鄧維，葉五一，楊鋒

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院 管理科學(xué)系， 合肥 230026)

現(xiàn)實(shí)生活中有很多決策問題，如商鋪選址和公交地鐵系統(tǒng)設(shè)計(jì)站點(diǎn)等，需要考慮很多影響因素之間的互相關(guān)聯(lián)和限制的問題。這類選擇問題的共同處在于可選項(xiàng)是有限的，而最后決策的優(yōu)劣性的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)也是有限的。通過這些評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)比較各個(gè)選擇，能夠得到最優(yōu)選，其次可以從整體上得到各個(gè)選擇的評(píng)級(jí)和分類。這類對(duì)多種標(biāo)準(zhǔn)的決策問題進(jìn)行評(píng)價(jià)定級(jí)、分類的行為稱作多標(biāo)準(zhǔn)決策分析(decision analysis by multiple criteria，MCDA)。MCDA的選擇及其評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)是有限的，這些評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)可以是有序數(shù)字，那么分析后將獲得不同選擇的評(píng)級(jí)和排序；評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)也可以是基礎(chǔ)數(shù)值，即選擇被量化后的具體值。通過累計(jì)這些基數(shù)或序數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，并考慮決策者們(decision makers，DM)對(duì)不同標(biāo)準(zhǔn)的重視和偏好程度，對(duì)每一個(gè)選擇作出整體性的評(píng)估，是MCDA的最終目的。由此可見，MCDA不僅依靠對(duì)標(biāo)準(zhǔn)值的量化規(guī)則，還依靠不同決策者主觀上的偏好，以及評(píng)估中用到的模型和模型中的各項(xiàng)設(shè)定參數(shù)。如果可以通過各種MCDA方法對(duì)決策問題進(jìn)行分析以獲得決策建議，那么將這些方法應(yīng)用于決策是有用的。因此，決策者需要熟悉使用各種多準(zhǔn)則決策分析技術(shù)的先決條件以及靈活應(yīng)用不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

MCDA研究是一個(gè)較新的領(lǐng)域，很多方法僅用于處理實(shí)際生活中某些特定領(lǐng)域的特定多目標(biāo)決策問題，大致分為兩類。一類是Keeney等[1]發(fā)展出的多屬性效用方法(multiattribute utility theory，MAUT)，是廣泛應(yīng)用至今的主要方法之一，而另一大類被廣泛采用的多標(biāo)準(zhǔn)決策分析方法是高分法(outranking methods)，如Roy[2]提出的ELECTRE方法，Brans和Mareschal[3]提出的PROMETHEE方法，以及Xu[4]給出的SIR方法等。MAUT理論的構(gòu)建為當(dāng)今MCDA的發(fā)展打下了根基，相對(duì)于高分法，其應(yīng)用了更多相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型；而高分法，比如ELECTRE方法，能夠從更多不同的角度對(duì)偏好信息建模，也具有一定優(yōu)勢(shì)。這兩類方法都得到了廣大決策者的青睞和應(yīng)用。

MAUT基于效用函數(shù)，是目前MCDA中應(yīng)用時(shí)間最長(zhǎng)的方法，并廣受好評(píng)。這類方法首先建立效用函數(shù)，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的值得出效用評(píng)分，最后根據(jù)得出的效用評(píng)分評(píng)估不同選擇的優(yōu)劣。近年來，效用函數(shù)方法廣泛應(yīng)用，但同時(shí)也出現(xiàn)了越來越多無法得到模型所需具體參數(shù)的情況，例如，決策者不愿意透露其偏好信息，導(dǎo)致缺少必要的建模參數(shù)，或是評(píng)估這些選擇的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的值本身就是不確定或者不準(zhǔn)確的。原始的MAUT和高分法在這一方面皆有不足，因此，應(yīng)對(duì)模型參數(shù)的不確定性或不準(zhǔn)確性，需要對(duì)以往的效用理論方法進(jìn)行改進(jìn)。逆向推斷進(jìn)行決策分析是一個(gè)可行的改進(jìn)思路，也就是說，與其去咨詢或?qū)ふ揖唧w決策問題所用模型中的具體參數(shù)，不如反過來考慮每一種決策結(jié)果是由哪些具體參數(shù)所決定。于是，隨機(jī)多標(biāo)準(zhǔn)可接受度分析(stochastic multi-criteria acceptability analysis，SMAA)方法應(yīng)運(yùn)而生并在近些年飛速發(fā)展。它就是這樣一種逆向分析的方法，允許標(biāo)準(zhǔn)值和偏好信息的不確定性，從而解決了很多其他方法所遇到的困難。

不同的SMAA方法可以用來處理多標(biāo)準(zhǔn)決策中的主要3種情形：選優(yōu)、評(píng)級(jí)和分類。這類方法包含了一系列多標(biāo)準(zhǔn)決策方法，其優(yōu)勢(shì)在于擴(kuò)展了決策分析的角度，即反向分析所有可能的參數(shù)空間中的取值，并且允許標(biāo)準(zhǔn)值和偏好信息的缺失，甚至在沒有任何偏好信息的極端情況下也可以使用。這里所說的標(biāo)準(zhǔn)值和偏好信息的缺失包含3種可能的情形，即不完整、不準(zhǔn)確和不確定。不完整意味著部分信息未獲得，不準(zhǔn)確意味著信息雖獲得但準(zhǔn)確性不足，不確定意味著雖然決策問題的相關(guān)觀察者給出了他們完整且準(zhǔn)確的信息，但這些信息并不可靠。偏好信息可量化為不同標(biāo)準(zhǔn)所占的權(quán)重，SMAA方法基于探索權(quán)重向量空間來得到使每個(gè)備選方案成為最優(yōu)方案的偏好信息，或者為特定選擇方案提供其取得不同評(píng)級(jí)的概率。例如，相比于給出一個(gè)整體評(píng)級(jí)，SMAA-2方法提供了各個(gè)選擇取得特定評(píng)級(jí)的概率。

