陳柯鑫， 范麗亞

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東聊城 252059)

隨著現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)的不斷普及和通信技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)字技術(shù)已廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，但是所需數(shù)字信息在收集或傳輸過(guò)程中通常會(huì)受到噪聲等因素的影響。例如，在錄制視頻時(shí)，周?chē)y免會(huì)有無(wú)關(guān)聲源及無(wú)關(guān)事物的發(fā)生，導(dǎo)致所錄視頻是多個(gè)聲源與圖像的疊加。除此之外，在視頻的傳輸過(guò)程中，電磁信號(hào)等噪聲同樣不可避免，因此如何從混合信息中快速、高效地分離所需信息成為亟待解決的問(wèn)題。針對(duì)混合信號(hào)的分離，Jutten等[1]提出了盲源分離(blind source separation，BSS)法，該方法在未知混合方式的前提下直接從多個(gè)觀測(cè)到的混合信號(hào)中解析出原始信號(hào)。當(dāng)信源具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性并且瞬時(shí)混合時(shí)，BSS可以通過(guò)獨(dú)立成分分析(independent component analysis，ICA)實(shí)現(xiàn)，該方法稱(chēng)為BSS-ICA[2]，是一種基于非高斯的通用轉(zhuǎn)換方法，常用于音頻處理[3-4]、生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)處理[5]、物理學(xué)[6-7]等領(lǐng)域。FastICA[5,8]是一種快速不動(dòng)點(diǎn)ICA算法, 將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)規(guī)則、梯度下降法轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)迭代，不需要自定義參數(shù)，能快速找到非高斯獨(dú)立分量。ICA假設(shè)觀測(cè)值是獨(dú)立源的線性混合，所有階數(shù)的相互統(tǒng)計(jì)量都為0，該假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格，導(dǎo)致在ICA過(guò)程中丟失一些重疊的共激活模式。Friman等[9]提出一種基于典型相關(guān)分析(CCA)的BSS法(BSS-CCA)，該方法將各組分按相關(guān)性度量排序， 不需要對(duì)所有組分進(jìn)行人工檢測(cè)， 并且對(duì)數(shù)據(jù)的高噪聲不敏感。 Liu等[10]提出了基于廣義正則CCA的BSS法， 并證實(shí)了廣義正則CCA可以成功地恢復(fù)原信號(hào)。 Karhunen等[11]提出了基于廣義CCA的BSS法，驗(yàn)證了廣義CCA對(duì)合成數(shù)據(jù)集的分離具有良好的性能。Yu等[12]提出了基于多集CCA的BSS法，并應(yīng)用于核磁共振數(shù)據(jù)分析[13-14]。上述各方法僅考慮了混合信號(hào)的分離。

與上述研究相比，關(guān)于混合圖像的BSS研究相對(duì)較少。Nuzillard等[15]將BSS應(yīng)用于多光譜天文圖像，結(jié)果表明BSS可以用于提取一些特征。Lin等[16]對(duì)盲信號(hào)分離在圖像加密方面的應(yīng)用進(jìn)行了研究，將v(v∈+)個(gè)灰色源圖像與一個(gè)噪聲圖像混合加密，然后利用BSS進(jìn)行分離。Jadhav等[17]利用BSS-ICA從水印圖像中檢測(cè)所有者的簽名，并證明了BSS-ICA方法有魯棒性。Hattay等[18]提出了一種基于BSS法的數(shù)字全息圖像重建和雙像去除的魯棒自聚焦方法，可以有效地去除同軸粒子數(shù)字全息圖中多余的雙像。以上方法僅研究了圖像的分離方法。

目前，信號(hào)與圖像(尤其是彩圖)共同混合分離的研究較少?；诖耍疚闹醒芯啃盘?hào)與彩圖的混合分離，提出一種基于CCA的信號(hào)與彩圖混合分離方法(簡(jiǎn)稱(chēng)本文方法)。將m(m∈+)個(gè)長(zhǎng)度為n(時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，本文中隨機(jī)取n=120)的信號(hào)與m張彩圖混合，構(gòu)成n張混合彩圖，在此基礎(chǔ)上添加高斯白噪聲(以方差為0.01的噪聲為例)，用以增加信息的模糊性。分離過(guò)程在一切信息均未知的情況下進(jìn)行，僅利用CCA作為信號(hào)與彩圖分離工具。最后在McMaster數(shù)據(jù)集上，將本文方法與目前最常用的ICA法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 CCA

