張力瓊

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下文中簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）修訂的重點(diǎn)是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。全文中的兩個(gè)高頻詞就是“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”和“現(xiàn)代信息技術(shù)”，它們也是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)課程開發(fā)和課堂改革的熱點(diǎn)，有對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的巨大變革作用、課程改革的引領(lǐng)作用、課堂模式更新的指導(dǎo)作用、學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步優(yōu)化的推動(dòng)作用。這對(duì)高中數(shù)學(xué)教師提出了新的要求：遵照課程標(biāo)準(zhǔn)多樣化的要求，借助技術(shù)手段的直觀形象、信息資源的豐富多樣，促成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的順利達(dá)成。這無疑就是給信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的應(yīng)用提出了更加明確的要求，進(jìn)一步奠定了學(xué)科核心素養(yǎng)在整個(gè)課程中的地位和作用，也為實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)助力教學(xué)定下基調(diào)。這兩個(gè)關(guān)鍵詞巧妙合理的結(jié)合，對(duì)實(shí)現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成提出具有可行性的措施。及時(shí)創(chuàng)設(shè)問題情境、恰當(dāng)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、適度開放學(xué)習(xí)方式、不斷健全評(píng)價(jià)體系，是教學(xué)實(shí)踐中提煉出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的有效途徑。

既然落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂的核心任務(wù)，信息技術(shù)能力是與時(shí)俱進(jìn)的數(shù)學(xué)課程推進(jìn)的必備能力之一，那么二者之間的深度融合和穩(wěn)步實(shí)施就勢(shì)在必行。當(dāng)然，融合的意義不在于簡(jiǎn)單地組合與混合，也不是牽強(qiáng)和浮夸地應(yīng)用，而是更注重內(nèi)容和方法的深層次交融，形成有效、合理的信息化教與學(xué)的環(huán)境，讓信息技術(shù)手段助推數(shù)學(xué)知識(shí)直觀表現(xiàn)，讓核心素養(yǎng)內(nèi)化成師生學(xué)科教學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力?；仡檶?shí)施教材和課堂教學(xué)的全過程，在立足教材內(nèi)容、遵循學(xué)生接受能力、堅(jiān)持課標(biāo)宗旨、追求教學(xué)高效的過程中，利用信息技術(shù)促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的途徑應(yīng)有以下幾個(gè)方面。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指對(duì)具體的數(shù)量形式、空間形式進(jìn)行抽象得出研究對(duì)象的一種素養(yǎng)。例如，常見的數(shù)學(xué)概念在學(xué)習(xí)前總覺生硬、抽象，它需要一些數(shù)量及其關(guān)系、圖形及其關(guān)系的鋪墊，通過推理、計(jì)算、觀察、對(duì)比、歸納、概括，找到特點(diǎn)和共性，提煉出恰如其分的定義條件。數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的抽象，用數(shù)學(xué)語言的方式敘述問題、用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型解決問題的一種素養(yǎng)，它也是建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問題的基本方法之一。例如，數(shù)學(xué)中的周期性和自然界周而復(fù)始的現(xiàn)象相似，如果在二者之間建立起正確的聯(lián)系，就可以將生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用數(shù)學(xué)方法巧妙解決問題。比如，可以利用海水的潮汐規(guī)律合理安排輪船班次，利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)穩(wěn)定生產(chǎn)等。

單從“數(shù)學(xué)抽象”和“數(shù)學(xué)建?！钡母拍畋憧煽闯?，這兩種素養(yǎng)相依相生，能充分體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題解決過程中數(shù)學(xué)與關(guān)聯(lián)學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。但由于需要建模的實(shí)際問題往往文字過長(zhǎng)，雖源于生活、生產(chǎn)卻遠(yuǎn)離學(xué)生的知識(shí)和認(rèn)識(shí)。因此，利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，可以讓實(shí)際問題鮮活、直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，便于理解，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生抽象能力的形成和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升。

例如，線性規(guī)劃就是一類需要數(shù)學(xué)建模解決的問題，是典型的優(yōu)化的具體模型之一。教學(xué)時(shí)，針對(duì)學(xué)生在建模中的主要障礙以及題目本身冗長(zhǎng)等因素，教師將本節(jié)設(shè)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，創(chuàng)設(shè)學(xué)生易于身臨其境的問題情境，抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以便直觀、生動(dòng)地揭示可行域以及平移直線的動(dòng)態(tài)變化情況，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到問題解決過程的可視化和連續(xù)性，從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強(qiáng)了教學(xué)的條理性、形象性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到進(jìn)一步的提升，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有了更好地發(fā)展。以教材上的題目例6為例：

