王翌偉，徐曉美，林 萍

（南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，南京 210037）

局域共振聲子晶體板是一種周期結(jié)構(gòu)功能材料，具有負(fù)等效參數(shù)[1]，通過調(diào)節(jié)單胞結(jié)構(gòu)參數(shù)可獲得低頻段內(nèi)的禁帶[2]。在禁帶內(nèi)彈性波的激勵(lì)下，聲子晶體板的散射體間產(chǎn)生共振，并與彈性波相互作用，從而抑制彈性波的傳播。

近些年來，局域共振聲子晶體板已成為振動(dòng)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。Oudich等[3]研究了貼附一層或雙層柱的板結(jié)構(gòu)的帶隙機(jī)制，通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以改變局域模態(tài)與板中Lamb模態(tài)之間的耦合方式，從而獲得低頻帶隙。Jin等[4]提出了具有空心柱的聲子晶體板，通過調(diào)整空心柱內(nèi)部的直徑，能使布拉格帶隙和共振帶隙相互作用，從而拓寬了帶隙。廖濤等[5]將壓電材料加入聲子晶體板，基于有限元法證明了該結(jié)構(gòu)的可調(diào)帶隙特性。康太鳳等[6]也基于有限元法對(duì)所提出的聲子晶體板帶隙特性及其影響因素進(jìn)行了研究，證明了所提結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越的低頻寬帶隙特性，并提出拓寬該結(jié)構(gòu)低頻帶隙的方法。孫向洋等[7]基于有限元法分析了經(jīng)典單面柱聲子晶體的帶隙特性及影響因素，并依此進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化。Zhu等[8]利用有限元法研究了一種新型二維聲子晶體板，該結(jié)構(gòu)能通過調(diào)節(jié)預(yù)應(yīng)變實(shí)現(xiàn)低頻帶隙的可調(diào)諧性。Zhang 等[9]針對(duì)車輛噪聲、振動(dòng)與聲振粗糙度（Noise、Vibration and Harshness，NVH）問題，提出一種具有填充圓柱體的聲子晶體板，并通過色散模擬研究了其帶隙特性及影響因素。

鑒于此，本文在驗(yàn)證COMSOL有限元模擬方法用于聲子晶體振動(dòng)帶隙計(jì)算可靠性的基礎(chǔ)上，針對(duì)低頻振動(dòng)控制問題，提出一種局域共振聲子晶體薄板結(jié)構(gòu)，應(yīng)用有限元模擬方法研究其帶隙結(jié)構(gòu)和元胞結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)振動(dòng)帶隙的影響，并考察該聲子晶體薄板內(nèi)部振動(dòng)波的傳輸特性，以為類似結(jié)構(gòu)薄板的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供理論支撐。

1 彈性波方程及Bloch定理

在線彈性、各向同性、體積無限大的均勻介質(zhì)中，忽略阻尼的影響，彈性波動(dòng)方程的矢量形式可寫作[10]：

式中：r為位置矢量，▽為哈密頓算子，u為質(zhì)點(diǎn)位移矢量，ρ為介質(zhì)的密度，μ和λ為介質(zhì)材料的拉梅常數(shù)，ω為特征圓頻率。

由于聲子晶體的周期性和對(duì)稱性，使得晶格中的場(chǎng)也具有一定的對(duì)稱性。根據(jù)Bloch 定理，平移周期性的線性系統(tǒng)的本征場(chǎng)可表示為[11]：

式中：k為Bloch波矢，其幅值函數(shù)具有與晶格相同的平移周期性，即：

結(jié)合式(3)和Fourier級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)定理，式(2)表述本征場(chǎng)的波函數(shù)可以寫為：

式中：G為倒格矢。由于聲子晶體點(diǎn)群的對(duì)稱性，波矢k的取值范圍壓縮在第一不可約Brillouin 區(qū)內(nèi)。因此，只需沿著第一不可約Brillouin 區(qū)邊界上的值遍歷一次，就能求得聲子晶體的本征頻率。

2 帶隙計(jì)算有限元法

目前，COMSOL等有限元軟件具有設(shè)置Floquet周期性邊界的功能，本節(jié)基于彈性波方程和Bloch定理，通過算例闡述應(yīng)用COMSOL軟件計(jì)算聲子晶體振動(dòng)帶隙的方法，并驗(yàn)證其計(jì)算結(jié)果的可靠性。

根據(jù)Bloch 理論，對(duì)彈性波在整個(gè)晶格中傳播行為的研究可以轉(zhuǎn)換到單個(gè)元胞及其第一不可約Brillouin區(qū)中進(jìn)行。元胞的廣義本征值方程為[12]：