給定2個(gè)隨機(jī)向量x∈p和y∈q(p,q∈+)，它們的取值分別為p和q。CCA的基本思想是尋找典型方向wx∈p和wy∈q，使得投影后的隨機(jī)變量與之間具有極大相關(guān)性，即滿足準(zhǔn)則

(1)

令

X=(x1,x2,…,xm)∈p×m,

Y=(y1,y2, …,ym)∈q×m,

em=(1,1,…,1)T∈m,

由于Cxx、Cyy為對(duì)稱(chēng)非負(fù)定陣，并且

因此式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

(3)

(4)

式中λ(λ≠0)為拉格朗日算子。為了避免矩陣Cxx和Cyy的奇異性，將Cxx和Cyy正則化，即用Cxx+tIp×p替代Cxx，用Cyy+tIq×q替代Cyy，其中t>0為正則化參數(shù)，I為單位矩陣?；诖耍?4)可轉(zhuǎn)化為廣義特征方程，即

Cxy(Cyy+tIq×q)-1Cyxwx=λ2(Cxx+tIp×p)wx。

(5)

為了求解方程(5)，對(duì)矩陣Cxx+tIp×p進(jìn)行特征值分解(eigen value decomposition, EVD)，即Cxx+tIp×p=UΣxUT，其中U∈p×p為正交陣，Σx=diag(σ1,σ2, …,σp),σ1≥σ2≥…≥σp>0為Cxx+tIp×p的全部非零特征值，并記

可得

(6)

設(shè)rank(B)=r≤min{p,q}，并對(duì)B進(jìn)行奇異值分解(singular value decomposition, SVD),

(P1ΣB,0)QT,

式中：P=(P1,P2)∈p×p、Q∈q×q為正交陣；ΣB=diag(ζ1,ζ2,…,ζr),ζ1≥ζ2≥…≥ζr>0為B的所有非零奇異值，r∈+；P1=(p1,p2,…,pr)∈p×r。 可得

(7)

(8)

根據(jù)式(8)，隨機(jī)向量x∈p(y∈q)的d個(gè)典型投影方向wx1,wx2,…,wxd(wy1,wy2,…,wyd)彼此正交，因此也相互獨(dú)立。

1.2 卷積運(yùn)算

對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，卷積是一種特殊的積分運(yùn)算。2個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f1(η)和f2(η)的卷積運(yùn)算為

式中：η為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間點(diǎn)；τ∈。

如果把連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化，則卷積運(yùn)算的定義可轉(zhuǎn)化為

式中：γ∈；x(η)、h(η)為參與運(yùn)算的離散時(shí)間信號(hào)。

針對(duì)圖像的卷積運(yùn)算是通過(guò)卷積核完成的，是圖像數(shù)字矩陣與卷積核加權(quán)的滑動(dòng)求和過(guò)程。卷積核是卷積運(yùn)算的核心，卷積核通常為3×3型或5×5型矩陣，矩陣各元素稱(chēng)為卷積核的權(quán)重，和為1。卷積運(yùn)算在滑動(dòng)過(guò)程中權(quán)重不變，步幅依據(jù)任務(wù)而定，一般設(shè)為1。卷積運(yùn)算的結(jié)果有2種：1)得到更小尺寸的圖像特征矩陣；2)通過(guò)對(duì)圖像矩陣上下左右填充0元素，得到相同尺寸的圖像特征矩陣。針對(duì)圖像的卷積運(yùn)算常用于圖像特征提取、圖像濾波(平滑化)、基于梯度運(yùn)算的邊緣提取等。

2 本文方法

2.1 混合方法

信號(hào)與彩圖的混合方法要求信號(hào)與信號(hào)、彩圖與彩圖、信號(hào)與彩圖之間相互獨(dú)立。首先，對(duì)彩圖Scaitu,l∈p×q×3(l=1,2,…,m)按RGB(紅、綠、藍(lán)三原色)3個(gè)通道進(jìn)行分解，得到3張灰度圖像(簡(jiǎn)稱(chēng)灰圖)Rl∈p×q,Gl∈p×q,Bl∈p×q,l=1,2,…,m；其次，將各通道上的所有灰圖(每個(gè)通道有m個(gè))與m個(gè)相同長(zhǎng)度的信號(hào)按時(shí)間節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n>>m)進(jìn)行混合后添加高斯白噪聲；最后，將3個(gè)通道上的混合加噪后的灰圖按時(shí)間節(jié)點(diǎn)合成n個(gè)偽彩圖，并作為混合后的內(nèi)容，具體過(guò)程如圖1所示。

