xiàn)象，如小朋友們是一個(gè)女生一個(gè)男生交替重復(fù)排列的，燈籠是一個(gè)大一個(gè)小交替重復(fù)排列的，彩旗是兩面紅色一面藍(lán)色交替重復(fù)排列的……豐富的規(guī)律有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，感受規(guī)律存在的廣泛性，為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”提供了一份好素材。

（二）核心任務(wù)——表示規(guī)律

這是一堂綜合實(shí)踐活動課，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而鍛煉他們的數(shù)學(xué)能力。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該放大“發(fā)現(xiàn)”和“表達(dá)”的過程，留足時(shí)間給學(xué)生對某一條規(guī)律進(jìn)行思考和分析，并能在找出規(guī)律的基礎(chǔ)上想辦法表示規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和符號意識。教材的編排也很明晰地呈現(xiàn)了這一要求（如圖2）。

（三）教學(xué)價(jià)值——發(fā)展素養(yǎng)

教材為什么要把課題取名為“重復(fù)的奧秘”，而不叫“找規(guī)律”呢？這兩者有什么區(qū)別？對于學(xué)生來說，這一內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值究竟是什么？事實(shí)上，“規(guī)律”并不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的，生活中無處不有，因此“規(guī)律”對于學(xué)生來說并不陌生?！罢乙?guī)律”僅僅強(qiáng)調(diào)對一個(gè)“客觀存在的不變”的發(fā)現(xiàn)，這對于二年級的學(xué)生來說并沒有很大的意義，因?yàn)檫@并不能很好地促進(jìn)他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，也不能幫助他們感悟規(guī)律的價(jià)值和數(shù)學(xué)之美。而強(qiáng)調(diào)“重復(fù)的奧秘”更多的是關(guān)注“規(guī)律”的本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)模式的存在，同時(shí)這一模式里藏著“有序、有用、有美”的特征?！坝行颉斌w現(xiàn)在模式的不斷重復(fù)上，“有用”體現(xiàn)在利用有限的序列可以推測未知的事物，“有美”體現(xiàn)在這樣的模式重復(fù)能給人以美觀、可測、安心的感受。由此可見，這一內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感。要落實(shí)這一目標(biāo)，應(yīng)注重學(xué)生對規(guī)律的抽象和數(shù)學(xué)化表達(dá)，以及對規(guī)律本質(zhì)的提煉和應(yīng)用。

二、教學(xué)過程

（一）情境引入，認(rèn)識重復(fù)

師（出示主題情境圖，如圖1）：六一兒童節(jié)快到了，大家都在積極準(zhǔn)備節(jié)目，老師先帶你們?nèi)ヂ?lián)歡會上瞧一瞧！你看到了什么？

生1：我看到了有很多花，有很多小朋友，有燈籠……

生2：燈籠是一個(gè)大一個(gè)小、一個(gè)大一個(gè)小這樣掛著的。小朋友是一位女同學(xué)一位男同學(xué)，又一位女同學(xué)一位男同學(xué)這樣排起來的……（引導(dǎo)學(xué)生表述“有規(guī)律的排列”）

師：大家還發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：有規(guī)律，都是會重復(fù)的。

師：像這樣的重復(fù)規(guī)律還能找出來嗎？

【思考：本環(huán)節(jié)是利用學(xué)生熟悉的生活情境，充分調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，并通過“你看到了什么”“還發(fā)現(xiàn)了什么”“還能找出來嗎”三個(gè)關(guān)鍵問題為下一階段的抽象和拓展奠定了基礎(chǔ)。從情境到語言的轉(zhuǎn)化，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)和表達(dá)，捕捉初步的重復(fù)表象?！?/p>

（二）多元表征，體悟本質(zhì)

1.表示規(guī)律，對比關(guān)聯(lián)