“要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，第一種鋼板和第二種鋼板分別可以截成三種規(guī)格的小鋼板塊數(shù)為：2、1、1和1、2、3。今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問應(yīng)各截這兩種鋼板多少?gòu)?，且使用張?shù)最少？”

具體分析為：生產(chǎn)任務(wù)中提供原料兩種、產(chǎn)出產(chǎn)品三種→原料數(shù)量未知、產(chǎn)品數(shù)量已知→設(shè)出未知數(shù)兩個(gè)、三種產(chǎn)品數(shù)量可以列式表示→確定已知量和未知量之間的關(guān)系，得到線性約束條件。

建模過程為：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即設(shè)定未知數(shù)，找準(zhǔn)關(guān)系詞，得出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù);其次，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解即畫出可行域，求目標(biāo)函數(shù)取得最值的解（這一步驟的實(shí)現(xiàn)要借助幾何畫板，體現(xiàn)了準(zhǔn)確、快速、清晰、對(duì)比性強(qiáng)、容量大的優(yōu)點(diǎn)）;最后，用平移法求得實(shí)際問題的最優(yōu)解，即根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的最優(yōu)正整數(shù)解（這里幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示可以使平移過程鮮活、靈動(dòng)，同時(shí)結(jié)合網(wǎng)格線讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型最優(yōu)解和實(shí)際問題的最優(yōu)解之間的關(guān)系）。

二、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成數(shù)據(jù)分析能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

核心素養(yǎng)中的數(shù)據(jù)分析是指獲取研究對(duì)象的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，選用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理、分析、推證，得出有關(guān)研究對(duì)象的特性的一種素養(yǎng)。而數(shù)學(xué)運(yùn)算則是針對(duì)確定的運(yùn)算對(duì)象，應(yīng)用運(yùn)算法則解決問題的一種素養(yǎng)。數(shù)據(jù)是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要載體，它承載著代數(shù)量、幾何量以及生活生產(chǎn)中的量的大小、位置，反映著量與量之間的關(guān)系。而數(shù)學(xué)運(yùn)算則是確保數(shù)據(jù)分析結(jié)論準(zhǔn)確無誤的保障，優(yōu)化的運(yùn)算方法和技能可以大幅提高解決問題的速度。同時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算更是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)方法的根本，運(yùn)算中更要懂得“失之毫厘謬以千里”的代價(jià)。因此，嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)格的演繹推理、一絲不茍的治學(xué)態(tài)度是促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展、形成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基本要求。

數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩方面的素養(yǎng)在呂世虎、吳振英兩位老師構(gòu)建的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔”中歸到問題解決層，它有承上啟下的功能性和不可低估的學(xué)科價(jià)值和育人價(jià)值。也就是說，數(shù)據(jù)分析是明晰題意之后做出正確解答的依據(jù)，是形成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度的素材，是數(shù)學(xué)表述和交流的練習(xí)方式。數(shù)學(xué)運(yùn)算在問題解決的全程保駕護(hù)航，既要依據(jù)算理提供思路和方法，又要體現(xiàn)“雙基層”的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和技能素養(yǎng)。那么，教師如何培養(yǎng)和實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)呢？

教師以新課標(biāo)為依據(jù)，新課標(biāo)增加的觀念之一就是要數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)、通用技術(shù)一樣，承擔(dān)起物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)處理、人工智能等內(nèi)容的滲透與介紹，并將這一內(nèi)容作為數(shù)學(xué)課程的技能之一。這正是對(duì)學(xué)習(xí)工具的多樣化要求和學(xué)習(xí)方式的變革，借機(jī)將“紙和筆”擴(kuò)展為科學(xué)性計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教學(xué)技術(shù)平臺(tái)的探索和嘗試。

“統(tǒng)計(jì)與概率”這一知識(shí)版塊數(shù)據(jù)多、信息量大、計(jì)算任務(wù)繁重，涵蓋了大量需要處理的數(shù)據(jù)信息，無疑是對(duì)數(shù)據(jù)處理能力的高要求，也是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的挑戰(zhàn)。再加上近幾年的高考中全國(guó)數(shù)學(xué)卷已經(jīng)加大了這兩個(gè)方面的大力度考查，如近年在全國(guó)高考二卷的解答題中就考察到了線性回歸問題。這無疑是對(duì)純數(shù)學(xué)運(yùn)算限時(shí)完成能力的進(jìn)一步要求，那么平時(shí)課程學(xué)習(xí)中如何訓(xùn)練相關(guān)知識(shí)的理解和方法的形成呢？