Lahdelma等[5]首次提出SMAA方法。Lahdelma和Salminen[6]將秩可接受度的概念引入SMAA方法中，發(fā)展出SMAA-2方法。該方法分析得到的主要結(jié)果是秩可接受度指數(shù)、中心權(quán)重向量以及在中心權(quán)重向量下的置信因子。秩可接受度指數(shù)描述了使得選擇方案位于特定等級(jí)(秩)的不同偏好的所占比例，中心權(quán)重向量表示使每個(gè)選擇成為最優(yōu)的偏好的典型代表，而置信因子衡量這些秩可接受度是否足夠可信，從而做出明智的決定。Lahdelma等[7]將SMAA方法進(jìn)一步擴(kuò)展，發(fā)展出SMAA-O方法，這一方法將序數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)值，即決策者對(duì)每一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)級(jí)并得到序數(shù)，再進(jìn)行SMAA分析。上述幾種SMAA方法都是針對(duì)選擇或評(píng)級(jí)之類的決策問題，而Yu[8]提出的ELECTRE TRI方法是一類針對(duì)分類問題的決策方法，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，Tervonen等[9]將其擴(kuò)展為SMAA-TRI方法，其目的在于允許參數(shù)的缺失和不確定，并研究ELECTRE TRI方法分析結(jié)果的穩(wěn)健性，其分析結(jié)果展現(xiàn)了哪些參數(shù)取值將一種選擇歸為特定的分類中。Tervonen等[10]還將類似的擴(kuò)展應(yīng)用到另一類常用的評(píng)級(jí)方法——ELECTRE Ⅲ方法中，給出了SMAA-Ⅲ方法，同樣解決了參數(shù)不確定或不準(zhǔn)確所帶來的難題，并且可以很方便地進(jìn)行穩(wěn)健性分析。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis, DEA)也是基于效用理論的多標(biāo)準(zhǔn)決策方法，它將不同的選擇判定為有效的或無效的選擇，和SMAA類似，它也用一個(gè)總效用函數(shù)來描述每一種選擇，其中幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的不同重要性則由權(quán)重來體現(xiàn)。Lahdelma和Salminen[11]考慮到將DEA和SMAA-2方法結(jié)合使用，提出SMAA-D方法，它可被視為是將DEA類型的效用函數(shù)應(yīng)用到SMAA-2中，用來提供隨機(jī)的有效性的度量。前景理論(prospect theory)是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中廣泛應(yīng)用的思想，但很少被應(yīng)用到?jīng)Q策分析中，Lahdelma和Salminen[12]首次將前景理論和SMAA方法相結(jié)合，提出了SMAA-P方法，該方法以前景理論所認(rèn)為的損失重于得到的觀點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行SMAA分析。由此可見，SMAA方法的核心思想可以與以往的各類多標(biāo)準(zhǔn)決策方法相結(jié)合。除上述這些方法外，Corrente等[13]提出的SMAA-PROMETHEE方法，則是將SMAA與另一種常用的多標(biāo)準(zhǔn)決策方法——PROMETHEE方法相結(jié)合，進(jìn)而探索與決策者提供的某些偏好信息一致相容的所有權(quán)重。根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景的不同，SMAA方法會(huì)涉及不同的關(guān)于概率分布的積分，并且可能非常復(fù)雜。通常，積分也具有很高維數(shù)?；陔x散化每個(gè)維度分布的數(shù)值積分方法是不可行的，因?yàn)樗璧挠?jì)算量取決于維數(shù)。因此，相比于嘗試獲得積分的精確值，應(yīng)用蒙特卡羅模擬來獲得足夠準(zhǔn)確的近似值成為了常用的手段。Tervonen和Lahdelma[14]給出了有關(guān)模擬算法的完整說明，并研究了計(jì)算的準(zhǔn)確性以及復(fù)雜性問題。

多種多樣的SMAA方法已經(jīng)在各種現(xiàn)實(shí)生活中的決策問題中有所應(yīng)用，Hokkanen等[15]研究如何確定總體計(jì)劃的實(shí)施順序的問題，并且解決了港口引證的問題[16]，還研究了選擇污染土壤的清除劑的決策[17]；Lahdelma等[18]研究廢物處理設(shè)施引證的問題；Tervonen等[19]設(shè)計(jì)了電梯規(guī)劃方案，還曾設(shè)計(jì)了溢油應(yīng)急響應(yīng)框架[9]；Kangas等[20]給出了森林規(guī)劃的決策建議。在國(guó)內(nèi)近些年的研究中，SMAA方法也在各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮出了作用。Xia等[21]用SMAA方法為物流服務(wù)供應(yīng)商提供了針對(duì)物流配送中心的選址方面的建議；Zhu等[22]研究了水庫洪水防治的操作策略。

改革開放后中國(guó)經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，時(shí)局瞬息萬變，決策者們?cè)跔I(yíng)銷策劃、產(chǎn)品更替、項(xiàng)目投資等等領(lǐng)域中，面臨選擇時(shí)需要考慮越來越多的因素和標(biāo)準(zhǔn)，而這些決策因素和標(biāo)準(zhǔn)相互之間聯(lián)系緊密，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上存在著復(fù)雜的相依關(guān)系，在應(yīng)用SMAA方法研究這些問題時(shí)，可以通過概率分布來表示部分或全部缺失的偏好信息以及標(biāo)準(zhǔn)值的不確定性，然而這些相依性則很難被準(zhǔn)確地量化。盡管SMAA方法已經(jīng)發(fā)展成熟，出現(xiàn)了很多形式和變化，但現(xiàn)有方法大都不能很有效地對(duì)這些相依結(jié)構(gòu)的信息進(jìn)行量化和分析。Lahdelma等[23]提出用獨(dú)立分布來處理高維數(shù)據(jù)是不合理的，必須要充分考慮這些變量之間相依性的信息，考慮到高斯分布被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，他們首次提出將高斯分布(多元正態(tài)模型)運(yùn)用到SMAA方法中。雖然獨(dú)立分布并不可取，但是，文獻(xiàn)[23]并未充分論述采用高斯分布的合理性。實(shí)際上，高斯分布局限于變量之間是線性的相依關(guān)系的情形，對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)，就不太準(zhǔn)確和適用。彌補(bǔ)這方面不足是本文研究的出發(fā)點(diǎn)?？紤]到copula函數(shù)是分析變量間相依關(guān)系最有利的工具，擅長(zhǎng)處理多元變量間各種類型的相依關(guān)系，已經(jīng)在金融市場(chǎng)、風(fēng)險(xiǎn)傳遞等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，因而本文從這一點(diǎn)出發(fā)，將copula相依分析與SMAA方法首創(chuàng)性地相結(jié)合來改善以往的SMAA方法。一些copula理論研究的前沿文獻(xiàn)為本文提供了相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。Genest等[24-25]總結(jié)了關(guān)于二元copula函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)的方法。以Joe[26]提出的關(guān)于給定邊際分布的多元分布函數(shù)的構(gòu)造理論為基礎(chǔ)，Bedford和Cooke[27]提出了藤結(jié)構(gòu)的概念，通過pair-copula模型，首次解決了多維變量之間相依關(guān)系的問題。Aas等[28]首次用統(tǒng)計(jì)方法推斷出藤copula的計(jì)算公式。相比較C族藤和D族藤的copula函數(shù)，R藤copula有著更加靈活多樣的相依結(jié)構(gòu)。隨著相關(guān)研究的進(jìn)展，R藤模型越來越多地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，來處理多維變量的相依結(jié)構(gòu)。