式中：Ks為元胞剛度矩陣，Ms為元胞質(zhì)量矩陣，u(v)為位移特征向量。

要使元胞中每個(gè)點(diǎn)都滿足Bloch 定理，只要元胞邊界上的所有點(diǎn)滿足Bloch 邊界條件即可，即要滿足式(7)。

式中：a為晶格常數(shù)。

COMSOL 軟件中的Floquet 周期性邊界設(shè)置可約束周期性結(jié)構(gòu)的邊界位移，從而實(shí)現(xiàn)Bloch 邊界條件，其滿足的方程為：

式中：kF為波矢，在軟件中通過設(shè)置kx、ky和kz表示。usource和udestination分別表示Floquet 周期性邊界條件的源端和目標(biāo)端，rdestination-rsource的結(jié)果等于晶格常數(shù)。

在COMSOL軟件中，對(duì)于周期元胞與相鄰元胞的非接觸面，無須設(shè)置邊界條件；對(duì)于周期元胞與相鄰元胞的接觸面，則需在元胞邊界的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)上設(shè)置Floquet周期性邊界條件。以二維方形元胞為例，其Brillouin 區(qū)如圖1 所示，陰影部分是第一不可約Brillouin區(qū)。首先，取x和y方向的兩條邊或邊界作為兩個(gè)源項(xiàng)，選擇相對(duì)的邊或邊界作為目標(biāo)項(xiàng)，即在元胞的x方向和y方向各應(yīng)用一次周期性邊界條件。然后，添加波矢k的設(shè)置，k∈[0，3]，0到1區(qū)間定義為M-Γ邊的波數(shù)，1到2區(qū)間定義為Γ-X邊的波數(shù)，2到3區(qū)間則定義為X-M邊的波數(shù)。為了與Floquet周期性邊界條件中波矢的設(shè)置相一致，將k分解為kx和ky表示。接著，對(duì)波矢設(shè)置參數(shù)化掃描，掃描范圍0～3，掃描步長(zhǎng)0.01，如此波矢能沿著二維元胞的第一不可約Brillouin 區(qū)M-Γ-X-M的邊界遍歷一次。最后，選擇相應(yīng)的特征頻率求解器求解，即每給定一個(gè)k值，就能根據(jù)式(8)，求解式(6)所示的特征值方程。

圖1 二維方形元胞的Brillouin區(qū)

為驗(yàn)證有限元法帶隙計(jì)算的可靠性，以文獻(xiàn)[13]所示的典型單面柱狀聲子晶體板為例進(jìn)行帶隙計(jì)算。圖2 給出了該聲子晶體板的元胞結(jié)構(gòu)及其Floquet 周期性邊界設(shè)置，元胞的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：晶格常數(shù)a=10 mm，橡膠板厚度d=2 mm，鋼柱半徑r=4.8 mm、高度h=10 mm，其色散曲線及帶隙如圖3所示，圖中陰影部分是結(jié)構(gòu)的第一條完全帶隙。雖然從圖3 可以看出，該算例中的元胞結(jié)構(gòu)具有較寬的低頻局域共振帶隙，但由于鋼柱密度和尺寸比橡膠均質(zhì)板大得多，工程實(shí)際中橡膠板很難提供鋼柱所需的支撐強(qiáng)度，故而此結(jié)構(gòu)在工程中很難實(shí)現(xiàn)應(yīng)用。

圖2 算例元胞結(jié)構(gòu)及其周期性邊界設(shè)置

圖3 算例的色散曲線及帶隙

表1 比較了有限元法和文獻(xiàn)[13]的數(shù)值方法計(jì)算得到的帶隙相關(guān)結(jié)果，從其誤差可見，運(yùn)用有限元法計(jì)算帶隙是可靠的。

表1 帶隙計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 聲子晶體薄板帶隙特性

3.1 聲子晶體薄板結(jié)構(gòu)

本文所研究的局域共振聲子晶體薄板結(jié)構(gòu)如圖4 所示，圖5 是其晶格常數(shù)為a的元胞結(jié)構(gòu)，包括三層：上、下層是厚度分別為h1和h2的EVA 板，中間層是厚度為h0的橡膠板；上、下層內(nèi)嵌的橡膠圓柱半徑為r，高度與EVA層厚度相等。元胞初始尺寸參數(shù)選為：a=10 mm、h0=h1=h2=1 mm、r=4 mm，材料參數(shù)見表2。在該結(jié)構(gòu)中，EVA材料是基體部分，主要起結(jié)構(gòu)支撐作用，橡膠材料充當(dāng)散射體。由于未貼附金屬材料作散射體，所以該結(jié)構(gòu)的總體平均密度較小，并且避免了常規(guī)結(jié)構(gòu)中貼附的質(zhì)量塊在振動(dòng)環(huán)境下易掉落的問題，使板的性能更加穩(wěn)定。此外，該聲子晶體薄板結(jié)構(gòu)僅由EVA材料和橡膠材料組成，板的柔韌性與彈性都較好，更易被應(yīng)用于復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境中。