第一，教師要掌握設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)的技能。善于挖掘教材的潛在價(jià)值，把隱形的數(shù)學(xué)問題顯性化，把抽象問題具體化，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，把一些令學(xué)生頭疼的數(shù)學(xué)過程規(guī)劃成數(shù)學(xué)活動(dòng)，淡化數(shù)學(xué)本身的枯燥和抽象，變繁雜的機(jī)械運(yùn)算過程為技能操作，從心理和形式上為學(xué)生減負(fù)，提高重點(diǎn)知識(shí)的可接受程度。例如，在線性回歸問題的學(xué)習(xí)中，從畫散點(diǎn)圖、確定回歸模型、最小二乘法計(jì)算回歸直線方程到回歸模型的有效性的確定，有大量的畫圖和計(jì)算任務(wù)，這些復(fù)雜程度幾乎喧賓奪主地掩蓋了教材的真正學(xué)習(xí)目標(biāo)。因此教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)利用最小二乘法的原理，通過Excel軟件或者計(jì)算器操作，方便快捷地求出回歸方程。這樣才能把很大篇幅介紹清楚，把很長(zhǎng)時(shí)間才能完成的線性相關(guān)問題用現(xiàn)代信息技術(shù)代替，不只是贏得了時(shí)間，確保了作圖的快速準(zhǔn)確性、計(jì)算的高效性，更是對(duì)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教與學(xué)中的能動(dòng)作用的凸顯。

第二，教師要培養(yǎng)學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力。授人以魚，不如授之以漁，教師要利用學(xué)生課內(nèi)外活動(dòng)興趣，調(diào)動(dòng)他們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，發(fā)揮自主學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。教材中統(tǒng)計(jì)部分的數(shù)據(jù)分析要求和數(shù)學(xué)運(yùn)算量是比較集中且與今后的生活生產(chǎn)直接相關(guān)的，教師如何應(yīng)對(duì)如此大量的數(shù)據(jù)，并培養(yǎng)讓學(xué)生受益終身的處理能力呢？不妨結(jié)合青少年熱衷的籃球運(yùn)動(dòng)和信息技術(shù)手段，提出選拔籃球隊(duì)成員的線上模擬活動(dòng)。由學(xué)生自己設(shè)計(jì)方案，對(duì)參加者進(jìn)行平均水平、穩(wěn)定性、集中性等幾個(gè)方面的評(píng)定，得出結(jié)論，并在活動(dòng)結(jié)束后由數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)各個(gè)設(shè)計(jì)方案給予評(píng)價(jià)，將有價(jià)值的研究結(jié)果推廣。這一形式不僅讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，也讓他們找到了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和信息技術(shù)的契合點(diǎn)。

三、開放學(xué)習(xí)方式，建立直觀想象素養(yǎng)，提高邏輯推理素養(yǎng)

“直觀想象素養(yǎng)”是指憑借幾何直觀圖形和空間想象能力感知事物的外在與變化，利用以圖形為主的空間形式，理解并解決數(shù)學(xué)問題的一種素養(yǎng)。邏輯推理則是從已知的條件和命題出發(fā)，依據(jù)法則、定理等規(guī)則推出新命題的一種素養(yǎng)。在信息多元化的今天，課程物質(zhì)載體不再限于紙質(zhì)資料，一些軟件、多媒體網(wǎng)絡(luò)也作為重要的載體紛紛涌現(xiàn)，它們?cè)谔囟ǖ闹R(shí)版塊和學(xué)習(xí)階段中有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。這給數(shù)學(xué)課程帶來了多樣化的學(xué)習(xí)方式，為提高效率、跨越時(shí)空增加了更多的途徑和可能性，將逐步實(shí)現(xiàn)優(yōu)秀教學(xué)資源的共享。

