張爍瑜，高軍萍，李 琦，王 丹

（河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300401）

0 引言

正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系統(tǒng)雖具有抗干擾能力強(qiáng)、頻譜利用率高的特點(diǎn)[1-4]，但其對(duì)時(shí)間和頻率偏移十分敏感[5-7]。在基于訓(xùn)練序列的同步算法中，最為經(jīng)典的Schmidl 算法[8]由2 組相同序列構(gòu)成，但該算法因循環(huán)前綴（Cyclic Prefix，CP）的影響而存在一段“平坦區(qū)”。Minn算法[9]將訓(xùn)練序列分為4部分，盡管該算法解決了“平坦區(qū)”的問(wèn)題，但在定時(shí)估計(jì)曲線中存在一系列副峰，這會(huì)影響OFDM 系統(tǒng)的精確同步。Park[10]利用共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)提出一種新的算法，該算法的定時(shí)估計(jì)曲線在正確同步點(diǎn)有一個(gè)尖銳的峰值，同步較為準(zhǔn)確，但副峰的存在仍可能會(huì)影響系統(tǒng)的正確同步。Schmidl、Minn和Park算法的訓(xùn)練序列均采用相關(guān)性較差的PN序列，而互補(bǔ)序列因具有良好的相關(guān)特性引起學(xué)者們的關(guān)注[11]。相比較于MPSK Golay 互補(bǔ)序列而言，MQAM 序列因其優(yōu)良特性被更廣泛應(yīng)用于OFDM 系統(tǒng)中。Chong 和Tarokh[12]基于4QAM 序列，提出2 種16QAM Golay 互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法。2015 年，Zeng等[13]提出一種可將二元Golay互補(bǔ)序列直接生成16QAM Golay互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)方法。然而，目前互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)仍存在方法較少，長(zhǎng)度受限的問(wèn)題。

為提高OFDM系統(tǒng)的定時(shí)精度，本文利用相關(guān)性良好的新型互補(bǔ)序列對(duì)同步算法進(jìn)行改進(jìn)。首先，設(shè)計(jì)出一種新型16QAM Golay互補(bǔ)序列，該序列因具有良好的相關(guān)特性可以有效地應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)中；然后，利用新型互補(bǔ)序列和恒包絡(luò)零自相關(guān)（Constant Amplitude Zero Auto Correlation，CAZAC）序列提出一種同步改進(jìn)算法，該算法利用共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)，采用2組序列對(duì)原有的滑動(dòng)窗口進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)的2組窗口同時(shí)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，可很好的解決系統(tǒng)在低信噪比下對(duì)定時(shí)偏移尤為敏感的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法在低信噪比下仍可實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)同步，并且副峰對(duì)主峰的影響較小，能夠提高系統(tǒng)的定時(shí)精度。

1 新型Golay 互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)

由于OFDM 系統(tǒng)對(duì)定時(shí)偏移較為敏感，應(yīng)用相關(guān)性良好的互補(bǔ)序列可以提高系統(tǒng)的定時(shí)精度。因此，本節(jié)提出一種新型16QAM Golay互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)方法，為互補(bǔ)序列在同步中的應(yīng)用提供了更多的可選序列。

1.1 Golay 互補(bǔ)序列的定義

Golay[14]在1961年首次定義了Golay互補(bǔ)序列，通常采用自相關(guān)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行表征，定義如下：

定義1設(shè)序列u=(u0,u1,…,un-1)，其非周期自相關(guān)函數(shù)為

則稱(u0,u1)為Golay互補(bǔ)序列對(duì)。

基于上述Golay互補(bǔ)序列對(duì)的思想，Tseng[15]提出Golay互補(bǔ)序列集，定義如下。

定義3若有m個(gè)長(zhǎng)為n的序列(u0,u1,…,um-1)滿足：

則稱(u0,u1,…,um-1)構(gòu)成一組Golay互補(bǔ)序列集。

1.2 新型16QAM Golay 互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法

首先，定義一組通過(guò)二元序列u0,u1得到十六元序列v0,v1,v2,v3的新型映射方法，如下：

新型16QAM Golay互補(bǔ)序列構(gòu)造步驟如下：

步驟2利用式（4）所定義的新型映射關(guān)系，將序列(u0,u1)進(jìn)行變換，可得到一組n長(zhǎng)16QAM序列集(v0,v1,v2,v3)。

