陶平 鄒成文 王天瑞

（①武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081；②武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081）

現(xiàn)代工業(yè)中，多機器人協(xié)作系統(tǒng)具有更高的自由度、較大負載能力和靈活操作方式，可以完成更加復(fù)雜的任務(wù)。多機器人協(xié)作系統(tǒng)的運動靈活性反映了協(xié)作系統(tǒng)整體協(xié)調(diào)操作的運動能力，其機械臂的協(xié)調(diào)運動靈活性直接影響協(xié)作系統(tǒng)的整體運動性能[1]。

目前國內(nèi)外學(xué)者對機械臂的靈活性進行了大量的研究，李憲華[2]采用基于雅克比SVD可操作度的指標，評估了單機械臂的操作能力。符曉[3]利用雅克比矩陣條件數(shù)，求出6R機器人在工作空間內(nèi)各處的奇異度，并將其可視化。孫青[4]針對雙臂6R服務(wù)機器人，進行了靈活性分析，研究了雙臂在協(xié)調(diào)操作過程中的奇異性和靈活性。潘建龍[5]闡述了多機器人協(xié)作時可操作度的定義，對多機器人焊接系統(tǒng)進行了最優(yōu)軌跡的規(guī)劃。Paul R P等[6]針對非冗余度機器人的運動特點，采用雅可比矩陣的行列式分析出腕關(guān)節(jié)的位姿。Yang D C H等[7]對機器人條件數(shù)進行了定義，Angeles J等[8]將條件數(shù)作為機器人靈活性的評價指標，并將這一指標用來分析機器人動力學(xué)性能。當前，多機器人協(xié)作大多集中在雙機器人協(xié)作的研究上，國內(nèi)對多機器人協(xié)調(diào)操作的靈活性研究較少。

基于以上分析，本文針對多機器人系統(tǒng)在工業(yè)應(yīng)用中的運動特征，選用可操作度為機器人靈活性評價指標，并根據(jù)該指標的定義分析得到多機器人系統(tǒng)整體可操作度的數(shù)學(xué)評價模型。同時提出了一種求取機器人在單位節(jié)點多姿態(tài)下的加權(quán)可操作度數(shù)值的算法，采用該算法計算多機器人系統(tǒng)在協(xié)作空間內(nèi)的整體可操作度，并將多機器人系統(tǒng)的靈活性可視化表達出來，由此得到靈活性較高的區(qū)域，為以后的多機器人協(xié)調(diào)運動的軌跡規(guī)劃打下基礎(chǔ)。

1 多機器人系統(tǒng)模型

1.1 運動學(xué)分析

以3個六自由度的IRB1410機器人組成的多機器人焊接系統(tǒng)為研究對象。在該系統(tǒng)中，其中2個機器人1和2起搬運作用，將工件夾持到工作空間中，而焊接機器人3則對工件進行焊接操作，多機器人協(xié)作焊接系統(tǒng)圖如圖1所示。

圖1 多機器人協(xié)作系統(tǒng)示意圖

多機器人協(xié)作系統(tǒng)進行作業(yè)時，各機器人的基座位置固定，其相對位置始終不變，即{B1}、{B2}、{B3}固定，機器人基坐標系到世界坐標系{W}的齊次變換矩陣是一個定值。作業(yè)中，2個搬運機器人1和2夾持工件，兩搬運機器人之間的運動關(guān)系存在緊協(xié)調(diào)運動關(guān)系；焊接機器人3進行焊接時，它與搬運機器人之間的運動關(guān)系是松協(xié)調(diào)運動關(guān)系，其協(xié)調(diào)關(guān)系如下：

（1）緊協(xié)調(diào)：兩搬運機器人搬運工件時存在，在該過程中，兩機器人之間無相對運動，相對位姿保持不變，速度保持同步，滿足關(guān)系

式中：x1、x2分別表示兩搬運機器人的末端位姿向量；U表示兩個搬運機器人之間的齊次變換矩陣。

（2）松協(xié)調(diào)：存在于焊接機器人與搬運機器人之間，滿足關(guān)系

式中：x3表示焊接機器人的末端位姿向量；α(t)表示搬運機器人與焊接機器人還存在相對運動，為時變向量。

1.2 協(xié)作空間分析

對其中的焊接機器人建立D-H坐標系，如圖2所示。由此得到D-H坐標參數(shù)，如表1所示。表1中，θi為第i個關(guān)節(jié)的角度值，di為相鄰關(guān)鍵之間的桿件長度，ai為相鄰關(guān)節(jié)之間的桿件偏移量，αi為相鄰坐標系之間的扭轉(zhuǎn)角。同理，2個搬運機器人的D-H坐標建立方法同上，在此不再贅述。