圖4 聲子晶體薄板結(jié)構(gòu)

圖5 聲子晶體薄板元胞結(jié)構(gòu)

表2 聲子晶體薄板材料參數(shù)

3.2 帶隙特性

建立上述聲子晶體薄板元胞的有限元模型，采用有限元法計(jì)算其振動(dòng)帶隙，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)彈性波傳播理論，由圖6 可知，板中有Lamb 波和水平剪切波，其中，Lamb 波分為反對(duì)稱Lamb波（彎曲波）和對(duì)稱Lamb波。圖6中有三條能帶從G點(diǎn)出發(fā)，沿三個(gè)方向分開，其中，兩條能帶在G點(diǎn)附近呈線性上升，分別對(duì)應(yīng)著板中的水平剪切波和對(duì)稱Lamb波，由于在低頻范圍內(nèi)這兩種波的傳播特性與在均勻介質(zhì)中傳播特性相近，因此總體表現(xiàn)為線性。第一條能帶對(duì)應(yīng)著板中的彎曲波，從圖6可以看到，在第一條能帶和第二條能帶間沒有任何彎曲波穿過，形成了一條完全帶隙，即彎曲波帶隙，帶寬為88 Hz，帶寬頻率范圍為448 Hz～536 Hz。

圖6 振動(dòng)帶隙結(jié)構(gòu)圖

為進(jìn)一步說明板的振動(dòng)帶隙形成機(jī)理，圖7 給出了圖6 中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)圖，圖中用散布在結(jié)構(gòu)中的箭頭表示區(qū)域位移的相對(duì)大小和方向。第一條能帶是形成彎曲波帶隙起始頻率的關(guān)鍵，從圖7 中A 點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)可以看出，元胞中間的橡膠圓柱以及與橡膠圓柱相連的橡膠薄板均向z軸正方向運(yùn)動(dòng)，而EVA板基本不動(dòng)，即振動(dòng)集中在中間，此時(shí)A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)發(fā)生了局域共振，使得彎曲波與之發(fā)生強(qiáng)烈耦合，致使彎曲波的能量局限在橡膠材料中而不能繼續(xù)傳播，從而使第一條能帶被截?cái)?，繼而開始出現(xiàn)帶隙。帶隙在B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的平直帶處截止，觀察B點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)可知，橡膠圓柱和橡膠板依舊向z軸正方向運(yùn)動(dòng)，而EVA 基體板開始向與橡膠部分相反的方向運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)模式標(biāo)志著局域共振的消失，此后，彎曲波便能夠在元胞內(nèi)通過。

圖7 A～F點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)

從圖7還可以看出，在帶隙上方的頻段內(nèi)，能帶圖中還存有一些近似水平的平直帶，觀察相應(yīng)C、D、E、F 點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)，同樣發(fā)現(xiàn)振動(dòng)位移基本都在橡膠圓柱和橡膠板內(nèi)，同時(shí)EVA 基體基本不動(dòng)，可見相應(yīng)的結(jié)構(gòu)均發(fā)生了局域共振。雖然這些局域共振模式不能像A 模式一樣形成完全帶隙，但是它們的存在有利于方向帶隙的產(chǎn)生，如在圖6 的C 點(diǎn)附近有一條Γ-X方向的彎曲波帶隙（圖中陰影）。

3.3 帶隙特性影響分析

為探究元胞彎曲波帶隙的調(diào)控規(guī)律，指導(dǎo)帶隙特性優(yōu)化，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)（包括圓柱半徑r，中間橡膠層厚度h0，上、下EVA層厚度h1、h2，晶格常數(shù)a）對(duì)振動(dòng)帶隙的影響規(guī)律。圖8至圖12的左側(cè)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)帶隙的起始頻率和截止頻率，右側(cè)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)帶隙寬度。

圖8 圓柱半徑r對(duì)振動(dòng)帶隙的影響

圖8 為元胞中橡膠圓柱半徑對(duì)振動(dòng)帶隙的影響。由圖可知，隨著圓柱半徑r的增大，帶隙的起始頻率和截止頻率都向低頻區(qū)域大幅度移動(dòng)，當(dāng)半徑r從2 mm 增至4.5 mm，起始頻率下降了近60 %；同時(shí)，帶隙的寬度從63 Hz拓寬到92 Hz。