本文首先對(duì)SMAA-2的方法進(jìn)行回顧，介紹R藤結(jié)構(gòu)的構(gòu)造算法和copula函數(shù)的擬合方法，總結(jié)SMAA-2和R藤copula方法相結(jié)合的應(yīng)用步驟。然后進(jìn)行模擬試驗(yàn)分析，模擬出一萬個(gè)樣本，這些樣本都是包含2個(gè)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)和3個(gè)選擇方案的6維決策變量。應(yīng)用藤copula擬合方法，擬合出6維決策變量的聯(lián)合概率分布，來量化其相依結(jié)構(gòu)和不確定性，并結(jié)合使用SMAA-2方法，根據(jù)聯(lián)合概率分布計(jì)算出備選方案的各等級(jí)的秩可接受度。最后，在兩種不同相依結(jié)構(gòu)的決策變量下，分別對(duì)采用多元正態(tài)模型處理相依關(guān)系的方法以及本文提出的新方法進(jìn)行對(duì)比分析，比較出在不同情況下，這些方法是否能夠適用，以及它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 SMAA基礎(chǔ)理論

SMAA是一種多標(biāo)準(zhǔn)決策方法。在應(yīng)用SMAA方法時(shí)，決策者不需要將他們的偏好信息明確地表達(dá)出來，相反，基于對(duì)權(quán)重空間的探索，該方法可以描述出每個(gè)備選方案擔(dān)任最優(yōu)解的概率以及計(jì)算的可靠性。決策變量的不確定或不準(zhǔn)確的值由概率分布來表示。本文應(yīng)用到的SMAA-2方法，通過計(jì)算各個(gè)選擇的所有排序的接受度，也稱為秩可接受度，綜合地判斷每個(gè)選擇的優(yōu)劣，最早由Lahdelma和Salminen[6]提出該方法。

SMAA-2應(yīng)用對(duì)權(quán)重空間分析和劃分來描述每種選擇方案，即將總權(quán)重空間劃分為使某種選擇成為最優(yōu)選擇的子權(quán)重空間，以及將其置于其他各個(gè)等級(jí)的子權(quán)重空間。一般地，決策問題表示為一組m個(gè)選擇{x1,x2,…,xm}根據(jù)n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)估，其評(píng)估的優(yōu)劣用各自定義的效用函數(shù)來表示，進(jìn)而研究如何使得加權(quán)后總效用最優(yōu)。權(quán)重向量即代表了DM的偏好結(jié)構(gòu)，第i個(gè)選擇的加權(quán)效用由實(shí)值效用函數(shù)u(xi,w)表示。這個(gè)總效用函數(shù)通過使用權(quán)重向量w來量化DM的主觀偏好，從而將不同的選擇方案映射到一個(gè)實(shí)際的值。SMAA-2方法適用于決策變量和權(quán)重均未精確了解的情況。不確定的決策變量由隨機(jī)變量ξij表示，它是空間X?m×n中的隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)記為fX(ξ)。決策者的未知或部分已知的偏好信息由在總權(quán)重空間W中的權(quán)重向量w來表示，記w的聯(lián)合密度函數(shù)為fW(w)。在偏好信息可獲取時(shí)，偏好信息相當(dāng)于權(quán)重空間W上的一個(gè)約束條件。在偏好信息完全缺失時(shí)，則權(quán)重采用均勻分布，即權(quán)重空間也可以根據(jù)需要來定義，但通常權(quán)重是非負(fù)的和標(biāo)準(zhǔn)化的，即

(1)

效用函數(shù)用于將隨機(jī)決策變量和權(quán)重分布映射到效用分布u(ξi,w)?；谛в梅植?，可以通過排序函數(shù)定義每個(gè)選擇的等級(jí)，其取值從最佳等級(jí)(1)到最差等級(jí)(m)：

(2)

其中：ρ(true)=1,ρ(false)=0。SMAA-2是以分析最優(yōu)等級(jí)(秩)的隨機(jī)權(quán)重集合為基礎(chǔ)的，其秩為r的隨機(jī)權(quán)重子空間定義為

(3)

(4)

(5)

(6)

這里，如何選擇每個(gè)秩的權(quán)重，也需要有所考量，通常排在前面的權(quán)重應(yīng)大于秩靠后的權(quán)重。

(7)

(8)

事實(shí)上，對(duì)于任何給定的權(quán)重向量，都可以類似地計(jì)算置信因子。置信因子可以衡量秩可接受度能否足夠準(zhǔn)確地辨別選擇方案是否有效。如果一個(gè)選擇的可接受度很高，但置信因子較低的話，那么則需要綜合考慮其各個(gè)秩可接受度再做分析。相反的，如果一個(gè)選擇可接受度非常低，而置信因子又非常高的話，那么則有充分的理由排除這個(gè)選擇。

2 藤copula方法

2.1 多元copula的PCC構(gòu)造

copula函數(shù)是研究隨機(jī)變量間相依關(guān)系的有力工具，通過它可以將邊緣分布和變量間的相依結(jié)構(gòu)分開處理。copula的概念最早由Sklar[29]提出，它用來描述多維分布函數(shù)和低維邊緣分布之間的關(guān)系。Sklar給出的定理成為這一領(lǐng)域理論研究的基礎(chǔ)，也是概率空間理論中的重要定理之一。為方便后文的理解，這里將Sklar定理復(fù)述如下：

F(x1,…,xn)=C(F1(x1),…,Fn(xn)).

