楊 奔，李天任，馬曉媛

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展部，北京，100076）

0 引 言

跳躍式飛行器是一種在大氣層內(nèi)波動(dòng)飛行的再入飛行器，能夠通過自身攜帶的動(dòng)力裝置進(jìn)行多次開關(guān)機(jī)，補(bǔ)充大氣阻力消耗的能量，實(shí)現(xiàn)“向下俯沖-動(dòng)力轉(zhuǎn)彎-慣性爬升”的波浪式飛行。本文主要針對(duì)跳躍飛行軌跡特性進(jìn)行分析，進(jìn)而探討該類飛行器軌跡的優(yōu)化方法。從本質(zhì)上來講這是一種帶過程約束的兩點(diǎn)邊值問題，解決該問題目前有2 種主流的算法，分別為基于非線性優(yōu)化理論的直接法和基于極大值原理的間接法。1955 年，Eggers和 Seiff在簡(jiǎn)化模型下，理論推導(dǎo)出再入飛行器射程的解析表達(dá)式，并據(jù)此分析了平衡再入和跳躍再入軌跡的射程與氣動(dòng)力/氣動(dòng)熱關(guān)系。Istratie考慮了熱流密度和剩余速度，基于極大值原理研究了跳躍軌跡的優(yōu)化問題。雍恩米基于高斯偽譜法對(duì)再入飛行軌跡進(jìn)行了優(yōu)化，驗(yàn)證了偽譜法具有較高的求解速度和效率。施劍鋒等利用混沌粒子群法研究了跳躍飛行器在滿足過程約束和航程約束的前提下實(shí)現(xiàn)總加熱量最小的軌跡優(yōu)化問題。間接法需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，且該方法幾乎無(wú)法有效解決較復(fù)雜問題；應(yīng)用直接法對(duì)多階段問題的建模較為繁瑣；而粒子群法等啟發(fā)式算法對(duì)于計(jì)算量大、優(yōu)化參數(shù)多的復(fù)雜模型優(yōu)化問題，需反復(fù)交叉、變異、迭代，計(jì)算效率較低。

20 世紀(jì)90 年代以來，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較大的非線性擬合能力，在魯棒飛行控制方法、氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)及故障診斷等方面引起了學(xué)者們廣泛地研究。從原理上來講，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是基于模型的，因此建模是至關(guān)重要的，而對(duì)于跳躍飛行器這類非常復(fù)雜的系統(tǒng)，建立準(zhǔn)確模型方法及關(guān)鍵參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)問題一直無(wú)法有效解決，鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的映射能力優(yōu)點(diǎn)，理論上對(duì)于對(duì)象復(fù)雜程度多高，均能快速適應(yīng)。因此，成為辨識(shí)非線性系統(tǒng)的一種有效途徑，被廣泛應(yīng)用于飛行器軌跡規(guī)劃及控制中。

再入飛行器由于長(zhǎng)時(shí)間在大氣層內(nèi)飛行，所面臨的熱、力等環(huán)境比較嚴(yán)峻，如何快速準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)其軌跡規(guī)劃問題也顯得尤為重要。本文采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)含動(dòng)力的再入模型進(jìn)行辨識(shí)，避免了強(qiáng)非線性、多階段優(yōu)化模型難以建立的困難，然后基于該辨識(shí)系統(tǒng)利用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，在計(jì)算時(shí)間和尋優(yōu)結(jié)果上均比傳統(tǒng)方法更具優(yōu)勢(shì)。

1 飛行器再入軌跡優(yōu)化問題

德國(guó)科學(xué)家Eugen S?nger 最早提出大氣層內(nèi)跳躍飛行軌跡樣式，帶補(bǔ)能裝置的跳躍再入軌跡形式如圖1所示。這種軌跡最顯著的特點(diǎn)是飛行高度起伏變化大且不具規(guī)律性，相比于傳統(tǒng)的拋物形、平衡再入式軌跡，其特征參數(shù)更加不易獲取。除此之外，由于長(zhǎng)時(shí)間在高空飛行，可以減少速度損失和降低熱載，具備一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖1 跳躍軌跡示意Fig.1 Schematic Diagram of Skip Trajectory