圖9 為元胞中間橡膠層厚度對(duì)振動(dòng)帶隙的影響。由圖可見，隨著橡膠層厚度增加，帶隙的起始頻率和截止頻率都向高頻區(qū)域移動(dòng)，帶隙先變寬再變窄。

圖9 中間層厚度h0對(duì)振動(dòng)帶隙的影響

圖10為元胞的上、下層EVA板厚度對(duì)振動(dòng)帶隙的影響。由圖可見，隨著上、下層厚度增加，振動(dòng)帶隙的起止頻率和截止頻率都向高頻區(qū)域移動(dòng)，且?guī)峨S之變寬。

圖10 上、下層厚度h1、h2對(duì)振動(dòng)帶隙的影響(h1=h2)

由于晶格常數(shù)a受限于圓柱半徑r，因此其對(duì)振動(dòng)帶隙的影響可分兩種情況討論。

一種是圓柱半徑r不變，即仍為4 mm，考察振動(dòng)帶隙隨晶格常數(shù)a的變化規(guī)律，如圖11 所示。從圖中可以看出，隨著晶格常數(shù)增大，帶隙起始頻率略有下降，截止頻率也隨之下降，同時(shí)帶隙寬度逐漸變小。

圖11 晶格常數(shù)a對(duì)振動(dòng)帶隙的影響(r=4 mm)

另一種是圓柱半徑與晶格常數(shù)的比值r/a不變，即r/a=2/5，考察晶格常數(shù)a對(duì)振動(dòng)帶隙的影響。通過對(duì)不同晶格常數(shù)a開展多組仿真試驗(yàn)，得到能較好反映晶格常數(shù)對(duì)振動(dòng)帶隙影響規(guī)律的對(duì)比數(shù)據(jù)，如圖12 所示，圖中晶格常數(shù)的變化間隔為5 mm。由圖可以看出，隨著晶格常數(shù)增大，帶隙的起始頻率和截止頻率都明顯向低頻區(qū)域移動(dòng)，帶寬也隨之迅速減小。因此，總體來說，大的晶格常數(shù)會(huì)產(chǎn)生更低頻段和更窄的振動(dòng)帶隙。

圖12 晶格常數(shù)a對(duì)振動(dòng)帶隙的影響(r/a=2/5)

總之，對(duì)于此聲子晶體薄板，要使振動(dòng)帶隙產(chǎn)生于低頻區(qū)域，可以增加圓柱半徑或增大晶格常數(shù)，但增大晶格常數(shù)會(huì)使帶隙寬度變窄。增加薄板中間層厚度或上、下層厚度都會(huì)使帶隙往高頻區(qū)域移動(dòng)。因此，為使聲子晶體薄板能在低頻區(qū)域產(chǎn)生較寬的振動(dòng)帶隙，對(duì)上述結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化組合研究，其中晶格常數(shù)a的3個(gè)參考值分別為10 mm、15 mm和20 mm，相應(yīng)的圓柱半徑r的參考值分別為4 mm、6 mm和8 mm，以維持r/a的比值為定比2/5；上、中、下三層薄板的厚度參考值分別為0.5 mm、1 mm 和1.5 mm，且使上、下層板的厚度相等，即h1=h2。

基于上述結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)枚舉法所得的27組參數(shù)組合方案開展了0到1 000 Hz范圍內(nèi)的振動(dòng)帶隙仿真研究。以汽車上200 Hz～400 Hz 的中、低頻為目標(biāo)頻段，選擇帶隙寬度在目標(biāo)頻段內(nèi)占比最大的參數(shù)組合為最優(yōu)方案。由仿真結(jié)果可知，當(dāng)晶格常數(shù)為15 mm、圓柱半徑為6 mm、三層薄板厚度均為1.5 mm 時(shí)，所得局域共振聲子晶體薄板的振動(dòng)帶隙在目標(biāo)頻段內(nèi)的占比最大（29%）。此時(shí)，振動(dòng)帶隙的起始頻率為299 Hz、截止頻率為357 Hz。圖13即是通過枚舉優(yōu)選出的聲子晶體薄板的振動(dòng)帶隙結(jié)構(gòu)圖?？梢?，通過結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)整，已使聲子晶體薄板的振動(dòng)帶隙移至低頻段，但帶隙寬度有所減小。