圖2 焊接機械臂D-H坐標系

表1 焊接機器人連桿D-H參數(shù)

利用Robotics工具箱，搭建多機器人協(xié)作系統(tǒng)模型的仿真平臺，如圖3所示。圖3中，兩搬運機械臂和焊接機械臂的基座坐標分別為(?1,?1,0)、(1,?1,0)、(0,1,0)。

圖3 多機器人協(xié)作系統(tǒng)模型

圖2中，d1=475mm，d4=720mm，d6=85mm，a1=150mm，a2=600mm，a3=120mm。

相鄰兩連桿之間的齊次坐標變換矩陣為

式中：cθi表示cosθi；cαi表示cosαi；sθi表示sinθi；sαi表示sinαi。

結(jié)合機械臂的正運動學(xué)方程、表1的參數(shù)和上面的公式，利用蒙特卡羅法，可以得到焊接機器人的工作空間，同理也可得到2個搬運機器人各自的工作空間，由3個機器人工作空間的交集得到協(xié)作空間的范圍，如圖4所示。

圖4 協(xié)作空間點云圖

2 多機器人靈活性評價

機器人運動靈活性評價指標，主要有條件數(shù)、可操作度及各向同性指標等，其中可操作度、條件數(shù)和最小奇異值是比較經(jīng)典的3個靈活性評價指標[2]?？刹僮鞫茸鳛楹饬繖C器人靈活性的重要指標之一，被廣泛運用機器人尺寸優(yōu)化、運動性能優(yōu)化等各個方面，用來改善機器人的傳輸性能，從而提高工作效率[9?10]。

本文選取可操作度作為機器人執(zhí)行任務(wù)時的靈活性評價指標。

2.1 機器人可操作度定義

可操作度定義為機器人對任意改變末端執(zhí)行器位置和方向的能力，是一個非常重要的評價指標?？刹僮鞫仍酱螅瑱C器人從關(guān)節(jié)空間到工作空間運動的轉(zhuǎn)換能力就越強，靈活程度越好。

雅可比矩陣表示了機器人運動時自關(guān)節(jié)空間到操作空間的運動速度的傳遞關(guān)系，可得

式中：x為操作空間的坐標，x∈Rm,Rank(J(q))≤m，x˙為操作空間的速度；q為關(guān)節(jié)空間坐標，q∈Rn；q˙為關(guān)節(jié)空間的速度；J(q)為雅克比矩陣，J(q)∈Rm×n。

機器人可操作度的定義為

可操作度的大小表現(xiàn)了機器人在操作空間中各個方向傳遞速度的能力，根據(jù)可操作度的定義可知，當可操作度ω=0時，J(q)=0，機器人瞬時位于奇異位形。

2.2 多機器人可操作度

在多機器人協(xié)作工作時，協(xié)作系統(tǒng)靈活性反映了其整體的傳力和傳速性能。在協(xié)作系統(tǒng)中，存在緊協(xié)調(diào)和松協(xié)調(diào)兩種不同的協(xié)作關(guān)系，在計算可操作度時，先分別計算各自的可操作度，再計算協(xié)作系統(tǒng)的可操作度。

兩搬運機器人滿足緊協(xié)調(diào)關(guān)系時，兩機器人之間的運動可描述為

式中：J(q)1、J(q)2分別為兩搬運機器人的雅克比矩陣。

由此，得到兩搬運機器人的可操作度Mt的定義為

焊接機器人與搬運機器人之間的運動關(guān)系為松協(xié)調(diào)，需要單獨計算它的可操作度。

綜合上述考慮，得到多機器人協(xié)作時的可操作度MMR為

式中：α1為兩搬運機器人的靈活性系數(shù)，α2為焊接機器人的靈活性系數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)中所有機器人可操作度橢球的體積交集大小占各個橢球體積的比值，可確定出α1和α2；Mt為兩搬運機器人的可操作度；Ml為焊接機器人可操作度。

3 多機器人協(xié)作空間靈活性分析

機器人的工作空間分為可達空間和靈巧空間。其中，可達空間即為機器人可以到達的所有點構(gòu)成的空間；而靈巧空間為機器人以任意姿態(tài)能到達的點所構(gòu)成的空間。機器人的奇異點指在工作空間中，由于機器人位于一些特殊位姿（如軸線相交或者平行等）關(guān)系時，機器人喪失1個或者多個自由度,導(dǎo)致機器人在某個方向上傳遞速度為0，即機器人在此時處于卡死狀態(tài)。根據(jù)前文的分析，當機器人處于奇異位形時，可操作度ω=0，可以得到此時機器人的雅可比矩陣J(q)=0，由矩陣的定義可知，Rank(J(q))