1.1 再入動(dòng)力學(xué)模型

為簡(jiǎn)化問題，只研究再入飛行器縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，假定地球?yàn)橐混o止的圓球，帶動(dòng)力的再入飛行器無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)模型為

式中為大氣密度；為飛行器質(zhì)量，=907 kg；為參考面積，=0.4839 m；為升力系數(shù)；為阻力系數(shù)，均參考國(guó)外滑翔飛行器CAV-H。對(duì)升力系數(shù)和阻力系數(shù)進(jìn)行擬合，得到兩者對(duì)攻角的關(guān)系式：

1.2 優(yōu)化問題描述

再入跳躍軌跡優(yōu)化問題一般可以轉(zhuǎn)化為包含路徑約束、邊值約束以及補(bǔ)能發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間約束的優(yōu)化問題。本文主要研究不同飛行策略對(duì)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)開關(guān)機(jī)時(shí)間點(diǎn)的影響，暫不考慮攻角對(duì)結(jié)果的影響，因此借鑒航天飛機(jī)的程序攻角設(shè)計(jì)方法，采用典型的二次分段標(biāo)稱攻角剖面，其具體表達(dá)形式為

式中為再入初始攻角，在再入段的初始階段，以大攻角飛行，避免飛行器超過熱流的約束；為飛行攻角設(shè)置的速度閾值；為常量系數(shù)。

再入軌跡優(yōu)化問題一般是考慮射程最遠(yuǎn)為優(yōu)化指標(biāo)，但防熱問題也是再入飛行器在大氣層內(nèi)飛行時(shí)需要考慮的一個(gè)重要方面。本文將兩者綜合考慮，將熱流約束通過罰函數(shù)策略加入到性能指標(biāo)中，因此選擇兩者的加權(quán)作為設(shè)計(jì)的優(yōu)化指標(biāo)，并討論不同飛行策略下的開關(guān)機(jī)方案，即：

式中為性能指標(biāo)；為射程；為峰值熱流密度；，分別為射程和峰值熱流的權(quán)值系數(shù)。

2 基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的再入跳躍系統(tǒng)辨識(shí)

針對(duì)該多階段優(yōu)化模型，文獻(xiàn)[5]中基于混沌粒子群法進(jìn)行計(jì)算，但該方法中選擇、變異、混沌化以及軌跡積分等操作過程需要大量迭代運(yùn)算，計(jì)算量大，且實(shí)際求解過程中的計(jì)算精度難以保證，難以滿足實(shí)時(shí)性要求。

因此，本小節(jié)將引入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用其強(qiáng)大的非線性映射能力，構(gòu)建以末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)3 次波谷的工作時(shí)間和適應(yīng)度值的映射關(guān)系，完成基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的再入跳躍系統(tǒng)辨識(shí)。

2.1 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理

RBF 網(wǎng)絡(luò)是一種包含輸入層、隱含層和輸出層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入端到輸出端的映射關(guān)系是非線性的，但中間層到輸出端的映射是線性的，該網(wǎng)絡(luò)一般結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 RBF Neural Network Topology

圖2中：a）輸入層：由感知單元組成，主要是用來感知外部環(huán)境變化。b）隱含層：也可稱為激勵(lì)函數(shù)，是網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入條件產(chǎn)生局部調(diào)節(jié)。c）輸出層：該層的節(jié)點(diǎn)對(duì)隱含層的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行線性處理，從而形成輸入端到輸出端的映射空間。因其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、訓(xùn)練簡(jiǎn)潔、學(xué)習(xí)收斂速度快，適合實(shí)時(shí)控制的要求。

本文中，為避免直接求解非線性、多階段的優(yōu)化問題的困難，將末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)3 次的工作時(shí)間作為輸入，射程、熱流以及兩者的加權(quán)函數(shù)等不同飛行策略指標(biāo)作為輸出，利用RBF 網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)每次波谷工作時(shí)間與適應(yīng)值函數(shù)非線性系統(tǒng)的辨識(shí)。