步驟3通過(guò)級(jí)聯(lián)將(v0,v1,v2,v3)擴(kuò)展成長(zhǎng)度為2n的序列集(w0,w1,w2,w3)，如下：

定理1如果存在一組n長(zhǎng)二元Golay互補(bǔ)序列(u0,u1)，通過(guò)式（4）變換得到序列(v0,v1,v2,v3)，則該組序列(v0,v1,v2,v3)為Golay互補(bǔ)序列。

證明：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)定義，

因此，

已知(u0,u1)為一組Golay互補(bǔ)序列，根據(jù)該序列自相關(guān)性質(zhì)，可得

所以，

綜上，(v0,v1,v2,v3)為Golay互補(bǔ)序列。

定理2若有一組n長(zhǎng)Golay 互補(bǔ)序列(v0,v1,v2,v3)，則其通過(guò)式（6）的級(jí)聯(lián)方法所得到的序列(w0,w1,w2,w3)也為Golay互補(bǔ)序列。

證明：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)定義，

同理可得，

因此，

已證(v0,v1,v2,v3)為Golay互補(bǔ)序列，根據(jù)定義3可知：

因此，序列(w0,w1,w2,w3)為一組Golay互補(bǔ)序列。

證明：根據(jù)序列的自相關(guān)特性，

因此，推論成立。

表1對(duì)比了部分Golay互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法?，F(xiàn)有的一些構(gòu)造方法所設(shè)計(jì)的序列長(zhǎng)度受限，僅能得到單一長(zhǎng)度的序列，而本節(jié)提出的Golay 互補(bǔ)序列長(zhǎng)度可根據(jù)初始序列長(zhǎng)度和級(jí)聯(lián)次數(shù)的不同，靈活得到多種可選序列。例如：若想得到長(zhǎng)為16 的Golay 互補(bǔ)序列，利用本節(jié)提出的設(shè)計(jì)方法，可通過(guò)選取初始序列長(zhǎng)度分別為2、4、8 的序列，并對(duì)應(yīng)級(jí)聯(lián)3、2、1 次的3種方法生成。另外，若想得到非2次冪長(zhǎng)度的Golay互補(bǔ)序列，只需選取長(zhǎng)度為非2次冪的初始序列并結(jié)合級(jí)聯(lián)就可生成。

表1 Golay 互補(bǔ)序列構(gòu)造方法對(duì)比Tab.1 Comparison of construction methods of Golay complementary sequences

1.3 構(gòu)造實(shí)例

選取長(zhǎng)度為4 的二元Golay 互補(bǔ)序列對(duì)(u0,u1)，如下：

由式（4），可構(gòu)造長(zhǎng)為4的16QAM Golay互補(bǔ)序列(v0,v1,v2,v3)：

利用推論中的方法，將(v0,v1,v2,v3)級(jí)聯(lián)2次后，可得到長(zhǎng)為16的16QAM Golay互補(bǔ)序列

圖1 星座圖Fig.1 Constellation of sequence

2 新型互補(bǔ)序列在同步技術(shù)中的應(yīng)用

由于OFDM 系統(tǒng)在低信噪比下對(duì)定時(shí)偏移更為敏感，本節(jié)通過(guò)對(duì)訓(xùn)練序列結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，利用新型16QAM Golay互補(bǔ)序列和CAZAC序列對(duì)滑動(dòng)窗口進(jìn)行改進(jìn)，提出一種改進(jìn)同步算法。

2.1 OFDM 系統(tǒng)同步原理

在含有N個(gè)子載波OFDM 系統(tǒng)中，信號(hào)采樣值為[19]