Rl、 Gl、 Bl—彩圖l(l=1,2,…,m)按RGB(紅、綠、藍(lán)三原色)3個(gè)通道進(jìn)行分解得到3張灰度圖像(簡(jiǎn)稱(chēng)灰圖)； R(k)、 G(k)、 B(k)—Rl、 Gl、 Bl按時(shí)間節(jié)點(diǎn)與m個(gè)信號(hào)混合后得到的灰圖, k=1,2,…,n； R′(k)、 G′(k)、 B′(k)—R(k)、 G(k)、 B(k)加噪后的圖像。圖1 信號(hào)與彩圖的混合過(guò)程

R(k)=R1V1(k)+R2V2(k)+…+RmVm(k)=

G(k)=G1V1(k)+G2V2(k)+…+GmVm(k)=

B(k)=B1V1(k)+B2V2(k)+…+BmVm(k)=

則各通道上的n個(gè)混合灰圖分別簡(jiǎn)記為

2.2 分離方法

基于CCA的信號(hào)與彩圖分離方法具體步驟如下。

R′(k)、 G′(k)、 B′(k)—R(k)、 G(k)、 B(k)加噪后的圖像,個(gè)傳輸彩圖分別在RGB (紅、綠、藍(lán)三原色)3個(gè)通道上分解得到的3組灰圖；對(duì)進(jìn)行同尺寸的卷積運(yùn) 算得到的3組特征矩陣；的向量化； 的向量化；經(jīng) 過(guò)CCA運(yùn)算得到的3組典型投影方向；恢復(fù)的信號(hào)。圖2 利用典型相關(guān)分析(CCA)進(jìn)行信號(hào)與彩圖分離的過(guò)程

vec(G1)V1(k)+vec(G2)V2(k)+…+vec(Gm)Vm(k)≈

k=1,2,…,n。

Vl(k),l=1,2,…,m,k=1,2,…,n。

進(jìn)而有

同理可得

記

則分離的m個(gè)(離散)盲源信號(hào)為

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，利用McMaster數(shù)據(jù)集[19]，與目前最常用的ICA法進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)。McMaster數(shù)據(jù)集包含18張格式為.tif的彩色圖片，每張圖片尺寸為500像素×500像素。本文中選用的卷積核為

3.1 雙信號(hào)雙彩圖的混合分離

隨機(jī)產(chǎn)生2個(gè)信號(hào)作為原始信號(hào)，如圖3所示，時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=120。從McMaster數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取5組彩圖作為原始彩圖，如圖4所示。

(a)信號(hào)1

(b)信號(hào)2圖3 隨機(jī)產(chǎn)生的2個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均為120的信號(hào)

實(shí)驗(yàn)中圖4(a1)、 (b1)、 (c1)、 (d1)、 (e1)標(biāo)記為每組的第1張彩圖，圖4(a2)、 (b2)、 (c2)、 (d2)、 (e2)標(biāo)記為每組的第2張彩圖。為了直觀對(duì)比ICA法和本文方法的分離效果，以圖4(a1)、 (a2)為例，分離信號(hào)與彩圖的對(duì)比如圖5、 6所示。雙信號(hào)雙彩圖實(shí)驗(yàn)中原始灰圖與分離灰圖及原始信號(hào)與分離信號(hào)的相似度對(duì)比如表1所示。從表中可以看出，不論是原始彩圖還是信號(hào)的分離，本文方法均遠(yuǎn)優(yōu)于ICA法，尤其是對(duì)彩圖的恢復(fù)，相似度普遍提高30%左右，但是本文方法所消耗的時(shí)間較長(zhǎng)。

3.2 多信號(hào)多彩圖的混合分離

圖7所示隨機(jī)產(chǎn)生的3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均為120的信號(hào)，圖8所示為從McMaster數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取的4組彩圖。以圖7中產(chǎn)生的信號(hào)與圖8中選取彩圖為例進(jìn)行三信號(hào)三彩圖實(shí)驗(yàn)。

圖8(a1)、 (b1)、 (c1)、 (d1)標(biāo)記為每組的第1張彩圖，圖8(a2)、 (b2)、 (c2)、 (d2)標(biāo)記為每組的第2張彩圖，圖8(a3)、 (b3)、 (c3)、 (d3)標(biāo)記為每組的第3張彩圖，原始灰圖與分離灰圖或原始信號(hào)與分離信號(hào)間的相似度對(duì)比如表2所示。從表中可以看出，不論是原始彩圖的分離，還是信號(hào)的分離，利用CCA進(jìn)行分離的方法均優(yōu)于ICA法，不僅恢復(fù)的相似度高且效果相對(duì)穩(wěn)定，但是利用CCA進(jìn)行分離的方法在時(shí)間方面不占優(yōu)勢(shì)，消耗時(shí)間較長(zhǎng)。為了直觀對(duì)比ICA法和本文方法的分離效果，以圖8(c1)、 (c2)、 (c3)為例，分離信號(hào)與彩圖的對(duì)比如圖9、 10所示。