如果邊緣分布都是連續(xù)的，那么函數(shù)C是唯一的。C稱為分布F的(唯一)copula函數(shù)。

由copula函數(shù)可定義聯(lián)合分布的密度函數(shù)如下

(9)

構(gòu)造高維情形下的copula通常是件很困難的事情。已有的具有顯示表達(dá)式的多參數(shù)多元copula函數(shù)并不多樣，并且特定的函數(shù)形式未必能夠很好地?cái)M合現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)。以Joe[26]的方法為基礎(chǔ)，Bedford和Cooke[27]給出一種能靈活地利用二元copula函數(shù)構(gòu)造高維聯(lián)合分布的方法，將高維數(shù)據(jù)的處理轉(zhuǎn)化為對(duì)多組二元數(shù)據(jù)的處理。而對(duì)于用copula函數(shù)擬合二元數(shù)據(jù)，則有相當(dāng)完備的方法，大致分為3步：第一是對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)，第二是對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，第三是對(duì)不同的備選模型進(jìn)行比較。

對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)通常采用秩相關(guān)系數(shù)[30]，或者采用極大似然法。其對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為

(10)

其中cθ是copula密度函數(shù)，這里的極大似然性是對(duì)式(10)中全部參數(shù)計(jì)算的，包括邊緣分布F,G的未知參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，可以利用經(jīng)驗(yàn)分布來代替邊緣分布，經(jīng)驗(yàn)分布采用如下形式

其中采用n+1是為了保證分布函數(shù)值在區(qū)間[0,1)內(nèi)部，是示性函數(shù)，當(dāng)括號(hào)內(nèi)不等式成立時(shí)取1，否則取0。用(Fn(Xi),Gn(Yi))替代似然函數(shù)(10)中的F(Xi),G(Yi)，再對(duì)其最大化計(jì)算出極大似然估計(jì)，省去了對(duì)邊緣分布的參數(shù)估計(jì)，這也稱為偽似然法。

對(duì)于模型的假設(shè)檢驗(yàn)，通常采用一類goodness-of-fitting檢驗(yàn)方法，它們可以用來拒絕不好的擬合模型，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各類統(tǒng)計(jì)研究中。在采用多種參數(shù)型copula和多種參數(shù)估計(jì)的方法得到備選二元copula函數(shù)模型后，需要進(jìn)行比較，選取擬合結(jié)果最好的作為最終模型。AIC準(zhǔn)則(Akaike information criterion)是使用最為廣泛的對(duì)模型進(jìn)行選擇的方法，對(duì)于二元copula的建模，其AIC定義為

(11)

根據(jù)AIC準(zhǔn)則將選取AIC最小的模型作為最優(yōu)模型。

以二元copula為基礎(chǔ)，可將多元隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為多個(gè)二元copula函數(shù)的乘積形式，進(jìn)而用二元的方法來處理高維情形的問題。對(duì)于多元隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)可以分解為條件邊緣密度的乘積的形式

f(x1,…xn)=f(x1)·f(x2|x1)·f(x3|x1,x2)·…·

f(xn|x1,…,xn-1),

(12)

其中等式右邊的第2項(xiàng)可改寫為

類似地，式(12)中等號(hào)右邊的第3項(xiàng)可以展開為

=c23 |1(F2 |1(x2|x1),F3 |1(x3|x1))·

=c13 |2(F1 |2(x1|x2),F3 |2(x3|x2))·

f(x3|x2).

其中c23 |1和c13 |2分別表示連接條件分布F2 |1和F3 |1，以及連接條件分布F1 |2和F3 |2的copula函數(shù)的密度。一般地，關(guān)于條件密度的分解有下述公式

f(xiv)=cxi,xj |v-j(F(xi|v-j),F(xj|v-j))·f(xi|v-j),

(13)

通過構(gòu)建PCC可以看出，對(duì)于多元隨機(jī)變量的建模問題被分解為對(duì)一系列二元相依關(guān)系的建模。例如對(duì)c12的擬合，只需考慮如何構(gòu)造出邊緣分布F1(X1)和F2(X2)的copula函數(shù)，而這只需獲取X1和X2的一列獨(dú)立樣本，即可采用多種多樣的方法去實(shí)現(xiàn)很好的擬合。進(jìn)一步，還可以很好地?cái)M合c23|1，這只需考慮構(gòu)造出條件分布F2|1和F3|1的copula函數(shù)，但這一步的樣本數(shù)據(jù)由上一步中的copula函數(shù)轉(zhuǎn)換而來，將用到如下公式

將原始樣本一一代入式中，即得到轉(zhuǎn)換后的樣本數(shù)據(jù)。以此類推，由下述公式

(14)

在得到F(xi|v-j)和F(xj|v-j)的樣本數(shù)據(jù)后，擬合出Cxixj|v-j，再由式(14)即可得到下一步擬合所需的樣本數(shù)據(jù)，重復(fù)這樣的步驟直到PCC中的所有copula密度都得到擬合，就得到了X=(X1,…,Xn)的聯(lián)合概率密度。

2.2 藤結(jié)構(gòu)

Bedford和Cooke[31]提出了用圖來表示PCC，即將每一個(gè)PCC分解用藤結(jié)構(gòu)來刻畫，藤結(jié)構(gòu)有如下定義：

定義2.1記T1,…,Tn-1為一列樹，其中樹Ti的點(diǎn)集和邊集分別為Ni和Ei，且滿足

1)N1={1,…,n}.

2)對(duì)于i=2,…,n-1，Ni=Ei-1.

則稱V=(T1,…,Tn-1)為一個(gè)n元藤結(jié)構(gòu)。若V還滿足：

3)(正則條件)對(duì)所有i=2,…,n-1，只要a,b∈Ni且{a,b}∈Ei，那么a,b作為樹Ti-1中的兩條邊，在樹Ti-1中必有一個(gè)共同的頂點(diǎn)。

則稱V為一個(gè)n元R藤，或稱為正則藤。

利用R藤與PCC之間建立聯(lián)系，本質(zhì)上是將式(13)的分解形式用圖來表示，式中的邊緣分布或條件分布與R藤中某一棵樹的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而連接這兩個(gè)分布的copula函數(shù)，則對(duì)應(yīng)樹中連結(jié)兩個(gè)頂點(diǎn)的邊。具體地，記E0=N1，對(duì)i=1,2,…,n-1和任意ei={a,b}∈Ei，a,b∈Ei-1，令Uei={e∈E0|?ej∈Ej,j=1,…,i-1,st.e∈e1∈e2∈…∈ei}，即從ei出發(fā)，返回到它所對(duì)應(yīng)的Ti-1的頂點(diǎn)，再返回到上一棵樹中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)集合，依次類推直到回到T1，最終所得到的T1的子集。再令

Dei=Ua∩Ub,Cei,a=UaDei,Cei,b=UbDei.