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，= [,, …, x]為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)基向量= [,,… , h]，其中,為底函數(shù)，即：

式中 第個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心向量為

設(shè)基寬向量為= [,,… , b]，為節(jié)點(diǎn)的基寬參數(shù)，且為大于零的數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為

則，RBF 網(wǎng)絡(luò)的輸出為

網(wǎng)絡(luò)逼近的性能指標(biāo)函數(shù)為

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程采用監(jiān)督學(xué)習(xí)方式，網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)參數(shù)的迭代算法如下：

式中為學(xué)習(xí)速率，∈[0 ,1 ]；為動(dòng)量因子，∈[0 ,1 ]。

2.3 序列二次規(guī)劃算法

序列二次規(guī)劃算法的原理是在參考點(diǎn)處，降階求解二次規(guī)劃的子問題，通過尋優(yōu)結(jié)果更新參考點(diǎn)，使其逐步逼近原優(yōu)化問題的最優(yōu)解。由于該算法具有全局最優(yōu)性的同時(shí)保持部分超1 次收斂性能，成為目前求解非線性規(guī)劃問題最受歡迎的算法之一。

設(shè),,分別表示性能指標(biāo)、等式與不等式約束，考慮如下最優(yōu)控制問題（P）：

在 x處，與式（15）對(duì)應(yīng)的二次規(guī)劃子問題（QP）表示為

式中 ?(x)，?(x)，?(x)分別為函數(shù),,在 x處的梯度；矩陣B為問題（P）的 Lagrange 函數(shù)(,,) =() +() ?()在Hessian 矩陣的擬牛頓近似矩陣；為搜索方向。為使算法具有收斂性，通常要求B對(duì)稱正定。對(duì)于式（16）的二次規(guī)劃問題，一般可采取罰函數(shù)等方法進(jìn)行快速優(yōu)化。

2.4 訓(xùn)練樣本的產(chǎn)生和算法流程

假設(shè)再入飛行器攜帶燃料一定，并規(guī)定燃料在前3 次波谷階段完全燃燒。在此基礎(chǔ)上，隨機(jī)生成組Δ、Δ和Δ數(shù)據(jù)，分別為每次波谷發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間。正如第1.2 節(jié)所分析的，選擇發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)時(shí)刻為波谷點(diǎn)，體現(xiàn)在時(shí)間-地心距曲線上即曲線的凹點(diǎn)，其表示為

式（17）中所表示的是連續(xù)系統(tǒng)的波谷點(diǎn)，但實(shí)際仿真過程是一系列的離散點(diǎn)，所以必須對(duì)式（17）進(jìn)行處理，從而得到式（18）表示的開機(jī)點(diǎn)時(shí)刻。

隨后，從再入飛行器的初始狀態(tài)通過龍格庫(kù)塔四階積分，直到飛行器達(dá)到末端高度約束，計(jì)算每組數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值，從而形成大量的樣本用于RBF 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

基于上述辨識(shí)系統(tǒng)，利用序列二次規(guī)劃算法對(duì)其進(jìn)行軌跡優(yōu)化。

3 數(shù)值仿真及分析

為驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和有效性，選取美國(guó)通用飛行器的再入任務(wù)進(jìn)行仿真分析，該飛行器總質(zhì)量為907 kg，參考面積為0.48 m。標(biāo)稱攻角剖面為：0=22°，=16，=0.11。飛行器的初始飛行狀態(tài)如表1 所示。飛行器所攜帶燃料為16 kg，末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力為2000 N，比沖為=49 000 m/s。

表1 飛行器再入點(diǎn)參數(shù)Tab.1 Reentry Point Parameters

3.1 RBF 網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)結(jié)果分析

按照第2.2 節(jié)中數(shù)據(jù)產(chǎn)生的方式，生成10 000 組發(fā)動(dòng)機(jī)各個(gè)波谷點(diǎn)工作時(shí)間組合以及對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值數(shù)據(jù)，作為監(jiān)督學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)庫(kù)。網(wǎng)絡(luò)輸入層感知單元為3 個(gè)，輸出神經(jīng)元的數(shù)量為1，考慮網(wǎng)絡(luò)的映射能力和學(xué)習(xí)效率，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)量為112。