(a1)第1組圖1(a2)第1組圖2(b1)第2組圖1(b2)第2組圖2(c1)第3組圖1(c2)第3組圖2(d1)第4組圖1(d2)第4組圖2(e1)第5組圖1(e2)第5組圖2圖4 從McMaster數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取的5組彩圖

(a)信號(hào)1

(b)信號(hào)2

(c)本文方法提取信號(hào)1(相似度為0.998 1)

(d)本文方法提取信號(hào)2(相似度為1.000 0)

(e)ICA法提取信號(hào)1(相似度為0.880 8)

(f)ICA法提取信號(hào)1(相似度為0.736 5) 本文方法—基于典型相關(guān)分析的信號(hào)與彩圖 混合分離方法；ICA法—獨(dú)立成分分析法。圖5 雙信號(hào)雙彩圖中分離信號(hào)的對(duì)比

表1 雙信號(hào)雙彩圖實(shí)驗(yàn)中原始灰圖與分離灰圖及原始信號(hào)與分離信號(hào)的相似度對(duì)比

(a)信號(hào)1

(b)信號(hào)2

(c)信號(hào)3圖7 隨機(jī)產(chǎn)生的3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均為120的信號(hào)

(a1)第1組圖1(a2)第1組圖2(a3)第1組圖3(b1)第2組圖1(b2)第2組圖2(b3)第2組圖3(c1)第3組圖1(c2)第3組圖2(c3)第3組圖3(d1)第4組圖1(d2)第4組圖2(d3)第4組圖3圖8 從McMaster數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取的4組彩圖

表2 三信號(hào)三彩圖實(shí)驗(yàn)中原始灰圖與分離灰圖及原始信號(hào)與分離信號(hào)的相似度對(duì)比

(a)信號(hào)1(b)信號(hào)2(c)信號(hào)3(d)本文方法提取信號(hào)1(相似度為0.965 2)(e)本文方法提取信號(hào)2(相似度為0.979 9)(f)本文方法提取信號(hào)3(相似度為0.889 6)(g)ICA法提取信號(hào)1(相似度為0.804 4)(h)ICA法提取信號(hào)2(相似度為0.754 6)(i)ICA法提取信號(hào)3(相似度為0.579 3)本文方法—基于典型相關(guān)分析的信號(hào)與彩圖混合分離方法; ICA法—獨(dú)立成分分析法。圖9 三信號(hào)三彩圖中分離信號(hào)的對(duì)比

4 結(jié)論

本文中研究了信號(hào)與彩圖混合分離方法，并在分離過(guò)程中利用CCA作為信號(hào)與彩圖混合分離的工具，得到以下主要結(jié)論。

1)在McMaster數(shù)據(jù)集中，雙信號(hào)雙彩圖和多信號(hào)多彩圖的實(shí)驗(yàn)證明了本文方法可以同時(shí)高質(zhì)量分離信號(hào)與彩圖。

2)在一切條件未知的情況下，McMaster數(shù)據(jù)集中與利用ICA法作為分離工具的對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，本文方法的分離效果明顯優(yōu)于ICA法的分離效果。

本文方法在時(shí)間方面不占優(yōu)勢(shì)， 并且沒(méi)有考慮本文方法對(duì)其他信號(hào)與彩圖混合方法數(shù)據(jù)的分離效果； 此外， 本文中也沒(méi)有考慮卷積核的選擇對(duì)分離效果的影響， 在后續(xù)的工作中還將進(jìn)一步研究。

(a)圖8(c1)(b)本文方法分離圖8(c1)(相似度為0.795 2)(c)ICA法分離圖8(c1)(相似度為0.606 2)(d)圖8(c2)(e)本文方法分離圖8(c2)(相似度為0.858 9)(f)ICA法分離圖8(c2)(相似度為0.437 7)(g)圖8(c3)(h)本文方法分離圖8(c3)(相似度為0.883 9)(i)ICA法分離圖8(c3)(相似度為0.274 5)本文方法—基于典型相關(guān)分析的信號(hào)與彩圖混合分離方法; ICA法—獨(dú)立成分分析法。圖10 三信號(hào)三彩圖中分離彩圖的對(duì)比