圖2 序列自相關(guān)特性Fig.2 Subsequence Autocorrelation Properties

式中：xn表示在第n個(gè)子載波上的傳輸信號(hào)；k為采樣點(diǎn)。

若信號(hào)在接收端完成精準(zhǔn)采樣，則接收端的第k個(gè)采樣值為

式中：θ為符號(hào)定時(shí)偏移；Δfc為歸一化后的頻率偏移值；n(k)為第k個(gè)采樣值的加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）；接收信號(hào)y(k)由式（28）表示：

式中：L表示信道容量；h(l)為第l個(gè)信道的脈沖響應(yīng)。

基于訓(xùn)練序列的同步算法的定時(shí)度量函數(shù)M(d)可由式（29）表示：

式中：P(d)表示滑動(dòng)窗口的相關(guān)函數(shù)；R(d)表示接收機(jī)在滑動(dòng)窗口d采樣點(diǎn)時(shí)的能量。

2.2 基于新型互補(bǔ)序列和CAZAC 序列的改進(jìn)同步算法

本節(jié)提出一種基于新型互補(bǔ)序列和CAZAC 序列的改進(jìn)算法，該算法采用共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)，將訓(xùn)練序列分，4個(gè)部分：[A B*C D*]。其中，A是長(zhǎng)度為N/4的互補(bǔ)序列，序列B為A的對(duì)稱序列，C是長(zhǎng)度為N/4的CAZAC序列，序列D為C的對(duì)稱序列，符號(hào)“*”表示共軛運(yùn)算，CP表示循環(huán)前綴，具體結(jié)構(gòu)可表示為：

基于2 組不同的序列，改進(jìn)算法分別利用2 個(gè)不同的滑動(dòng)窗口進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。滑動(dòng)窗口1 設(shè)置為互補(bǔ)序列，窗口2 為CAZAC 序列，且兩窗口相距N/2。在該算法的窗口滑動(dòng)過(guò)程中，只有當(dāng)2個(gè)窗口同步點(diǎn)的相關(guān)值均為最大值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的才為正確同步點(diǎn)。為方便分析，將序列A，B*，C，D*分別表示為[a b]，[b*a*]，[c d]，[d*c*]，改進(jìn)算法的滑動(dòng)相關(guān)運(yùn)算如圖4所示：

圖4 改進(jìn)算法的滑動(dòng)相關(guān)運(yùn)算Fig.4 Sliding correlation operation of proposed algorithm

由于改進(jìn)算法利用2 個(gè)窗口進(jìn)行滑動(dòng)相關(guān)，根據(jù)訓(xùn)練序列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，該算法將2 個(gè)滑動(dòng)窗口的Pi(d)和Ri(d)分別表示為

圖3 改進(jìn)算法的訓(xùn)練序列結(jié)構(gòu)Fig.3 Training sequence structure of proposed algorithm

改進(jìn)算法的定時(shí)度量函數(shù)表示為

式中：Pi(d)表示第i個(gè)滑動(dòng)窗口的相關(guān)函數(shù)；Ri(d)表示接收機(jī)在第i個(gè)滑動(dòng)窗口d采樣點(diǎn)時(shí)的能量。

根據(jù)式（34）可知，當(dāng)2 個(gè)窗口的定時(shí)度量函數(shù)為非峰值（即Mi（d）≠1）時(shí)，根據(jù)乘法運(yùn)算的性質(zhì)，改進(jìn)算法的定時(shí)度量值接近于0，只有當(dāng)2個(gè)滑動(dòng)窗口的定時(shí)度量函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)才得到該算法定時(shí)度量函數(shù)的峰值。

改進(jìn)算法的同步點(diǎn)置于訓(xùn)練符號(hào)起始位置N/4處，故定時(shí)同步點(diǎn)的估計(jì)值為

3 仿真結(jié)果分析

利用MATLAB 對(duì)OFDM 系統(tǒng)的幾種不同算法：Schmidl 算法、Minn 算法、Park 算法以及改進(jìn)同步算法，在低信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）下的定時(shí)估計(jì)曲線和峰值比進(jìn)行仿真分析。