將每條邊e={a,b}對(duì)應(yīng)于連接了給定XDe時(shí)XCe,a和XCe,b的條件分布的二元copula函數(shù)，可以證明，|Ce,a|=|Ce,b|=1，且下式給出了聯(lián)合密度的一個(gè)PCC

(15)

事實(shí)上，對(duì)任意一種PCC，若根據(jù)其n(n-1)/2個(gè)copula密度，對(duì)應(yīng)構(gòu)造出其圖結(jié)構(gòu)，則會(huì)得到一個(gè)R藤，反過來，對(duì)于任意一個(gè)R藤，可以由式(15)寫出這個(gè)R藤唯一決定的PCC。圖1例舉了D藤和C藤結(jié)構(gòu)，其中“|”的左邊為變量集，右邊為條件集，對(duì)每條邊連結(jié)的頂點(diǎn)集合求交集，即可得到這條邊所對(duì)應(yīng)的條件集De，再由對(duì)稱差得出變量集Ce,a∪Ce,b。D藤和C藤可理解為R藤的兩個(gè)極端情形，其定義分別為：

圖1 D藤和C藤

·若T1中頂點(diǎn)的最大度數(shù)是2，則稱其為D藤。

·若對(duì)i=1,…n-1，每個(gè)Ti都有一個(gè)度數(shù)為n-i的頂點(diǎn)，則稱其為C藤。

理論上可以對(duì)所有可能的PCC做擬合，再比較它們的優(yōu)劣，但隨著維數(shù)的增高，這樣的做法是不切實(shí)際的。利用Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)及分布之間的條件獨(dú)立，可以對(duì)R藤的選取提供依據(jù)。若模型中的變量存在條件獨(dú)立性，則它們的條件分布對(duì)應(yīng)的copula函數(shù)為乘積copula：C(u,v)=uv，其對(duì)應(yīng)的copula密度為c(u,v)=1，這樣就使得模型得到了簡(jiǎn)化。通常認(rèn)為，有著較強(qiáng)相依性的變量之間的擬合應(yīng)更加追求準(zhǔn)確性，本文選取的相依性度量為Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)，基于下述理由認(rèn)為，其絕對(duì)值大的變量組合更應(yīng)優(yōu)先被準(zhǔn)確地?cái)M合：

· R藤中第1棵樹的擬合效果，往往對(duì)整個(gè)模型影響較大。

· 很多不同類型的copula函數(shù)都可以較好地?cái)M合存在獨(dú)立性的數(shù)據(jù)，并且獨(dú)立性相對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值相同或相近。

· 在實(shí)際應(yīng)用中，往往可以認(rèn)為數(shù)據(jù)的相依關(guān)系是由部分變量產(chǎn)生的，而非全部變量，若在T1中選擇相依性強(qiáng)的變量組合進(jìn)行擬合，則后續(xù)的轉(zhuǎn)換變量之間的相依性在相比較之下更弱甚至可以認(rèn)為是獨(dú)立的。

所以，本文結(jié)合最大生成樹算法來構(gòu)造PCC。對(duì)樹N1生成的完全圖，定義其每條邊的邊值為Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，由如下最大生成樹算法生成T1；

·從N1中任選一點(diǎn)，并從連結(jié)它的所有邊中選擇邊值最大的作為第1條邊。

·從連結(jié)了已被選取的邊中任一頂點(diǎn)的所有邊中選擇邊值最大的一條邊，添加到已選取的邊中。

·重復(fù)上一步驟直到所有頂點(diǎn)都被已選取的邊連結(jié)到為止，由此得到的樹即為最大生成樹T1。

2.3 藤copula方法與SMAA的結(jié)合

利用PCC方法需要獲取模型中多元隨機(jī)變量的一組獨(dú)立同分布樣本，在其邊緣分布已知甚至未知的情形下，利用樣本和適當(dāng)?shù)亩猚opula構(gòu)造出這個(gè)多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。但實(shí)際情況中，我們獲取的數(shù)據(jù)可能是時(shí)間序列，不能作為獨(dú)立同分布的樣本。這樣的情況，可以先采用AMRA和GARCH模型[32]對(duì)其邊緣分布進(jìn)行擬合，去除自相關(guān)和異方差性，得到殘差樣本序列再由其經(jīng)驗(yàn)分布轉(zhuǎn)化為均勻分布的值，即可作為獨(dú)立樣本處理。

對(duì)于本文所提出的SMAA與藤copula相結(jié)合的方法，其具體應(yīng)用步驟可歸納如下：

1)獲取隨機(jī)變量(ξij)m×n的一組獨(dú)立同分布的樣本，必要時(shí)可采用AMRA和GARCH模型將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布。為方便起見，(ξij)m×n可重新標(biāo)號(hào)并記為(X1,…,XN)。

2)對(duì)所有變量組合計(jì)算Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)。

3)根據(jù)2.2節(jié)中的最大生成樹算法，得到最大生成樹。

4)結(jié)合多種方法，選擇不同類型copula函數(shù)擬合最大生成樹中每條邊對(duì)應(yīng)的變量組合，并用幾種檢驗(yàn)方法比較其優(yōu)劣，最終確定copula函數(shù)類型及其參數(shù)。在擬合之前，可以先對(duì)數(shù)據(jù)做獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為獨(dú)立性成立，則采用獨(dú)立copula函數(shù)簡(jiǎn)化模型。

5)由上一步得出的copula函數(shù)及其參數(shù)計(jì)算得到轉(zhuǎn)換后的樣本。

6)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的樣本，對(duì)所有可能的樣本組合計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布的Kendall’sτ秩相關(guān)系數(shù)。這里，可能的樣本組合是指必須滿足R藤的正則條件。

7)重復(fù)步驟3)到步驟5)，直到得到完整的mn元R藤，以及所有需要擬合的copula函數(shù)及參數(shù)。

8)因?yàn)镾MAA所計(jì)算的積分是對(duì)上一步中得到的非常復(fù)雜的分布所做的積分，因而需要采用蒙特卡羅模擬的方法來計(jì)算積分的近似值。依據(jù)擬合出的(ξij)m×n的聯(lián)合分布，模擬出大樣本，根據(jù)模擬樣本來計(jì)算SMAA問題中的可接受度，中心權(quán)重向量以及置信度等指標(biāo)。

9)對(duì)上一步的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，比較不同選擇的優(yōu)劣。

FCe,a|De(XCe,a|vDe),FCe,b|De(XCe,b|vDe).

