孫保華

【摘? ?要】當(dāng)學(xué)生憑借數(shù)學(xué)的直覺思維提出各種猜想后，教師應(yīng)該引導(dǎo)他們小心求證。不僅要讓他們猜想“是什么”，更要引導(dǎo)他們驗(yàn)證“為什么”。因此在教學(xué)中教師要讓學(xué)生合理提出猜想，突出驗(yàn)證的環(huán)節(jié)，并根據(jù)不同的知識(shí)類型，尋求多種驗(yàn)證方法，學(xué)會(huì)理性思考。

【關(guān)鍵詞】拓展;驗(yàn)證;方法;理性;思考

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說(shuō)：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實(shí)。”因此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生提出猜想并積極驗(yàn)證，增強(qiáng)主動(dòng)探究、獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。在實(shí)際教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)嘗試從不同的角度，拓展驗(yàn)證的方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

一、片面與全面——取長(zhǎng)補(bǔ)短

小學(xué)數(shù)學(xué)中有歸納數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)。教學(xué)中，教師通常會(huì)先呈現(xiàn)幾個(gè)具體例子讓學(xué)生進(jìn)行猜想，再讓學(xué)生自主舉幾個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證。如果學(xué)生舉的例子可能導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)論，那么教師有必要對(duì)這種枚舉驗(yàn)證進(jìn)行優(yōu)化。在枚舉驗(yàn)證時(shí)，要考慮的不在于例子的個(gè)數(shù)，而在于例子的類型。因此在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生全面地思考問題，驗(yàn)證時(shí)要從多種類型、多個(gè)角度來(lái)舉例子，說(shuō)明猜想的正確性。請(qǐng)看以下教學(xué)片段。

在教學(xué)完乘法口訣后，教師出示如下三組不等式。

3×7>3+7? ? ?3×8>3+8? ? 3×9>3+9

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這三組不等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)3×7的積21大于3+7的和10。

生：我發(fā)現(xiàn)3×9的積27大于3+9的和12。

生：從這三個(gè)不等式中我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的乘積大于這兩個(gè)數(shù)的和。

師：大家都有一雙會(huì)發(fā)現(xiàn)的眼睛。是的，在這兒兩數(shù)之積大于這兩個(gè)數(shù)之和。請(qǐng)大家再舉例驗(yàn)證一下。

生：5×6>5+6，5×7>5+7，5×8>5+8。

生：4×5>4+5，4×8>4+8，4×9>4+9。

……

很多教師一般教學(xué)到此為止，不再引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考。這里學(xué)生舉的例子只是一些同類型的不等式，那么其他有關(guān)的不等式是否也有這樣的規(guī)律呢？因此在學(xué)生枚舉驗(yàn)證時(shí)，教師要及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)與糾正，要強(qiáng)調(diào)例子的類型，而不只是盲目地舉例。

師：這個(gè)猜想正確嗎？這里只是列舉了一些同類型的不等式。同學(xué)們可以再舉一些與特殊數(shù)相關(guān)的不等式，如與0、1、2有關(guān)的不等式來(lái)驗(yàn)證我們提出的猜想。

生：0×7<0+7，0×9<0+9，0×6<0+6，我發(fā)現(xiàn)與0有關(guān)的不等式兩數(shù)之積小于兩數(shù)之和，與我們剛才的猜想正好相反。

生：1×5<1+5，1×7<1+7，1×8<1+8，我發(fā)現(xiàn)與1有關(guān)的不等式兩數(shù)之積小于兩數(shù)之和，與我們剛才的猜想也正好相反。

生：2×1<2+1，2×2=2+2，2×3>2+3，2×4>2+4……我發(fā)現(xiàn)與2有關(guān)的不等式，另一個(gè)乘數(shù)等于1時(shí)兩數(shù)之積小于兩數(shù)之和，另一個(gè)乘數(shù)等于2時(shí)兩數(shù)之積與兩數(shù)之和相等，另一個(gè)乘數(shù)是3時(shí)兩數(shù)之積大于兩數(shù)之和。

師：通過(guò)進(jìn)一步舉例，你們認(rèn)為我們剛才的猜想還正確嗎？看來(lái)，舉例子驗(yàn)證的時(shí)候，要找不同類型的例子。

當(dāng)學(xué)生只舉出一些同類型的例子時(shí)，教師要及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如當(dāng)學(xué)生舉出與0、1有關(guān)的不等式時(shí)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律與之前的猜想正好相反;當(dāng)學(xué)生舉出與2有關(guān)的不等式時(shí)，發(fā)現(xiàn)有三種不同的情況。通過(guò)這樣的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)舉例需要全面考慮，要舉出不同的類型，甚至發(fā)現(xiàn)只要舉出一個(gè)反例就能推翻之前的猜想。