3.1 低信噪比下的定時(shí)估計(jì)曲線分析

圖5 表示在CP=N/4，SNR=5 dB 條件下，4 種同步算法的定時(shí)估計(jì)曲線。圖5（a）中，Schmidl 算法由循環(huán)前綴引起的“平坦區(qū)”會(huì)導(dǎo)致該算法無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確同步；Minn算法在正確同步點(diǎn)位置附近存在著幾乎與主峰等高的副峰，嚴(yán)重時(shí)，副峰值可能會(huì)超過(guò)在正確同步點(diǎn)處的主峰值，無(wú)法進(jìn)行精準(zhǔn)同步；在Park算法的定時(shí)估計(jì)曲線圖中，雖然主峰尖銳，但由于循環(huán)前綴的存在，該算法的定時(shí)估計(jì)曲線在正確同步點(diǎn)附近仍會(huì)存在多個(gè)副峰；而在圖5（b）改進(jìn)算法的定時(shí)估計(jì)曲線中，幾乎無(wú)副峰，僅在正確同步點(diǎn)處存在一個(gè)十分尖銳的峰值。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法在低SNR的情況下，主峰完全不會(huì)受到副峰的干擾，能夠?qū)崿F(xiàn)精確同步。

圖5 4 種同步算法定時(shí)估計(jì)曲線Fig.5 The Timing Estimation Curves of Four Synchronization Algorithms

3.2 峰值比分析

副峰對(duì)主峰的干擾通常是影響OFDM系統(tǒng)正確同步的最主要原因，為直觀描述這一特性，現(xiàn)將峰值比定義如下。

定義4將最高副峰幅值與主峰幅值之間的比值定義為峰值比，具體可用式（37）表示：

式中：P1表示最高副峰的幅值；Pm表示主峰的幅值。

圖6所示為4種不同的同步算法在AWGN信道，CP=N/8，不同SNR條件下仿真500次時(shí)的Pr。從圖中可發(fā)現(xiàn)，Schmidl算法、Minn算法受訓(xùn)練序列中的重復(fù)結(jié)構(gòu)以及循環(huán)前綴的影響，其Pr較高；而Park算法雖較前2種算法而言Pr有所降低，但仍明顯高于改進(jìn)算法的Pr。根據(jù)式（37）可知，Pr越高，則說(shuō)明最高副峰的幅值與主峰幅值之間差距越小，反之Pr越低，則說(shuō)明最高副峰的幅值與主峰幅值相差越大。由此可見(jiàn)，改進(jìn)算法的副峰對(duì)主峰的影響較小，有利于在OFDM系統(tǒng)中完成精準(zhǔn)同步。

圖6 4 種同步算法的峰值比Fig.6 Peak ratio of four synchronization algorithms

4 結(jié)語(yǔ)

由于OFDM系統(tǒng)對(duì)定時(shí)偏移較為敏感，互補(bǔ)序列因具有良好的相關(guān)特性可應(yīng)用于該系統(tǒng)中。同時(shí)，為解決系統(tǒng)在低信噪比下仍存在定時(shí)精度差的問(wèn)題，還需對(duì)系統(tǒng)中的同步算法進(jìn)行改進(jìn)。為此，本文首先提出一種新型16QAM Golay互補(bǔ)序列的設(shè)計(jì)方法，然后利用新型互補(bǔ)序列和CAZAC序列提出一種改進(jìn)同步算法。該算法通過(guò)對(duì)原有的滑動(dòng)窗口進(jìn)行改進(jìn)，采用2組滑動(dòng)窗口同時(shí)對(duì)2組不同的序列進(jìn)行同步，以此解決系統(tǒng)在低信噪比下對(duì)定時(shí)偏移更為敏感的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法較經(jīng)典同步算法而言，副峰對(duì)主峰的干擾較小，能夠提高系統(tǒng)的定時(shí)精度。