在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中，隨著逐步迭代，其輸出與樣本真值之間的差值逐漸減小，最終收斂至穩(wěn)定，誤差最終收斂于 1 × 1 0，表明網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了較高的收斂精度。

為驗(yàn)證所建立的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原非線性、多階段系統(tǒng)的逼近程度，隨機(jī)生成100 組Δ、Δ和Δ數(shù)據(jù)，輸入到RBF 網(wǎng)絡(luò)模型中，并同時(shí)將其帶入到式（1）中進(jìn)行飛行參數(shù)計(jì)算，將兩者所得的結(jié)果比較，作為網(wǎng)格辨識(shí)精度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行誤差分析。在隨機(jī)生成100 組輸入量的狀態(tài)下，所訓(xùn)練的網(wǎng)格成功得到了輸入量對(duì)應(yīng)的的適應(yīng)值。與真實(shí)值相比，最大誤差2.5 × 10。說明該網(wǎng)格可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原有系統(tǒng)的準(zhǔn)確辨識(shí)，準(zhǔn)確地建立了3 次波谷發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間和與適應(yīng)度函數(shù)的非線性映射模型。

3.2 序列二次規(guī)劃算法對(duì)辨識(shí)系統(tǒng)的軌跡優(yōu)化

基于第3.1 節(jié)中RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原復(fù)雜系統(tǒng)的逼近模型，采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化。下例中，規(guī)定式（6）中=1，=70 綜合考慮射程最優(yōu)和熱流約束。通過給定不同的初始參考點(diǎn)，對(duì)比分析其優(yōu)化結(jié)果（見表2），說明該模型對(duì)初始值的依賴較低，可以很好地避免對(duì)原系統(tǒng)直接優(yōu)化不易建模的困難。

表2 軌跡優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.2 Result Contrast

由表2 可知，3 組不同的初始方案，得到的優(yōu)化結(jié)果一致，說明基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SQP 算法跳躍軌跡優(yōu)化方法對(duì)初值敏感度低，并且在較少的迭代次數(shù)后達(dá)到收斂，迭代結(jié)果如圖3 所示，3 種情況耗時(shí)均在0.275 s 左右。

圖3 不同初始軌跡的優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimization Results of Different Initial Trajectories

圖3是不同初始參考值所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果，由于本次仿真所選取的性能指標(biāo)是綜合考慮了射程最優(yōu)和熱流約束，所以優(yōu)化結(jié)果是第2 次波谷時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間最長(zhǎng)，其次是第1 次波谷時(shí)刻，第3 次發(fā)動(dòng)機(jī)并未開機(jī)，在此之前燃料已經(jīng)消耗完畢。在第3.4 節(jié)里，會(huì)對(duì)不同飛行策略的軌跡特性進(jìn)行分析對(duì)比，并說明其對(duì)每次波谷發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間的影響。

由圖3 可知，末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)分別在108.4 s 和361 s時(shí)刻開始點(diǎn)火，并分別持續(xù)工作17.62 s 和22.38 s。在前2 次波谷附近內(nèi)，速度有短暫的增加，軌跡傾角和高度變化并沒有發(fā)生突變，過渡比較平穩(wěn)，說明該優(yōu)化方案是可行的。

3.3 與混沌粒子群法尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比

粒子群算法對(duì)性能指標(biāo)和約束條件的限制較少，具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，優(yōu)化模型簡(jiǎn)單、通用性強(qiáng)，但對(duì)于較為復(fù)雜的問題，受其交叉、迭代等步驟的影響，粒子群法的優(yōu)化效率較低，優(yōu)化時(shí)間一般在幾十分鐘甚至小時(shí)量級(jí)。在傳統(tǒng)粒子群算法中，初始化是隨機(jī)設(shè)置的，可能導(dǎo)致某些可行域被遺漏，無(wú)法保證種群空間的隨機(jī)性與多樣性，很難求得最優(yōu)解。將混沌算法與粒子群算法相結(jié)合，將其應(yīng)用于優(yōu)化搜索中，利用混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性、充分調(diào)整種群的進(jìn)化方向，最大程度上避免陷入局部最優(yōu)解。

為驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性和高效性，將優(yōu)化結(jié)果與混沌粒子群算法的尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，粒子群算法主要參數(shù)設(shè)置為：學(xué)習(xí)率==1.4，最大迭代次數(shù)為=45，粒子空間為3 維，種群數(shù)量維為100。具體的對(duì)比結(jié)果見表3 和圖4。

表3 尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of Optimization Results

圖4 兩種算法優(yōu)化的射程-高度曲線Fig.4 Range-height Curve Optimized by Two Algorithms

由表3 和圖4 知，采用基于混沌粒子群法的尋優(yōu)過程在經(jīng)過44 次反復(fù)迭代尋優(yōu)、交叉變異步驟后，計(jì)算結(jié)果與本文算法基本一致，總計(jì)耗時(shí)1441 s 左右，時(shí)效性不高，尋優(yōu)結(jié)果與本文算法計(jì)算結(jié)果相比，無(wú)論是從計(jì)算效率還是結(jié)果的最優(yōu)性方面，基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SQP 算法的跳躍軌跡優(yōu)化結(jié)果都表現(xiàn)出絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。

3.4 不同飛行策略的軌跡特性對(duì)比

為了分析不同的飛行策略對(duì)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)各波谷工作時(shí)間的影響，本小節(jié)通過設(shè)置不同的適應(yīng)值函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的優(yōu)化指標(biāo)，分別采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原多階段系統(tǒng)進(jìn)行逼近，隨后利用序列二次規(guī)劃算法對(duì)其進(jìn)行軌跡優(yōu)化，具體方法同第3.1 節(jié)和第3.2 節(jié)。

分別采用如射程最遠(yuǎn)、最大熱流密度最小化等不同的飛行策略，研究其對(duì)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)各波谷工作時(shí)間的影響。仿真結(jié)果見表4、圖5、圖6 等。

表4 不同飛行策略的結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of Results under Different Flight Strategies

圖5 不同飛行策略對(duì)應(yīng)的射程-高度曲線Fig.5 Range-altitude Curve Corresponding to Different Flight Strategies

圖6 不同飛行策略對(duì)應(yīng)的熱流密度曲線Fig.6 Heat Flux Curves Corresponding to Different Flight Strategies

由圖6 可知，在只考慮熱流密度約束時(shí)，所優(yōu)化的結(jié)果是，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間比較靠后，反而第1 次發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間只有1.0432 s，這也與第1種情況相對(duì)應(yīng)。因此可以得到，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間越靠前，射程越遠(yuǎn)，但熱環(huán)境壓力大。發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間越靠后，能減輕熱環(huán)境壓力，但卻嚴(yán)重減小了飛行器的射程。在這種情況下，本文綜合考慮射程與熱環(huán)境條件，以射程與熱流罰函數(shù)加權(quán)為優(yōu)化指標(biāo)，達(dá)到兼顧兩者的效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原強(qiáng)非線性、多階段的再入跳躍式軌跡模型進(jìn)行辨識(shí)，借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力，建立了末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)3 次開機(jī)點(diǎn)時(shí)間和與適應(yīng)度函數(shù)的非線性映射模型。在此基礎(chǔ)上，采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，避免了直接求解該優(yōu)化問題的困難。并與基于混沌粒子群算法的尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和高效性。

另外，討論了射程最大、熱流最小等不同的飛行策略對(duì)開關(guān)機(jī)時(shí)間的影響，并從實(shí)際工程角度出發(fā)，為兼顧不同的性能指標(biāo)，提出以射程和熱流罰函數(shù)加權(quán)為優(yōu)化指標(biāo)，并通過對(duì)大升組比再入飛行器CAV-H進(jìn)行仿真分析，得到了較優(yōu)的軌跡，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。