師（出示燈籠圖，如圖3）：剛才大家說燈籠也有重復(fù)的規(guī)律。請用喜歡的方式把它表示出來。

生1：我是畫圖表示的。這個(gè)表示大燈籠，這個(gè)表示小燈籠，一大一小為一組重復(fù)排列。

生2：我是用文字表示的?！按蟆北硎敬鬅艋\，“小”表示小燈籠，兩個(gè)一組重復(fù)排列。

生3：我是用圖形表示的。五角星表示大燈籠，圓圈表示小燈籠，兩個(gè)一組重復(fù)排列。

生4：我是用字母表示的。A表示大燈籠，B表示小燈籠。

生5：我是用數(shù)字表示的。1表示大燈籠，2表示小燈籠。

呈現(xiàn)學(xué)生的作品：

師：誰來評論一下這些表示方法？

生6：我覺得畫圖太麻煩了。

師：生1，你后來為什么不繼續(xù)畫燈籠，而是換成了圓圈？

生1：畫燈籠有些麻煩，所以我就用圓圈來表示燈籠。大圓表示大燈籠，小圓表示小燈籠。

生2：我也覺得畫燈籠太麻煩，所以我用文字來表示，這樣方便一些。

生7：用字母和數(shù)字來表示也是比較簡便的。

師：這些方法形式上都不一樣，有沒有相同的地方呢？

生8：它們的相同點(diǎn)就是都能表示大燈籠和小燈籠的規(guī)律。

生9：它們都是兩個(gè)一組，不斷重復(fù)。

師：學(xué)數(shù)學(xué)是要學(xué)會用簡潔的方法來表示規(guī)律。大家很厲害，想到了用文字、圖形、字母、數(shù)字這些好方法，為你們點(diǎn)贊。

【思考：讓學(xué)生用自己的方式來表示看到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，重在促進(jìn)學(xué)生找出規(guī)律。通過比較多種表征方式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的本質(zhì)是兩個(gè)不同特征事物的重復(fù)，并體驗(yàn)到數(shù)學(xué)化表征的優(yōu)越性。從學(xué)生的作品中可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)學(xué)生的抽象水平是有差異的，如用字母和數(shù)字兩種形式表征的學(xué)生，他們把表示小燈籠的符號寫小一點(diǎn)，說明他們還沒有擺脫形狀屬性的干擾。大小不是規(guī)律的本質(zhì)屬性，“AB”式才是本質(zhì)。而用文字和圖形表示的學(xué)生，顯然已經(jīng)脫離了形狀因素，突顯規(guī)律的模式及其不斷重復(fù)的屬性?！?/p>

2.嘗試應(yīng)用，體現(xiàn)模式

師（出示圖5）：這里還有很多重復(fù)的現(xiàn)象，說說它們分別表示什么？

生1：第一組表示的是花盆，因?yàn)榛ㄅ璧臄[放是2個(gè)2個(gè)變化的。

生2：第二組表示的是彩旗的規(guī)律，因?yàn)椴势焓莾杉t一藍(lán)為一組不斷重復(fù)排列的。

生3：第二組也可以表示氣球的規(guī)律。氣球也是按這樣的規(guī)律重復(fù)排列的。

師：怎么會有不同的看法？

生4：如果表示彩旗，正方形表示紅色的彩旗，三角形表示藍(lán)色的彩旗。如果表示氣球，正方形表示黃色的氣球，三角形表示紅色的氣球。它們的規(guī)律是一樣的。

師：只要規(guī)律一樣，就可以用同樣的方法來記錄。

生5：第三組表示的可能是燈籠，也可能是小朋友，因?yàn)樗鼈兌际莾蓚€(gè)一組，且不斷重復(fù)。

師：這些重復(fù)的規(guī)律有什么共同點(diǎn)嗎？

生6：它們的共同點(diǎn)是把一個(gè)規(guī)律不斷重復(fù)下去。

【思考：這一環(huán)節(jié)意在幫助更多的學(xué)生鞏固符號化的能力。學(xué)生在這過程中，重點(diǎn)是經(jīng)歷從抽象表達(dá)出的模式中找到現(xiàn)實(shí)的模型，由此提高模式的解讀能力，提高關(guān)聯(lián)“符號”與“情境”的能力，也進(jìn)一步體驗(yàn)到同一個(gè)圖示可以表示不同的現(xiàn)實(shí)模型。最后學(xué)生抽象出不同規(guī)律的表征背后有著一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是模式的重復(fù)。雖然學(xué)生說規(guī)律不斷重復(fù)，其實(shí)他們說的規(guī)律是指模式，學(xué)生已經(jīng)在這個(gè)過程中建立了模式的意識?！?/p>