圖13 優(yōu)化后元胞的帶隙結(jié)構(gòu)圖

4 振動(dòng)傳輸損失

為考察振動(dòng)帶隙內(nèi)聲子晶體薄板對(duì)波傳播的阻礙作用，討論了頻域上波的傳播特性?；贑OMSOL軟件固體力學(xué)模塊的頻域研究，建立了有限周期結(jié)構(gòu)在頻域上的傳輸特性分析模型，如圖14所示。圖中，x方向和y方向均有20 個(gè)元胞，元胞的結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)選后的尺寸，所構(gòu)成的有限周期結(jié)構(gòu)尺寸為300 mm×300 mm×4.5 mm。

如圖14所示，在薄板的左側(cè)邊界施加垂直于板面的位移激勵(lì)w0，在另一側(cè)邊界拾取位移響應(yīng)w1，利用積分算子計(jì)算左右側(cè)z方向上的位移幅值，并用傳輸損失表征波的衰減，傳輸損失（Transmission loss，TL）計(jì)算式為[14]：

圖14 有限周期薄板的載荷示意圖

式中：win和wout分別為激勵(lì)邊界和響應(yīng)邊界z方向上的位移幅值，A1和A2為對(duì)應(yīng)的邊界面積。

仿真計(jì)算的頻率范圍設(shè)定為10 Hz～1 000 Hz，計(jì)算間隔為10 Hz，計(jì)算得到的聲子晶體薄板在頻域上的傳輸特性如圖15所示。

從圖15可以看出，在300 Hz～350 Hz頻率范圍內(nèi)，傳輸損失明顯增大，最大衰減量為71.6 dB，出現(xiàn)在頻率為310 Hz 處，衰減頻率范圍與圖13 所示的299 Hz～357 Hz振動(dòng)帶隙基本吻合。

圖15 聲子晶體薄板在頻域上的傳輸特性

為進(jìn)一步呈現(xiàn)振動(dòng)帶隙內(nèi)板對(duì)波傳播的阻礙作用，圖16給出了帶隙內(nèi)頻率為310 Hz和帶隙外頻率為500 Hz時(shí)聲子晶體薄板z方向的振動(dòng)位移。

圖16 聲子晶體薄板的振動(dòng)位移圖

由圖16可以看出，對(duì)于振動(dòng)帶隙內(nèi)的310 Hz頻率，板左側(cè)的位移激勵(lì)產(chǎn)生的彎曲波被局限在左側(cè)的呈局域共振模式的元胞中，板右側(cè)的z向振動(dòng)位移幾乎為0；對(duì)于振動(dòng)帶隙外的500 Hz頻率，聲子晶體薄板呈現(xiàn)出明顯波動(dòng)，即彎曲波能通過薄板傳播從板的左側(cè)到達(dá)板的右側(cè)?？梢?，在振動(dòng)帶隙內(nèi)，聲子晶體薄板能很好地控制板內(nèi)的彎曲波在相應(yīng)頻段內(nèi)的傳播，從而控制薄板的振動(dòng)。

5 結(jié)語

探討了應(yīng)用COMSOL 有限元模擬方法開展聲子晶體振動(dòng)帶隙計(jì)算的可靠性，模擬計(jì)算了所設(shè)計(jì)的局域共振聲子晶體薄板的振動(dòng)帶隙，分析了其帶隙結(jié)構(gòu)和元胞結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)振動(dòng)帶隙的影響，考察了聲子晶體薄板內(nèi)波的傳輸特性。主要研究結(jié)論如下：

（1）利用COMSOL 有限元模擬方法開展聲子晶體振動(dòng)帶隙計(jì)算是可靠的，與數(shù)值計(jì)算方法相比，帶隙起始頻率、截止頻率和帶寬的計(jì)算誤差都很小。

（2）對(duì)于所設(shè)計(jì)的局域共振聲子晶體薄板，元胞的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性具有明顯的影響。增加薄板上、中、下層厚度，會(huì)使帶隙的起止頻率和截止頻率都向高頻區(qū)域移動(dòng)；增加元胞的橡膠圓柱半徑和晶格常數(shù)，會(huì)使帶隙向低頻區(qū)域移動(dòng)，但圓柱半徑增大使帶隙變寬，而晶格常數(shù)增大使帶隙變窄。

（3）基于枚舉優(yōu)化參數(shù)組合得到的局域共振聲子晶體薄板可在設(shè)計(jì)的目標(biāo)頻段內(nèi)形成振動(dòng)帶隙，薄板內(nèi)波的傳輸特性和薄板的振動(dòng)位移，進(jìn)一步證實(shí)了聲子晶體薄板在帶隙內(nèi)對(duì)波傳播的阻礙作用。