二、枚舉與推理——相輔相成

在枚舉驗(yàn)證過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生全面地思考問題，要從多種類型、多個(gè)角度來(lái)進(jìn)行分類舉例，同時(shí)所舉的例子要具有一定的代表性和典型性。如此仍不能保證前期的猜想一定是正確的。因此教師可以引領(lǐng)學(xué)生向推理驗(yàn)證轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生經(jīng)歷推理過(guò)程，進(jìn)一步來(lái)驗(yàn)證猜想的可靠性，提升學(xué)生思維的深刻性。

例如，蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律和結(jié)合律”的教學(xué)。

生：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變。

師：這只是一個(gè)猜想，那么這個(gè)猜想到底對(duì)不對(duì)呢？還需要我們進(jìn)一步驗(yàn)證。你們認(rèn)為可以怎樣進(jìn)行驗(yàn)證？

生：再舉一些例子，看是不是都符合“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的規(guī)律。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谘芯繂紊显賹懭齻€(gè)這樣的等式。想一想這樣的等式有怎樣的規(guī)律。

生：3+5=5+3，24+27=27+24，126+213=213+126。

生：0+15=15+0，13+1=1+13，1+0=0+1。

生：0.6+0.2=0.2+0.6，0.3+0.5=0.5+0.3，0.4+0.3=0.3+0.4。

生：2/7+3/7=3/7+2/7，2/5+1/5=1/5+2/5，1/3+2/3=2/3+1/3。

……

生：我發(fā)現(xiàn)不管是整數(shù)，還是小數(shù)和分?jǐn)?shù)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置，它們的和都不變。

師：瞧，這些同學(xué)舉的例子可真豐富，有整數(shù)的例子，有小數(shù)和分?jǐn)?shù)的例子，還有與0有關(guān)的例子，它們相加的和都不變。這樣的例子能列舉得完嗎？

生：不能。

師：有哪位同學(xué)找到交換兩個(gè)加數(shù)的位置之后和不相等的例子嗎？

生：沒有。

師：同學(xué)們舉的例子各不相同，但得到的規(guī)律是一致的。其實(shí)，我們也可以用線段圖來(lái)表示加法交換律。

（教師出示線段圖，如圖1）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)示意圖表示的意思？

生：第一條長(zhǎng)線段可以用a+b表示，交換a、b兩條線段的位置，第二條長(zhǎng)線段可以表示為b+a。

生：交換位置以后這兩條長(zhǎng)線段的總長(zhǎng)度沒有變化。也就是交換兩個(gè)加數(shù)的位置，它們的和不變。

當(dāng)學(xué)生提出猜想后，教師及時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證。學(xué)生舉出的例子有整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，還有與0有關(guān)的特殊例子，分類舉出一些例子且具有一定的代表性。同時(shí)學(xué)生舉不出反例。教師并沒有滿足于此，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行推理驗(yàn)證，這種從特殊例子到一般表達(dá)進(jìn)一步確保了猜想的正確性，促進(jìn)了學(xué)生思考問題的完整性。

三、操作與推理——相得益彰

雖然學(xué)生可以通過(guò)操作，在具體感知和直接觀察中驗(yàn)證猜想，但測(cè)量、撕拼、折拼等操作實(shí)驗(yàn)不可避免地會(huì)存在誤差，這是操作驗(yàn)證的局限性。如何彌補(bǔ)這種局限性？教師應(yīng)該尋求更嚴(yán)密更科學(xué)的驗(yàn)證方法。可以把已知的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)化和推理，經(jīng)歷從操作驗(yàn)證到推理驗(yàn)證的思維跨越，提升學(xué)生思維的縝密性和深刻性。

例如，蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)。

師：請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一個(gè)直角三角形，測(cè)量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再算一算內(nèi)角和是多少。

（學(xué)生進(jìn)行測(cè)量并計(jì)算）

師：直角三角形的內(nèi)角和是多少度？

生：直角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：有沒有不是180°的？

生：我量的這個(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)和是182°。

生：我量的這個(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)和是177°。

生：測(cè)量會(huì)出現(xiàn)誤差。

師：有同學(xué)提出把直角三角形的三個(gè)角取下來(lái)合在一起，可以怎樣操作呢？

生：把三角形的三個(gè)角撕下來(lái)可以拼成一個(gè)平角，也就是180°。（邊說(shuō)邊操作）

師：三角形的三個(gè)內(nèi)角可以拼成一個(gè)平角，說(shuō)明這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°。能不能不破壞原來(lái)的三角形，直接把三個(gè)角拼在一起呢？

生：我是沿著兩條邊的中點(diǎn)折第一個(gè)角，其他兩個(gè)角的頂點(diǎn)與第一個(gè)角的頂點(diǎn)重合，正好折成一個(gè)平角，也就是180°。