其中vDe表示指標(biāo)集De所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量集合。注意到定義2.1的正則條件保證了a,b有一個(gè)Ti-1中的公共元素，不妨記為a={a1,a2},b={a2,b2}，則結(jié)合Ua的定義，不難驗(yàn)證Ce,a=Ca,a1,De=Da∪Ca,a2，進(jìn)而由式(14)可計(jì)算轉(zhuǎn)換變量如下

FCe,a|De(XCe,a|vDe)=

h(FCa,a1|Da(xCa,a1|vDa),FCa,a2|Da(xCa,a2|vDa)).

式中Ca=Ca,a1∪Ca,a2，且轉(zhuǎn)換變量FCa,a1|Da(xCa,a1|vDa),FCa,a2|Da(xCa,a2|vDa)已經(jīng)在上一步的遞推過程中得到。將XCa,a1,XCa,a2的樣本值一一代入即得到了轉(zhuǎn)換樣本。

盡管上述步驟看似復(fù)雜，但計(jì)算機(jī)程序可以很快捷地得到藤copula擬合的分布，而接下來的SMAA-2分析與以往方法的區(qū)別則主要是蒙特卡羅模擬的不同。Lahdelma等[23]建議使用高斯分布來擬合問題中不確定的標(biāo)準(zhǔn)值，而高斯分布本身具有形式簡(jiǎn)單、計(jì)算容易的特點(diǎn)。在進(jìn)行SMAA分析時(shí)所需要計(jì)算的積分，一般不需要采用數(shù)值方法或是蒙特卡羅模擬的方法，而對(duì)于本文建議的藤copula擬合出的分布而言，要進(jìn)行后續(xù)的SMAA-2分析，則必須要用到蒙特卡羅模擬進(jìn)行近似。雖然復(fù)雜性略有提高，但通過計(jì)算機(jī)程序可以大大簡(jiǎn)化工作量?？傮w上，略微提高的復(fù)雜度換來的是更加準(zhǔn)確的擬合結(jié)果，進(jìn)而使SMAA分析得到的決策建議更加可靠，這是本文方法的創(chuàng)新以及優(yōu)勢(shì)所在。

3 模擬分析

3.1 模擬算例分析

本文假定的研究案例有A、B、C 3個(gè)選擇方案，而每種選擇的總效用都由2個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)來量化，且這些標(biāo)準(zhǔn)的值是隨機(jī)的，這些隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)的值一共構(gòu)成了6個(gè)決策變量，也組成了一個(gè)6維的隨機(jī)向量。假定這些決策變量都服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布，之所以可以這樣假定，是因?yàn)殡S機(jī)變量的分布函數(shù)自身是服從均勻分布的，因此對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)，都可以進(jìn)行一步轉(zhuǎn)化，得到其分布函數(shù)的函數(shù)值，再進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。而對(duì)于效用函數(shù)，為了簡(jiǎn)化問題，本文假定每個(gè)決策變量的效用函數(shù)都為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布的分布函數(shù)，這樣便省去了對(duì)每個(gè)決策變量效用的計(jì)算。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中，會(huì)根據(jù)每個(gè)決策變量的實(shí)際意義來分別定義其效用函數(shù)，并對(duì)所有決策變量都計(jì)算出效用函數(shù)值再進(jìn)行下一步分析。對(duì)于模擬案例中的數(shù)據(jù)，本文用一個(gè)給定的R藤結(jié)構(gòu)表示它們的聯(lián)合分布。這個(gè)R藤的結(jié)構(gòu)矩陣為

結(jié)構(gòu)矩陣與藤結(jié)構(gòu)是多對(duì)一的關(guān)系[33]，它將藤結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為矩陣來表示，進(jìn)而可方便地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)程序中，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算。結(jié)構(gòu)矩陣為下三角矩陣，且右邊的任意列中的元素都包含于它左邊的列中，每個(gè)藤結(jié)構(gòu)可以用多種等價(jià)的矩陣形式來表示，而每個(gè)結(jié)構(gòu)矩陣反過來可得到唯一與之對(duì)應(yīng)的藤結(jié)構(gòu)。以本例的矩陣第1列為例，對(duì)角線上的變量與最后一行的變量連結(jié)了一條邊，這些邊構(gòu)成了藤結(jié)構(gòu)中的第一棵樹。然后對(duì)角線上的變量與倒數(shù)第2行的變量在以最后一行的變量為條件下的條件變量連結(jié)了一條邊，而這些邊則構(gòu)成了藤結(jié)構(gòu)中的第2棵樹，依次類推，這個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的5棵樹如圖2所示。

圖2 假定的R藤結(jié)構(gòu)

按照同樣的方式，可以用矩陣來記錄藤結(jié)構(gòu)每條邊所對(duì)應(yīng)的copula函數(shù)的函數(shù)族以及函數(shù)參數(shù)，它的copula函數(shù)族矩陣如下

其中

· 1=Gaussian copula.

· 2=Studenttcopula.

· 3=Clayton copula.

· 4=Gumbel copula.

因?yàn)楸纠卸际菃螀?shù)copula，因此只需要1個(gè)矩陣來記錄其各個(gè)參數(shù)，如下述矩陣所示

通過這3個(gè)矩陣的信息，即給定了決策變量的聯(lián)合分布。由這個(gè)聯(lián)合分布，本文模擬出10 000個(gè)決策樣本。對(duì)這些樣本進(jìn)行直接的SMAA分析。分析得到的結(jié)果如表1所示。

由表1可知，C選擇的最優(yōu)可接受度最大，為0.407；A選擇的最優(yōu)可接受度次之，為0.303 8；B選擇最低，為0.289 2?？梢缘玫浇Y(jié)論:C為最優(yōu)選擇，A選擇次之，B選擇最差。如果將秩為2的可接受度也考慮進(jìn)來的話，不難發(fā)現(xiàn)B選擇的秩可接受度最大。并且前兩個(gè)秩的可接受度之和也是最大，說明B選擇不太可能成為最差的選擇，在實(shí)際應(yīng)用中可以把這種情況視為一種折中策略。