本文的研究中，將每個轉(zhuǎn)角分為11份，步長為0.2π，可以得到對應(yīng)的位姿矩陣，根據(jù)算法可以計算出對應(yīng)點的可操作度。本文首先分析了焊接機器人在工作空間內(nèi)的可操作度，考慮到在z=0.69m的平面上，其工作空間面積最大，給出該平面內(nèi)焊接機器人的可操作度分布情況，如圖5所示。圖5中，對該平面的x軸和y軸等間距劃分為21等份，所取得的樣本工作點共441個。利用網(wǎng)格節(jié)點的顏色來表征可操作度ωi的值，由此得到焊接機械臂在工作空間內(nèi)其可操作度分布情況，其中右側(cè)的豎條表征了不同顏色所代表的可操作度值。

圖5 z=0.69m 平面下焊接機器人可操作度分布

同樣方法可以得出多機器人在協(xié)作空間內(nèi)的可操作度分布情況，圖6給出了z=0.69m的平面上3個機器人協(xié)作時的可操作度MMR的分布情況，其中右側(cè)的豎條表征了不同顏色所代表的可操作度值，由圖6中可以看出，在黑色區(qū)域可操作度趨近于0，此時由于某個機器人接近或處于奇異位形，導(dǎo)致協(xié)作系統(tǒng)靈活性最差，而灰白色區(qū)域可操作度較大，協(xié)作系統(tǒng)靈活性較好。

圖6 z=0.69m 平面下多機器人可操作度分布

對多機器人系統(tǒng)的協(xié)作空間的整體可操作度進行計算并歸一化處理，得到協(xié)作空間內(nèi)系統(tǒng)的靈活性表達剖視圖，在MATLAB中可視化表達出來，如圖7所示。圖7中，用多種顏色分別表示多機器人協(xié)作時的靈活性程度，系統(tǒng)的靈活性范圍在[0,0.2)的區(qū)域用藍色表示；系統(tǒng)的靈活性范圍在[0.2,0.4)的區(qū)域用青色表示；系統(tǒng)的靈活性范圍在[0.4,0.6)的區(qū)域用綠色表示；系統(tǒng)的靈活性范圍在[0.6,0.8)的區(qū)域用黃色表示；系統(tǒng)的靈活性范圍在[0.8,1]的區(qū)域用紅色表示。從圖中可以得到多機器人協(xié)作的系統(tǒng)靈活性的分布規(guī)律。

圖7 協(xié)作空間靈活性剖視圖

由多機器人協(xié)作系統(tǒng)在協(xié)作空間中的靈活性分布情況可知，工作范圍在（x、y、z單位為m）x∈[?0.1,0.1]，y∈[0.15,0.35]，z∈[0.55,0.75]區(qū)域的多機器人協(xié)作靈活性較高，因此，在進行運動規(guī)劃時，應(yīng)當盡量保證工作區(qū)域在x∈[?0.1,0.1]，y∈[0.15,0.35]，z∈[0.55,0.75]的范圍內(nèi)。而靠近協(xié)作空間邊界的部分無法實現(xiàn)多機器人協(xié)作，機器人運動靈活性最差。分析可知，點C0(0,0.25,0.6)位于靈活性較高區(qū)域的中心點，因此，將該點作為最優(yōu)初始焊接位置點，搬運機器人搬運工件到協(xié)作空間內(nèi)，并將工件坐標系原點與該點重合，然后配合焊接機器人進行焊接任務(wù)，如此可以保證工件上的焊縫點均處于靈活性較高的區(qū)域，從而確保多機器人協(xié)作系統(tǒng)在焊接過程中的運動靈活性。

4 結(jié)語

本文以多機器人協(xié)作系統(tǒng)為研究對象，通過蒙特卡羅法得到多機器人協(xié)作空間，采用可操作度作為靈活性指標，建立了一種用于多機器人協(xié)作系統(tǒng)的靈活性評價模型，并使用MATLAB進行仿真將系統(tǒng)的靈活性可視化，從而選取機器人合適的操作空間。在本文選取的靈活性高的空間工作的基礎(chǔ)下，為后續(xù)多機器人的軌跡規(guī)劃做好鋪墊。