周小凱，張思匯

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093)

設(shè)(X,f)是一個拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)(簡稱動力系統(tǒng)或系統(tǒng)),其中X是緊致度量空間(度量為d),f:X→X是連續(xù)映射。對n∈+,稱fn=f…f為f的n次迭代。對n=0,約定f0=id,其中id為恒同映射[1]。

對于動力系統(tǒng)(X,f),如果U,V?X,定義回復(fù)時間集為

(1)

我們稱系統(tǒng)(X,f)或f是傳遞的,如果對X的任意兩個非空開子集U,V,回復(fù)時間集Nf(U,V)非空;稱系統(tǒng)(X,f)是弱混合的,如果乘積系統(tǒng)(X×X,f×f)是傳遞的;稱系統(tǒng)(X,f)是強(qiáng)混合的,如果對X的任意兩個非空開子集U,V,存在N∈+,使得{N,N+1,…}?Nf(U,V)。Furstenberg[2]證明了對每個正整數(shù)n,系統(tǒng)(X,f)是弱混合的，意味著n次乘積系統(tǒng)(Xn,f(n))是傳遞的。即: 設(shè)(X,f)是一個拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),若(X×X,f×f)是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)對每個n∈+,乘積系統(tǒng)(Xn,fn)(n次)也是傳遞的,其中Xn=X×…×X(n次),fn=f…f(n次)。

對于一個動力系統(tǒng)(X,f),我們稱點對(x,y)∈X為distal的,是指存在ε>0,

(2)

另外,如果存在ε>0,使得對任意點對(x,y)且x≠y,則稱這個動力系統(tǒng)(X,f)是distal的。

動力系統(tǒng)(X,f)稱為是等度連續(xù)的,是指對任意ε>0,存在δ>0,使得對任意滿足x,y∈X且ρ(x,y)<δ時,對任意的n∈+,都有

ρ(fn(x),fn(y))<ε。

(3)

在本文中,我們考慮在L1(I,I)={g:I→I}(其中g(shù)是勒貝格可積函數(shù),I=[0,1])空間中的動力學(xué)行為。我們定義對所有的φ,φ∈L1(I,I),在L1(I,I)上的度量ρ為

(4)

其中μ為勒貝格測度。不難驗證(L1(I,I),ρ)是完全可分的度量空間。

動力系統(tǒng)(I,f),其中I=[0,1],由Hf:L1(I,I)→L1(I,I),φfφ定義它的泛函包絡(luò)(L1(I,I),Hf)。不難驗證,若Hf是一致連續(xù)的,則(L1(I,I),Hf)也是一個動力系統(tǒng)。Auslander等[3]證明系統(tǒng)的泛函包絡(luò)也具有系統(tǒng)的一些性質(zhì)。Chen等[4-6]研究動力系統(tǒng)的泛函包絡(luò)具有的一些性質(zhì)。

Chen等[6]證明了如下命題:

命題A[6]如果(I,f)是distal的,則(L1(I,I),Hf)也是distal的。

命題B[6]如果(I,f)是等度連續(xù)的,則(L1(I,I),Hf)也是等度連續(xù)的。

1 前期準(zhǔn)備

(5)

用族來描述動力學(xué)性質(zhì)的研究至少可以追溯到Gottschalk等[7]的研究,并且由Furstenberg[8]作進(jìn)一步推廣。

定義1對于動力系統(tǒng)(X,f),F是Furstenberg族,點對(x,y)∈X稱為是F-distal的,若存在ε>0,則

{n∈+:ρ(fn(x),fn(y))≥ε}∈F。

(6)

另外,如果存在ε>0,使得對任意點對(x,y)且x≠y,都有

{n∈+:ρ(fn(x),fn(y))≥ε}∈F，

(7)

則稱這個動力系統(tǒng)(X,f)是F-distal的。

定義2對于動力系統(tǒng)(X,f),F是Furstenberg族,稱系統(tǒng)(X,f)為F-等度連續(xù)的,是指對任意ε>0,存在δ>0,對任意x,y∈X且ρ(x,y)<δ,都有

{n∈+:ρ(fn(x),fn(y))<ε}∈F。

(8)

2 主要證明與結(jié)論

命題1如果(I,f)是F-distal的,則滿足任意ρ(φ,φ)>0的點對φ,φ∈L1(I,I)在系統(tǒng)(L1(I,I),Hf)中是F-distal的。

證 假設(shè)(I,f)是F-distal的,則存在ε>0,使得

{n∈+:ρ(fn(x),fn(y))≥ε}∈F。

(9)

設(shè)φ,φ∈L1(I,I),且ρ(φ,φ)>0,取

A={x∈I:φ(x)=φ(x)} 和B={x∈I:φ(x)≠φ(x)},

則μ(B)>0。對任意n∈{n∈+:ρ(fn(x),fn(y))≥ε},我們有

(10)

因此

{n∈

(11)

于是動力系統(tǒng)(L1(I,I),Hf)是F-distal的。

命題2設(shè)(I,f)是F-等度連續(xù)的,則對任意的ε>0,存在δ>0,使對任意的φ,φ∈L1(I,I)且ρ(φ,φ)<δ,有(L1(I,I),Hf)是F-等度連續(xù)的。

(12)

A={x∈I:|φ(x)-φ(x)|<δ} 和B={x∈I:|φ(x)-φ(x)|≥δ}。

(13)

則

(14)

因此(L1(I,I),Hf)是F-等度連續(xù)的。