表1 決策樣本的秩可接受度

用這些樣本，以及第2節(jié)介紹的方法，可以擬合出由[3個(gè)選擇×2個(gè)準(zhǔn)則]組成的6維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，具體的計(jì)算步驟可以由R軟件實(shí)現(xiàn)，計(jì)算得出的聯(lián)合分布依然由多個(gè)矩陣來表示，包括藤結(jié)構(gòu)矩陣，copula函數(shù)族矩陣和對(duì)應(yīng)的1個(gè)或2個(gè)copula參數(shù)矩陣，其中R藤結(jié)構(gòu)矩陣為

結(jié)構(gòu)矩陣對(duì)應(yīng)的5棵樹如圖3所示。

圖3 擬合的R藤結(jié)構(gòu)

它的copula函數(shù)族矩陣如下

它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣如下

由于擬合過程中考慮了t分布等雙參數(shù)型的copula函數(shù)，因此還需要第2參數(shù)矩陣來記錄其對(duì)應(yīng)的自由度。它們的自由度如下所示

可以看到，擬合出的R藤與原假設(shè)的藤結(jié)構(gòu)并不相同，但是，通過擬合出的聯(lián)合分布，再次進(jìn)行SMAA分析，分析得到結(jié)果如表2所示。

表2 擬合模型的秩可接受度

由表2可知，C選擇的最優(yōu)可接受度最大，為0.405 9；A選擇的最優(yōu)可接受度次之，為0.340 1；B選擇最低，為0.254 0?？梢缘玫浇Y(jié)論，C為最優(yōu)選擇，A選擇次之，B選擇最差。這與原假設(shè)的模型分析結(jié)果完全相符。

結(jié)論：如果不考慮6個(gè)變量相依結(jié)構(gòu)，即它們相互獨(dú)立，那么對(duì)于本例而言，各個(gè)決策變量的效用彼此沒有不同，用SMAA分析會(huì)得到3個(gè)選擇的秩可接受度近乎相等，這顯然與假設(shè)案例的結(jié)果是不相符的。而考慮相依結(jié)構(gòu)得到的結(jié)果與假設(shè)案例的實(shí)際情況是一致的。這說明，考慮變量間的相依關(guān)系，用藤copula擬合出聯(lián)合分布，再進(jìn)行SMAA分析的方法是準(zhǔn)確的、貼合實(shí)際的，能夠給決策者提供科學(xué)準(zhǔn)確的參考依據(jù)。

3.2 對(duì)比分析

在SMAA方法的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有文獻(xiàn)考慮了決策變量之間的相依關(guān)系，并采用常用的多元分布來取代獨(dú)立分布。Lahdelma等[23]提出用獨(dú)立分布來處理高維數(shù)據(jù)是不準(zhǔn)確不合理的，并將高斯分布(多元正態(tài)模型)運(yùn)用到SMAA方法中，假定隨機(jī)的決策變量服從多元正態(tài)分布，再由秩可接受度來評(píng)估各個(gè)選擇的優(yōu)劣，其分析結(jié)果與獨(dú)立假設(shè)下計(jì)算的結(jié)果有明顯的區(qū)別。在金融研究領(lǐng)域，copula方法被廣泛應(yīng)用，但應(yīng)用較多的往往是形式上較為簡(jiǎn)單的函數(shù)族，例如橢圓型copula函數(shù)族[34]。在橢圓型copula函數(shù)族中，高斯copula是最簡(jiǎn)單實(shí)用的一種，在實(shí)證應(yīng)用研究中經(jīng)常發(fā)揮重要作用。因此，本文將多元正態(tài)模型和高斯copula這兩種函數(shù)模型加入到模擬實(shí)驗(yàn)中，與R藤模型進(jìn)行對(duì)比，分析出不同模型的優(yōu)劣。

這里分別用多元正態(tài)模型以及高斯copula模型對(duì)3.1節(jié)中的10 000個(gè)原始樣本進(jìn)行擬合，通過擬合出結(jié)果分別進(jìn)行SMAA分析，然后與用樣本直接計(jì)算SMAA以及用藤copula擬合計(jì)算SMAA的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果如表3所示。

表3 不同擬合模型的對(duì)比分析

從表3中可以看出，3種擬合方法得到的結(jié)果都是C選擇最優(yōu)，這與直接通過樣本計(jì)算得到的結(jié)果是一致的。在準(zhǔn)確性方面，觀察一下C選擇的可接受度的數(shù)值，很顯然，這3種方法的值幾乎一致。但相對(duì)于參考樣本的直接計(jì)算值，藤copula的誤差為0.27%；多元正態(tài)的誤差為0.93%；高斯copula的誤差為0.52%。因此得到以下結(jié)論：在樣本數(shù)據(jù)比較常規(guī)(生成樣本時(shí)選用的copula 函數(shù)族以及參數(shù)都比較常規(guī))時(shí)，3種方法的計(jì)算結(jié)果都比較準(zhǔn)確，藤copula方法相對(duì)誤差最小，即本文提出的方法有一定的優(yōu)勢(shì)。

3.3 對(duì)尾部相依結(jié)構(gòu)樣本進(jìn)行對(duì)比分析

在金融和管理領(lǐng)域，一些極端的數(shù)據(jù)通常容易引起廣泛關(guān)注，就像數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系一樣，只看線性關(guān)系是沒有意義的。同樣地，秩相關(guān)也不能完美地描述所有的相依關(guān)系。實(shí)證研究中，需要使用尾部相依關(guān)系(二元變量中數(shù)據(jù)取值特別大或特別小時(shí)的相依關(guān)系)。為了檢驗(yàn)本文提出的方法對(duì)實(shí)際問題的實(shí)用性，本文建立一種具有尾部相依結(jié)構(gòu)的分布，并模擬生成出一組具有尾部相依性的數(shù)據(jù)，然后用藤copula、多元正態(tài)、高斯copula模型分別擬合后的結(jié)果與SMAA方法直接分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)于分析，與進(jìn)行SMAA分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出結(jié)論和建議。

由圖4可知，Clayton copula和Gumbel copula(在copula函數(shù)族矩陣中用3和4表示)具有尾部相依性，隨著τ系數(shù)的增大而愈加明顯。

圖4 常用copula函數(shù)的等高線圖

從該性質(zhì)出發(fā)，同樣假定的研究案例是3個(gè)選擇、2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的6維隨機(jī)變量，使用圖2的R藤結(jié)構(gòu)表示它們的聯(lián)合分布。對(duì)于它的copula函數(shù)族矩陣，全部選用Clayton copula 和Gumbel copula，矩陣如下

其中3代表Clayton copula，4代表Gumbel copula。它們是單參數(shù)copula函數(shù)，為了得到更明顯的尾部相依性，利用大于5的參數(shù)使得τ系數(shù)大于0.7。得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣

通過這些參數(shù)，模擬出10 000個(gè)新樣本。然后分別用藤copula模型、多元正態(tài)模型以及高斯copula模型對(duì)于模擬得到的10 000個(gè)新樣本進(jìn)行擬合，通過擬合出的聯(lián)合分布，對(duì)于各個(gè)隨機(jī)模型進(jìn)行SMAA分析。最后對(duì)比計(jì)算結(jié)果與用新樣本直接進(jìn)行SMAA分析的結(jié)果(對(duì)比結(jié)果見表4)。

表4 尾部相依情形下的對(duì)比分析

從分析結(jié)果中可以看出，用藤copula擬合得到的結(jié)果是B選擇最優(yōu)，多元正態(tài)和高斯copula擬合得到的結(jié)果是C選擇最優(yōu)。對(duì)于新樣本直接計(jì)算的實(shí)際結(jié)果而言，B為最佳選擇，這與本文提出的方法(藤copula擬合)結(jié)果一致。結(jié)果表明在數(shù)據(jù)出現(xiàn)尾部相依性時(shí)，藤copula方法得到的結(jié)果與實(shí)際情況一致，而多元正態(tài)和高斯copula方法差距較大，無法提供精準(zhǔn)的參考信息。因而選擇方法時(shí)，建議使用藤copula方法擬合出聯(lián)合分布，再進(jìn)行SMAA分析，該方法可以適用于不同分布類型的數(shù)據(jù)，為決策者提供更準(zhǔn)確和實(shí)用的參考。

4 結(jié)語

本文對(duì)于藤copula的原理及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)介紹，該函數(shù)的適用范圍較廣，可應(yīng)用于各種數(shù)據(jù)，具有一定的優(yōu)勢(shì)。通過實(shí)例研究，結(jié)合藤copula擬合樣本數(shù)據(jù)得到樣本聯(lián)合分布的方法，以及應(yīng)用SMAA方法計(jì)算各個(gè)備選方案的優(yōu)劣的具體步驟。此外，與多元正態(tài)模型和高斯copula模型等傳統(tǒng)方法的對(duì)比分析進(jìn)一步證明了藤copula模型與SMAA方法結(jié)合的優(yōu)勢(shì)：準(zhǔn)確度高、實(shí)用性強(qiáng)。

在實(shí)際案例中處理決策問題時(shí)，決策變量隨機(jī)不確定性會(huì)導(dǎo)致觀察值的減少。如果這些樣本直接進(jìn)行SMAA分析，由此產(chǎn)生的決策可能只適用于當(dāng)前的具體情況，無法將該決策推廣到更加全面的范圍。因此，引入聯(lián)合分布函數(shù)和藤系copula模型來擬合這些決策變量的聯(lián)合分布函數(shù)，并采用SMAA方法進(jìn)行決策分析。最后，在聯(lián)合分布函數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)上，評(píng)估不同備選方案的優(yōu)缺點(diǎn)。期望值將更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)、更能代表整體。

然而，不同的擬合方法將得到不同的聯(lián)合分布，這會(huì)對(duì)SMAA分析的結(jié)果有所影響。Lahdelma等[23]將多元正態(tài)模型引入到SMAA方法中。而多元正態(tài)模型只能擬合考慮變量之間的線性相關(guān)條件下邊際分布為正態(tài)分布的決策變量。模擬實(shí)驗(yàn)的研究結(jié)果表明，由于數(shù)據(jù)存在尾部相依性，對(duì)于某些模型(比如多元正態(tài)模型，高斯copula模型)并不適用，得到的結(jié)論甚至?xí)绣e(cuò)誤。但藤copula模型的分析計(jì)算結(jié)果并不會(huì)出現(xiàn)這類問題。

由于數(shù)據(jù)來源有限，尚未獲得可用于數(shù)據(jù)分析的大樣本實(shí)際案例數(shù)據(jù)，因此未對(duì)實(shí)際問題并沒有進(jìn)行數(shù)據(jù)與決策的分析，本文主要是在理論上提出了這種創(chuàng)新方法，通過實(shí)例模擬來驗(yàn)證該方法的主要步驟和優(yōu)點(diǎn)。在模擬過程中，所有考慮的決策變量均為標(biāo)準(zhǔn)化均勻分布，效用函數(shù)定義為變量的分布函數(shù)。對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)，必須充分考慮到符合實(shí)際情況的效用函數(shù)以及每個(gè)決策變量各自的邊際分布。本文提出的方法進(jìn)一步提高了SMAA方法的應(yīng)用價(jià)值。在多標(biāo)準(zhǔn)決策領(lǐng)域，還有其他流行的研究方法，如DEMATEL模型和網(wǎng)絡(luò)分析。DEMATEL更注重各種決策因素之間的邏輯關(guān)系和相互影響。并充分利用該領(lǐng)域?qū)＜业南嚓P(guān)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)建立決策模型，同時(shí)又具有這種網(wǎng)絡(luò)分析方法的特點(diǎn)。

本文研究發(fā)現(xiàn)，與其他借助于邏輯和經(jīng)驗(yàn)的方法相比，SMAA方法對(duì)于權(quán)重信息缺失，或者說缺少足夠的專家經(jīng)驗(yàn)時(shí)的應(yīng)用適應(yīng)性更強(qiáng)，這種方法對(duì)數(shù)據(jù)更加重視，從大數(shù)據(jù)中挖掘決策意見，而copula方法加強(qiáng)了對(duì)于數(shù)據(jù)的重視程度，充分發(fā)揮數(shù)據(jù)利用的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)實(shí)際問題的樣本數(shù)據(jù)量也有一定的要求。因此，決策者可能會(huì)根據(jù)實(shí)際情況采取不同的方法。

對(duì)于未來的研究方向，除解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些決策問題的實(shí)際應(yīng)用研究外，本文的方法還可以擴(kuò)展到研究如何將copula方法與精細(xì)化的隨機(jī)多準(zhǔn)則接受度分析方法相結(jié)合，例如，可以和SMAA-O，SMAA-TRI，SMAA-D等方法結(jié)合使用。對(duì)于一些比較復(fù)雜的實(shí)際問題，本文方法可以與DEMATEL模型和網(wǎng)絡(luò)分析法等方法結(jié)合使用，或者進(jìn)行對(duì)比分析，考查不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，研究出更多有意義的成果。