生：我這個(gè)折出來(lái)角與角之間有空隙，好像比一個(gè)平角大一些。

師：剛才我們采用的折拼的驗(yàn)證方法可能存在誤差，有沒有更加嚴(yán)謹(jǐn)、巧妙的驗(yàn)證方法呢？老師這里有一張長(zhǎng)方形的紙，你能想到什么？

生：長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，四個(gè)角都是90°。

生：可以沿著長(zhǎng)方形的對(duì)角線對(duì)折，分成兩個(gè)完全相同的直角三角形。

師：真會(huì)動(dòng)腦筋，分成了兩個(gè)完全相同的直角三角形?，F(xiàn)在同學(xué)們能不能根據(jù)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和來(lái)證明直角三角形的內(nèi)角和呢？

生：因?yàn)槲覀兪前岩粋€(gè)長(zhǎng)方形平均分成了兩個(gè)完全相同的直角三角形，兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和正好等于這個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和，所以只要用90°×4÷2=180°就可以得到一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和。

師：看來(lái)通過(guò)推理也能驗(yàn)證直角三角形的內(nèi)角和是180°。

學(xué)生用量、撕、折、拼的方法探索直角三角形的內(nèi)角和，這些驗(yàn)證方法都是屬于操作層面的，存在著一定的誤差。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋求更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證方法，利用長(zhǎng)方形的特征來(lái)推導(dǎo)直角三角形的內(nèi)角和。通過(guò)這樣的推理驗(yàn)證會(huì)使結(jié)論更具一般性和科學(xué)性。

四、抽象與形象——有機(jī)結(jié)合

在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，很多教師喜歡帶領(lǐng)學(xué)生用嚴(yán)密的演繹推理來(lái)驗(yàn)證猜想。這些嚴(yán)密的演繹推理很多是全符號(hào)的，這樣的驗(yàn)證雖然短小精悍但很抽象，學(xué)生不易接受。根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教師可以對(duì)驗(yàn)證過(guò)程進(jìn)行改造，用“形象”化的演繹推理來(lái)驗(yàn)證猜想。這一驗(yàn)證過(guò)程將一些非本質(zhì)的東西進(jìn)行改造使其形象化，既保持了演繹推理中原本所蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系和相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程，又讓學(xué)生充分理解了驗(yàn)證過(guò)程，加深了對(duì)知識(shí)的理解。

例如，蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)《和與積的奇偶性》的教學(xué)。

師：奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我庹覂蓚€(gè)奇數(shù)，把它們相加，觀察結(jié)果說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：我用3+5=8，7+9=16，5+7=12，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)。

生：我用111+213=324，123+17=140，23+13=36，同樣發(fā)現(xiàn)兩個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)。

……

師：兩個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)，這只是我們的一個(gè)猜想，如何來(lái)驗(yàn)證這一猜想呢？

教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷嚴(yán)密的演繹推理，驗(yàn)證過(guò)程如下。

證明：假設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別是a=2k+1，b=2k+1，那么a+b=2k+1+2k+1=2k+2k+2=2（k+k+1），所以2（k+k+1）是一個(gè)偶數(shù)，即a加b的和是一個(gè)偶數(shù)。

這是一個(gè)嚴(yán)密的代數(shù)推理驗(yàn)證，學(xué)生需要理解奇數(shù)與偶數(shù)的代數(shù)式，還要對(duì)用字母表示的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，并通過(guò)變形后的代數(shù)式進(jìn)行奇偶性判斷。這種符號(hào)化的代數(shù)推理很有數(shù)學(xué)味，但不符合小學(xué)生的認(rèn)知水平。教師需要對(duì)驗(yàn)證過(guò)程進(jìn)行改造，將奇數(shù)與偶數(shù)的代數(shù)式表示進(jìn)行直觀化，變成讓學(xué)生能充分理解的方式，將原本抽象的代數(shù)推理過(guò)程形象化。

奇數(shù)和偶數(shù)的代數(shù)式表示用圖形來(lái)直觀化，這種“形象”化的邏輯推理，大大降低了學(xué)生理解的難度，同時(shí)也能達(dá)成一個(gè)相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

真正的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅只停留在通過(guò)歸納和類比得到猜想，更應(yīng)該在驗(yàn)證環(huán)節(jié)予以重視。如果猜想是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的風(fēng)帆，那驗(yàn)證就是輕舟前行的雙槳，只有揚(yáng)起風(fēng)帆撐起雙槳，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的海洋中暢游。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪培新.核心素養(yǎng)與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

[2]吳正憲，劉延革.發(fā)展兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力[M].北京：教育科學(xué)出版社，2017.

（江蘇省常州市金壇華城實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?213200）