（一）軟件的使用。

學(xué)生對(duì)幾何問題的解決往往會(huì)局限于對(duì)圖形，尤其是圖形中各元素間相互關(guān)系的正確認(rèn)識(shí)，而陷于盲目、甚至錯(cuò)誤的分析和推理中，其中以立體幾何尤為突出。為了從學(xué)習(xí)最初期就形成空間想象能力，教師務(wù)必盡早培養(yǎng)學(xué)生的空間感、立體感。這一素養(yǎng)除了與生俱來的或是生活環(huán)境給予的部分外，更多需要學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中養(yǎng)成，所以學(xué)習(xí)之初通過圖形建立學(xué)生的空間直觀感覺，積累對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)更是教學(xué)過程的重中之重。當(dāng)單純的直觀圖形無法表現(xiàn)突出的時(shí)候，一些軟件會(huì)給學(xué)生更加直觀、真實(shí)的視覺印象。比如，幾何畫板、英壬畫板等。其中英壬畫板可讓幾何體360度全方位無死角地旋轉(zhuǎn)，上下左右地拖動(dòng)觀察，能替代一個(gè)實(shí)體教具的直觀性和真實(shí)性。比如，英壬畫板在幾何體的切割以及球體與正方體、四面體的多種組合體的觀察和應(yīng)用中有著隨心所欲的變換和呈現(xiàn)方式，讓幾何體的內(nèi)外元素、關(guān)系一覽無余，克服了幾何體直觀圖的局限性，建立了學(xué)生正確的圖形認(rèn)識(shí)，積累了印象深刻的直觀想象經(jīng)驗(yàn)。這對(duì)直觀想象素養(yǎng)的形成以及進(jìn)一步的邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了真實(shí)的素材、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在作圖的過程也提供了圖形形成的要件和步驟，這給邏輯推理提供了依據(jù)。

（二）多媒體網(wǎng)絡(luò)的使用

如今信息化的時(shí)代提倡資源共享，發(fā)達(dá)地區(qū)的優(yōu)秀資源、優(yōu)秀教師的品牌課程都可以跨越時(shí)空地提供學(xué)習(xí)和借鑒，例如網(wǎng)絡(luò)課程、微課、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)等，都可以提供學(xué)生針對(duì)性的學(xué)習(xí)需要，把課堂概念廣義化，讓學(xué)習(xí)和請(qǐng)教問題不受時(shí)間、地點(diǎn)、人物的限制。

四、健全評(píng)價(jià)體系，全面提升數(shù)學(xué)能力，鞏固學(xué)科核心素養(yǎng)

學(xué)科核心素養(yǎng)既是課程目標(biāo)要求又是教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一，那么如何進(jìn)一步提升學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮教育價(jià)值，判斷學(xué)生在熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的不同數(shù)學(xué)情境中核心素養(yǎng)的達(dá)成狀況？這需要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)評(píng)價(jià)的形式、方式，把核心素養(yǎng)的養(yǎng)成評(píng)價(jià)和知識(shí)技能水平評(píng)價(jià)有機(jī)融合，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的綜合要求。

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，及時(shí)補(bǔ)充時(shí)代性的新元素;評(píng)價(jià)工具需日新月異，吸納現(xiàn)代化信息手段;評(píng)價(jià)體系要日益完善，符合課程標(biāo)準(zhǔn)的更新速度和節(jié)奏。

首先，教師教學(xué)的評(píng)價(jià)要以學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成狀況作為基本要素之一，促使教師創(chuàng)設(shè)合理教學(xué)情境，提出恰當(dāng)數(shù)學(xué)問題。選擇有效的評(píng)價(jià)工具考量教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題的融合度，評(píng)定是否利于體現(xiàn)核心素養(yǎng)，是否利于促成核心素養(yǎng)水平的分級(jí)達(dá)成。其次，評(píng)價(jià)工具的選擇要關(guān)注知識(shí)技能的難度，重視六個(gè)素養(yǎng)的分布，突出核心概念和解法的通性通解，聚焦它們承載的數(shù)學(xué)學(xué)科的不同核心素養(yǎng)。比如，大數(shù)據(jù)、智能化的一些手段便于評(píng)價(jià)的多元化、多樣化、高效化，于是就能實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)體系更加科學(xué)化、智能化，多一些客觀性、準(zhǔn)確性，使評(píng)價(jià)具有持續(xù)性、長(zhǎng)效性，這樣既能促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，又能給予學(xué)生發(fā)展的指導(dǎo)和可行性建議。

以上即為筆者學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的點(diǎn)滴收獲，是筆者對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)及二者關(guān)系的理解和解讀，旨在拋磚引玉，提倡教師盡早進(jìn)入到學(xué)習(xí)新課標(biāo)新大綱的隊(duì)伍中，成為普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的推廣人、踐行者和遵守者。

注：本文為甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度一般課題“現(xiàn)代信息技術(shù)促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的策略研究”（課題編號(hào)：GS[2020]GHB2247）研究成果。

（宋行軍）