3.拓展應(yīng)用，感受價(jià)值

師：聯(lián)歡會中有這么多重復(fù)的現(xiàn)象，生活中有沒有呢？ 為什么生活中有這么多重復(fù)？重復(fù)有什么好處呢？

生1：重復(fù)可以讓我們的生活更美。

師：你是指重復(fù)排列會給人一種美感，對嗎？

生1：是的。

師：生1說重復(fù)很美。其他人覺得重復(fù)有什么好處？

生2：重復(fù)可以幫助我們推測下一個(gè)是什么。比如春季過后是夏季，周五過后是周六。

師：重復(fù)可以推測，所以生活中有很多重復(fù)?？磥碇貜?fù)很有用，那么你能自己創(chuàng)造一個(gè)重復(fù)嗎？

【思考：這個(gè)環(huán)節(jié)重在拓展和創(chuàng)造，使學(xué)生帶著在情境中找重復(fù)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步將重復(fù)的奧秘對應(yīng)到日常生活中，這既能加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，又能拓寬學(xué)生的視野。重復(fù)的模式從發(fā)現(xiàn)到表達(dá)，再到關(guān)聯(lián)、創(chuàng)造，在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅得到了數(shù)學(xué)思維能力的提升，還經(jīng)歷了數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)很美的深度體驗(yàn)。這樣的過程有助于學(xué)生豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！?/p>

三、課后啟示

第一，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課要有“數(shù)學(xué)味”。類似“重復(fù)的奧妙”這樣的綜合實(shí)踐活動課在每一冊數(shù)學(xué)書里都有編排，由于它沒有顯性的知識點(diǎn)，因此教師教學(xué)時(shí)往往會“重形式輕實(shí)質(zhì)”，以致課堂有了“活動味”卻少了“數(shù)學(xué)味”。那么如何體現(xiàn)“數(shù)學(xué)味”呢？關(guān)鍵是要挖掘體驗(yàn)點(diǎn)、思考點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)任務(wù)，從而驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、比較、抽象、歸納、推理等活動，在體驗(yàn)中感悟，在思考中提升。如“重復(fù)的奧妙”教學(xué)不應(yīng)停留在“規(guī)律”的討論，而應(yīng)在“重復(fù)”的發(fā)現(xiàn)、表達(dá)、關(guān)聯(lián)和創(chuàng)造的過程中促進(jìn)學(xué)生思考，使學(xué)生在思考中感受到生活現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)眼光來觀察、可以用數(shù)學(xué)方式來表達(dá)，體驗(yàn)到“規(guī)律現(xiàn)象”的本質(zhì)是“模式的不斷重復(fù)”，進(jìn)而體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)化的重要性以及數(shù)學(xué)的價(jià)值。

第二，多元表征要加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，更要突出本質(zhì)。在“重復(fù)的奧妙”的教學(xué)中，學(xué)生自主表征重復(fù)的現(xiàn)象是必不可少的環(huán)節(jié)，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)很有意義，但這并不代表學(xué)生已經(jīng)深度理解了數(shù)學(xué)本質(zhì)。抽象化的經(jīng)歷雖然可以很好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)表達(dá)，但很多學(xué)生只是停留在“照樣子表示”的層面，即只是在形式上表示現(xiàn)實(shí)的規(guī)律現(xiàn)象。這些形式雖然有了抽象化的體現(xiàn)，但會帶上大小、數(shù)量、顏色等非本質(zhì)屬性。因此，要剝離這些非本質(zhì)屬性、突出本質(zhì)才是這類課的重要目標(biāo)。要深入地理解現(xiàn)象背后的本質(zhì)屬性，還需要加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，使學(xué)生在關(guān)聯(lián)中認(rèn)知“重復(fù)”的模型，在比較中揭示“重復(fù)”的本質(zhì)屬性。比如在表征燈籠時(shí)，有的在表示方法中沒有體現(xiàn)燈籠的大小這個(gè)特點(diǎn)，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生對比和思辨，進(jìn)一步體驗(yàn)到不體現(xiàn)大小的形象特點(diǎn)也能表示重復(fù)的規(guī)律。又如，燈籠圖片里呈現(xiàn)了4組一大一小，但有些學(xué)生表示的是3組、5組，教師可追問：“數(shù)量不一致可以嗎？”這樣的討論會加深學(xué)生對“重復(fù)”本質(zhì)的理解，即“AB”式的存在及不斷重復(fù)。無論形式如何，其本質(zhì)始終如一。由此可見，在組織多元表征時(shí)，一定要加強(qiáng)對比和關(guān)聯(lián)，以便幫助學(xué)生透過直觀表象形成抽象理解，深度把握概念的本質(zhì)。

（責(zé)編 金 鈴）